分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的設(shè)計

王會海，孫克輝，賀少波

?

分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的設(shè)計

王會海，孫克輝，賀少波

(中南大學(xué) 物理與電子學(xué)院，湖南 長沙，410083)

為了提高擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能，設(shè)計分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)。采用Adomain分解算法求解分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)，推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)迭代式，得到系統(tǒng)的數(shù)值解。對迭代值進(jìn)行簡單的二值量化，生成多組互不相關(guān)的混沌偽隨機序列。將混沌偽隨機序列作為擴(kuò)頻碼應(yīng)用于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)。在不同信噪比時，分析不同擴(kuò)頻碼對通信系統(tǒng)性能的影響。研究結(jié)果表明：基于分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)生成的偽隨機序列更隨機，均通過美國國家科學(xué)技術(shù)研究所(NIST)的統(tǒng)計測試套件(STS)測試，序列的生成速度快；與整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)頻系統(tǒng)具有更大的秘鑰空間，具有更好的安全性；分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能優(yōu)于Hénon映射、Chen系統(tǒng)、m序列及Gold序列的性能，并且具有更大的多址容量。

擴(kuò)頻通信；分?jǐn)?shù)階微積分；混沌

擴(kuò)頻通信技術(shù)具有保密性能好、抗干擾能力強、與傳統(tǒng)通信系統(tǒng)共用頻段而不互相干擾的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于軍事和民用系統(tǒng)，是現(xiàn)代無線通信技術(shù)的熱點技術(shù)之一。擴(kuò)頻通信技術(shù)中的擴(kuò)頻碼性能與系統(tǒng)的抗干擾、抗噪聲、抗截獲、信息隱蔽等能力密切相關(guān)。作為擴(kuò)頻碼的二元偽隨機序列應(yīng)該具有良好的隨機性、有足夠長的碼周期和復(fù)雜度、滿足要求的序列數(shù)足夠多且易于產(chǎn)生和處理等特點。目前，人們常用的擴(kuò)頻碼有m序列、Gold序列等，但存在擴(kuò)頻碼數(shù)量少和保密性能差等不足。由于混沌信號具有初值敏感性、隨機性和寬譜性等特點，用混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生數(shù)量較多的序列作為擴(kuò)頻碼，并且它們具有很好的相關(guān)性和平衡性。早在1992年，HEIDARI-BATENI等[1]在直接擴(kuò)頻(direct-sequence spread spectrum，DS-SS)系統(tǒng)中應(yīng)用了混沌偽隨機序列，從此，人們開始在這方面不斷地進(jìn)行研究，采用各種離散混沌系統(tǒng)和整數(shù)階連續(xù)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生擴(kuò)頻碼[2?4]，使擴(kuò)頻碼的選擇范圍和性能都得到較大提高。但隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，破解技術(shù)得到更加深入研究和使用，傳統(tǒng)的整數(shù)階和離散混沌系統(tǒng)生成的擴(kuò)頻序列慢慢顯現(xiàn)出它的局限性，如復(fù)雜度低、易破譯不足等[5?7]。為了提高擴(kuò)頻通信的安全性，需要研究性能更優(yōu)的擴(kuò)頻碼。分?jǐn)?shù)階微積分具有很多優(yōu)點[8?10]，因而，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)已成為混沌研究的熱點[11?16]。WANG等[13?14]采用Adomian分解算法研究了分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz-Stenflo系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)隨著系統(tǒng)微分階數(shù)增加，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)逐漸減小，即在系統(tǒng)為混沌的階數(shù)范圍內(nèi)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的越小，系統(tǒng)越復(fù)雜，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)比對應(yīng)的整數(shù)階混沌系統(tǒng)更復(fù)雜。HE等[15?16]的研究也表明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度比整數(shù)階混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度更高。另外，基于Adomian分解算法在DSP平臺實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，證明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的數(shù)字電路可實現(xiàn)，為分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在擴(kuò)頻通信中的應(yīng)用奠定了硬件基礎(chǔ)[13?14]。為此，本文作者以分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)為例，設(shè)計基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的擴(kuò)頻通信系統(tǒng)，并對混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)進(jìn)行仿真和性能測試分析。

