借助一題多解促進思維發(fā)展

鮑遠春

【摘要】本文首先闡述了思維、思維品質(zhì)及數(shù)學解題的含義，然后通過兩個教學實例，揭示一題多解在促進思維發(fā)展方面的具體做法，為進行類似教學提供示范，并進行教學反思.

【關鍵詞】數(shù)學；一題多解；思維

作為新課程改革的實踐者，我們應該怎樣更好地讓學生掌握知識和技能，提高他們的創(chuàng)新思維能力？這是每位教師始終應該思考的問題.數(shù)學教學離不開解題，我們認為，精心地選擇典型例習題，適當?shù)貙で笠活}多解，不失為培養(yǎng)學生數(shù)學思維的發(fā)散性、創(chuàng)造性，提高學生思維品質(zhì)的有效途徑.

一、相關概念的含義

心理學認為，思維是人腦借助語言對客觀事物本質(zhì)屬性及規(guī)律的概括和間接的反應過程，思維的品質(zhì)包括思維的廣闊性、思維的批判性、思維的深刻性、思維的靈活性、思維的敏捷性.“數(shù)學是思維的體操”，數(shù)和形的種種內(nèi)在聯(lián)系和相互關系，特別是它們的本質(zhì)屬性和科學規(guī)律，僅僅依靠感覺、知覺或表象是難以認識的，只有通過有效思維才能達到深刻理解、牢固掌握和有效應用.所以，數(shù)學教學本質(zhì)上是數(shù)學思維的教學，促進學生的思維，提高其思維品質(zhì)是數(shù)學教學始終應追求的目標.

數(shù)學解題過程是一個自覺、積極、富有創(chuàng)造性的動態(tài)思維過程，選擇不同的思維起點，沿著不同的方向?qū)で蠼忸}方法，最終產(chǎn)生多種可能答案的思維方式就是發(fā)散性思維，它是創(chuàng)造性思維的主要形式.在解題過程中，適當?shù)?、有意識地嘗試一題多解，通過一題多解，引導學生從不同角度、不同側(cè)面，用不同的觀點分析、思考同一個數(shù)學問題，可以有效促進思維的廣闊性、變通性和靈活性，從而提高學生們的探索能力和創(chuàng)新能力.

二、兩個教學實例

例1 一道課堂例題（人教A版選修4-1第21頁第7題）：

如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，延長BC到D，使得CD=BC.過C作CE⊥BC，交AD于E.連接AC，交BE于F.求證：AF=CF.

本題是教材上的一道習題，課堂上講解時我鼓勵學生積極思考，大膽探索，從不同的角度進行思考.學生的思維積極性很快被充分調(diào)動起來，紛紛主動發(fā)言，交流自己的見解和思路.學生探討出了近十種做法（其中有些做法有部分相同之處），尤其是一名學生說出證法六時，如此簡潔、直接的證明，獲得了全班熱烈的掌聲.下面給出一些解題思路.

生1認為可以通過構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)進行證明.

證法一 過A作AH⊥BC于H，交BF于G，連接CG.

因為△ABC中，AB=AC，

所以CH=12BC.

因為CE∥AH，

所以CEAH=23，GHCE=12，所以AG=CE.

所以四邊形AGCE是平行四邊形，所以AF=CF.

生1是借助“一組對邊平行且相等”得出了平行四邊形的結(jié)論，生2提出還可以借助“兩組對邊分別平行”來說明“四邊形AGCE是平行四邊形”，得到了證法二：

證法二 輔助線同證法一.

顯然，AH是線段BC的中垂線，EC是線段BD的中垂線，

所以GB=GC，EB=ED，

所以∠GCB=∠EBD=∠EDB，所以GC∥AD.

又因為CE∥AH，所以四邊形AGCE是平行四邊形，

所以AF=CF.

生3認為還可以將AC放在其他的平行四邊形中，構(gòu)造了證法三中的平行四邊形ABCM.

證法三 過點A作AM∥BC，交BE的延長線于M.延長CE，交AM于N.連接CM.

因為EC是線段BD的中垂線，

易證CN是線段AM的中垂線，

所以AC=CM.

可得△ABC≌△CAM（AAS）.

所以AM=BC，所以四邊形ABCM是平行四邊形，

所以AF=CF.

生4認為還可以構(gòu)造平行線，利用平行線分線段對應成比例的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化.

證法四 過C作CM∥AB，交AD于M.

所以CM=12AB，且∠BAF=∠ACM.

因為∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ADB，

所以∠ABF=∠CAM.

又因為AB=AC，

所以△ABF≌△CAM，所以CM=AF，

所以AF=12AB=12AC，所以AF=CF.

生5則認為除了作AB的平行線，作BE的平行線也能解決問題.

證法五 過C作CN∥BE，交AD于N.

所以△BDE中，CN是中位線，N是DE的中點.

又由證法一知，DEDA=23.

所以E是AN的中點.

所以在△ACN中，F(xiàn)E是中位線，

所以F是AC的中點，故AF=CF.

幾種方法做下來后，很多學生都已經(jīng)陷入了思維定式：如何作輔助線？還可以作誰的平行線？此時生6提出了自己的證法.

證法六 因為∠ABD=∠FCB，∠FBC=∠ADB，

所以△BFC∽△DAB，所以FCAB=BCDB=12，

所以CF=12AB=12AC，所以AF=CF.

證法六無疑是最簡潔的，但卻需要很強的觀察理解能力，體現(xiàn)了思維的獨特性和創(chuàng)新性.

從這個問題來看，一題多解確實能鍛煉學生的思維.由于不同學生的思維過程和思維方法是不同的，創(chuàng)造性的靈感也各有不同，因此，讓學生暴露其思維過程，不僅有利于學生之間的交流，擴展思維的空間，展示他們的數(shù)學思維活動過程，從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維，并且也有利于教師探明學生已經(jīng)知道了什么和學生是以怎樣的方式思維的，與學生一道進入學生的思維空間.而通過這樣的碰撞，學生思維的廣闊性、靈活性等思維品質(zhì)都可以得到加強和互補，可以更好地促進學生的思維發(fā)展.

例2 求圓（x-2）2+y2=16和圓（x+1）2+（y-4）2=1的內(nèi)公切線方程.

本題的一般做法是：

解法一 若切線斜率不存在，則其方程為x=2，這是一條外公切線，不符題意，舍去.

若切線斜率存在，設公切線方程