1 分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)分析

分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的方程為

其中：h為迭代步長；為Gamma函數(shù)；

當(dāng)=0時，[0，0，0]表示系統(tǒng)的初始狀態(tài)。對于整數(shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)，一般采用四階龍格庫塔法求解，得到其數(shù)值解的形式如下(其中，每次迭代包括59次加法和57次乘法)：

其中：

分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)和整數(shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的計算速度比較如表1所示。在迭代過程中進(jìn)行的乘法和加法次數(shù)越多，表示迭代1次花費的時間越多，即速度越慢。所以，在同等條件下，分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的計算速度比整數(shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的計算速度快。

表1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)與整數(shù)階系統(tǒng)計算速度對比

2 擴(kuò)頻碼的生成與分析

根據(jù)圖1，在式(2)~(6)中，取初始值[0，0，0]= [0.1，0.2，0.3]，=5，=0.65，=0.01，對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為3.067 9，而采用四階龍格庫塔法求得的對應(yīng)整數(shù)階系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.500 8，這說明在此條件下，分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)比整數(shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)更復(fù)雜，更有利于產(chǎn)生用于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的擴(kuò)頻碼。下面針對迭代過程中得到分?jǐn)?shù)階混沌序列，采用如圖2所示的量化算法，設(shè)計偽隨機序列發(fā)生器。

圖2中，將每次迭代得到的混沌序列x+1，y+1和z+1均乘以1011，并取其整數(shù)部分，得到3個64位二進(jìn)制整數(shù)(DB63-DB0)，分別定義為I，I和I；然后選擇I的后8位(DB7-DB0)作為偽隨機二進(jìn)制序列的8位，隨著迭代進(jìn)行，得到一組足夠長的二進(jìn)制偽隨機序列BS1。同時，計算I⊕I⊕I，取其最后8位作為另一個偽隨機二進(jìn)制序列BS2的8位。這樣，可同時產(chǎn)生2組偽隨機二進(jìn)制序列。此量化算法簡單，在實現(xiàn)過程中能節(jié)省系統(tǒng)資源。下面對產(chǎn)生的偽隨機序列進(jìn)行分析測試。

在眾多偽隨機序列的標(biāo)準(zhǔn)測試工具中，NIST(National Institute of Science and Technology)的STS(statistical test suite)是比較權(quán)威的測試方法[17]。對BS1和BS2分別進(jìn)行NIST測試，測試結(jié)果分別如表2和表3所示。其中，有5個測試項目需要測試多次，每一項測試的測試結(jié)果和通過測試的比例為多次測試中的最小值。從表2和表3可見：基于分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)得到的2組偽隨機二進(jìn)制序列均通過了NIST的STS測試，具有良好的隨機性能。

漢明距離(Hamming distance)是專門用于測試2個二進(jìn)制序列間互相關(guān)性的參數(shù)。計算上述得到的2個偽隨機二進(jìn)制序列BS1和BS2的漢明距離(見表4)，以判斷二者的互相關(guān)性。當(dāng)序列長度選取不同值時，BS1和BS2的漢明距離均約為50%，說明上述生成的2個偽隨機二進(jìn)制序列是互不相關(guān)的。

圖2 偽隨機序列發(fā)生器的二值量化算法

表2 BS1的NIST測試結(jié)果

表3 BS2的NIST測試結(jié)果

表4 不同長度的BS1與BS2的漢明距離

對于基于混沌系統(tǒng)的偽隨機序列發(fā)生器，系統(tǒng)對初始值及系統(tǒng)參數(shù)的敏感性決定產(chǎn)生不同偽隨機序列的數(shù)量。產(chǎn)生不同的偽隨機序列對應(yīng)的初始值和系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍，通常稱其為偽隨機序列發(fā)生器的“秘鑰空間”。相對于整數(shù)階混沌系統(tǒng)，在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)中，是除了初始值和系統(tǒng)參數(shù)外另一個影響系統(tǒng)特性的分岔參數(shù)。這里重點研究的影響。從BS1中隨機獲取長度為107bit的二進(jìn)制序列KS1，然后，僅改變，使=0.65+10?7，再從新的BS1中相同位置獲取同樣長度的二進(jìn)制序列KS2，計算不同的KS1和KS2的漢明距離，所得結(jié)果如表5所示。從表5可見：考慮了階數(shù)后，基于分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機序列發(fā)生器秘鑰空間至少增大107倍。

表5 不同長度的KS1與KS2的漢明距離

3 分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)設(shè)計與性能測試

采用模塊化設(shè)計方法，在Simulink平臺設(shè)計分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)。將偽隨機序列按幀的格式生成擴(kuò)頻碼。假設(shè)發(fā)送端與接收端已實現(xiàn)同步，故在接收端采用同樣的擴(kuò)頻碼用作擴(kuò)頻解調(diào)。為了檢測不同信噪比(SN)時通信系統(tǒng)的性能，系統(tǒng)中信道的噪聲可調(diào)。載波調(diào)制與解調(diào)方式使用BPSK(二進(jìn)制相移鍵控)，最后，對接收的數(shù)據(jù)與發(fā)送的原始數(shù)據(jù)在誤碼率計算模塊進(jìn)行誤碼率分析。

從BS1中分別隨機截取8，16和32 bit偽隨機序列作為擴(kuò)頻碼，測試中傳輸106位碼元，得到誤碼率(BE)隨信噪比SN的變化情況如圖3所示。選擇32 bit擴(kuò)頻碼，當(dāng)SN=?2 dB時，誤碼率接近0；選擇8 bit擴(kuò)頻碼，當(dāng)SN=4 dB時，誤碼率才接近0；當(dāng)擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的SN不變時，擴(kuò)頻碼的位數(shù)越多，則BE越小?？梢姡簲U(kuò)頻碼的位數(shù)對擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能有很大的影響，位數(shù)越多，系統(tǒng)的性能越好。

字節(jié)/bit：1—8；2—16；3—32。

在同樣條件下，選擇基于Hénon映射生成的偽隨機序列(H序列)作為擴(kuò)頻碼[18]，再選擇基于Chen系統(tǒng)生成的偽隨機序列(C序列)作為擴(kuò)頻碼[19]，將上述分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)得到的偽隨機序列記作FSL序列。在這3種情況下都選擇32位擴(kuò)頻碼，誤碼率隨信噪比的變化如圖4所示。從圖4可見：當(dāng)SN＜?5 dB時，這3種情況的誤碼率相近，都比較大，表明在惡劣的通信環(huán)境下，這3種情況的性能均不佳；當(dāng)SN≥?4 dB時，基于FSL序列的誤碼率比另外2種情況的低；當(dāng)SN=?2 dB時，基于FSL序列的誤碼率接近0，但其他2種情況下仍有較高的誤碼率；當(dāng)SN≥?1 dB時，這3種情況的誤碼率都接近0?？梢姡夯诜?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的擴(kuò)頻通信系統(tǒng)性能優(yōu)于基于Hénon映射和Chen系統(tǒng)的擴(kuò)頻系統(tǒng)性能。

雖然用Gold序列和m序列作為擴(kuò)頻碼時，其數(shù)量有限，但其通信系統(tǒng)的正確率較高。在同等條件下，都發(fā)送106位碼元，基于FSL序列的偽隨機序列與Glod序列和m序列用于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能對比如圖5所示。從圖5可見：當(dāng)SN=?2 dB時，基于FSL序列的通信系統(tǒng)的誤碼率接近于0，明顯小于Gold序列和m序列的誤碼率?？梢哉f明基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)設(shè)計的偽隨機序列性能優(yōu)于Gold序列和m序列。

擴(kuò)頻通信技術(shù)的優(yōu)點之一就是多個用戶可以在同一個信道通信，互不干擾。增加通信系統(tǒng)的用戶數(shù)量到4個，4個用戶選擇不同的初始條件，均截取32位偽隨機序列作為擴(kuò)頻碼，將4個用戶的發(fā)送信號混合在一起發(fā)送出去，每個用戶發(fā)送104個碼元。通過分別檢測每個用戶的誤碼率隨信噪比變化情況，所得結(jié)果如圖6所示。從圖6可見：4個用戶中，每個用戶的通信性能隨信噪比的變化規(guī)律類似，在很低的信噪比下仍保持很低的誤碼率。這說明在同樣的載波頻率下，這4個用戶雖然在同一信道，但由于擴(kuò)頻碼的性能優(yōu)良，其信號相互干擾很小。

1—分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)；2—Hénon映射；3—Chen系統(tǒng)

1—分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)；2—Gold序列；3—m序列。

改變多用戶系統(tǒng)中的用戶數(shù)量分別為2，4，6，8和10。為了比較用戶數(shù)量對通信系統(tǒng)性能的影響，將每種情況下所有用戶誤碼率取平均值，所得測試結(jié)果如圖7所示。從圖7可見：不同用戶數(shù)量下的通信性能很接近，當(dāng)SN≥?1 dB時，誤碼率均約接近于0。這說明使用的擴(kuò)頻碼具有良好的正交性，系統(tǒng)具有較大的多址容量。

1—用戶1；2—用戶2；3—用戶3；4—用戶4。

用戶數(shù)量/個：1—2；2—4；3—6；4—8；5—10。

4 結(jié)論

1) 分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的計算速度比整數(shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)快。

2) 分?jǐn)?shù)階簡化Lorenz系統(tǒng)的秘鑰空間比對應(yīng)整數(shù)階系統(tǒng)的秘鑰空間約大107倍。

3) 在擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機序列性能優(yōu)于基于Hénon映射和Chen系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機序列性能，也優(yōu)于m序列及Gold序列性能，適合于設(shè)計擴(kuò)頻通信。

4) 分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)具有更大的多址 容量。

[1] HEIDARI-BATENI G, MCGILLEM C D, TENORIO M F. A novel multiple-address digital communication system using chaotic signals[C]//IEEE International Conference on Communications Circuits and Systems (ICCCAS). Chicago, USA, 1992: 1232?1236.

[2] ROVATTI R, SETTI G, MAZZINI G. Chaotic complex spreading sequences for asynchronous DS-CDMA. Part II.Some theoretical performance bounds[J]. IEEE Transactions on Circuits & Systems Ⅰ, 1998, 45(4): 496?506.

[3] QI Aixue, HAN Chunyan, WANG Guangyi. Design and FPGA realization of a pseudo random sequence generator based on a switched chaos[C]//IEEE International Conference on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS). Monterrey, USA, 2010: 417?420.

[4] LIU Liye, YAN Xiao, LUO Haoding, et al. A novel composite chaotic sequence for low voltage power line spread spectrum communication[C]//IEEE Power Engineering and Automation Conference (PEAM). Shanghai, China, 2012: 1?6.

[5] WANG Xingyuan, LIU Lingtao. Cryptanalysis and improvement of a digital image encryption method with chaotic map lattices[J]. Chinese Physica B, 2013, 22(5): 198?202.

[6] LI Chengqing, ZHANG Leoyu, OU Rong, et al. Breaking a novel colour image encryption algorithm based on chaos[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 70(4): 2383?2388.

[7] ZHU Congxu, XU Siyuan, HU Yuping, et al. Breaking a novel image encryption scheme based on Brownian motion and PWLCM chaotic system[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 79(2): 1511?1518.

[8] CHEN Xiaolong, GUAN Jian, LIU Ningbo, et al. Maneuvering target detection via radon-fractional Fourier transform-based long-time coherent integration[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(4): 939?953.

[9] AROUDI A E, OUAKAD H, BENADERO L, et al. Analysis of bifurcation behavior of a piecewise linear vibrator with electromagnetic coupling for energy harvesting applications[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2014, 24(24): 1450066.

[10] ASLAM M S, RAJA M A Z. A new adaptive strategy to improve online secondary path modeling in active noise control systems using fractional signal processing approach[J]. Signal Processing, 2015, 107(4): 433?443.

[11] KHAN M, SHAH T. An efficient construction of substitution box with fractional chaotic system[J]. Signal Image & Video Processing, 2015, 9(6): 1335?1338.

[12] HU Jianbing, LU Guoping, ZHAO Lingdong. Synchronization of fractional chaotic complex networks with distributed delays[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 83(1/2): 1101?1108.

[13] WANG Huihai, SUN Kehui, HE Shaobo. Dynamic analysis and implementation of a digital signal processor of a fractional-order Lorenz-Stenflo system based on the Adomian decomposition method[J]. Physica Scripta, 2015, 90(1): 015206.

[14] WANG Huihai, SUN Kehui, HE Shaobo. Characteristic analysis and DSP realization of fractional-order simplified Lorenz system based on Adomian decomposition method[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2015, 25(6): 1550085.

[15] HE Shaobo, SUN Kehui, WANG Huihai. Multivariate permutation entropy and its application for complexity analysis of chaotic systems[J]. Physica A Statistical Mechanics & Its Applications, 2016, 461: 812?823.

[16] 賀少波, 孫克輝, 王會海. 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的Adomian分解法求解及其復(fù)雜性分析[J]. 物理學(xué)報, 2014, 63(3): 030502.HE Shaobo, SUN Kehui, WANG Huihai. Solution of the fractional-order chaotic system based on Adomian decomposition algorithm and its complexity analysis[J]. Acta Physica Sinica, 2014, 63(3): 030502.

[17] OLVER F W, LOZIER D W, BOISVERT R F, et al. NIST handbook of mathematical functions[M]. London, England: Cambridge University Press, 2010: 1?30.

[18] 李家標(biāo), 曾以成, 陳仕必, 等. 改進(jìn)型Hénon映射生成混沌偽隨機序列及性能分析[J]. 物理學(xué)報, 2011, 60(6): 60508. LI Jiabiao, ZENG Yicheng, CHEN Shibi, et al. Modified Hénon map generated chaotic pseudorandom-bit sequences and performance analysis[J]. Acta Physica Sinica, 2011, 60(6): 60508.

[19] HU Hanping, LIU Lingfeng, DING Naida. Pseudorandom sequence generator based on the Chen chaotic system[J]. Computer Physics Communications, 2013, 184(3): 765?768.

(編輯 陳燦華)

Design of communication system of fractional-order chaotic spread spectrum

WANG Huihai, SUN Kehui, HE Shaobo

(School of Physics and Electronics, Central South University, Changsha 410083, China)

In order to improve the performance of the spread spectrum communication system, a fractional-order chaotic spread spectrum communication system was designed. The fractional-order simplified Lorenz system was solved by adopting Adomian decomposition method. The iteration of the fractional-order system was deduced, and the numerical solution was obtained. Several uncorrelated chaotic pseudo-random sequences were generated by a simple binaryzation algorithm for iterative results. The pseudo-random sequence was used as spread spectrum code in spread spectrum communication system. At different signal-to-noise ratios, the influence of different spread spectrum codes on the performance of the communication system was analyzed. The results show that the pseudo-random sequences based on the fractional-order simplified Lorenz system have good randomness, and all pass statistical test suite(STS) of National Institute of Science and Technology(NIST).The generation of these pseudo-random sequences is fast. They have bigger secret key space and better security than the integer-order counterpart. The performance of the spread spectrum communication system designed is better than that of Hénon map, Chen system, m-sequence and Gold sequence, and has a good multiple access capability.

spread spectrum communication; fractional calculus; chaos

TN918.91

A

1672?7207(2018)04?0874?07

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.04.014

2017?06?29；

2017?08?22

國家自然科學(xué)基金資助項目(61161006，61573383，61502538)(Projects(61161006, 61573383, 61502538) supported by the National Natural Science Foundation of China)

孫克輝，博士，教授，從事混沌理論與應(yīng)用研究；E-mail：kehui@csu.edu.cn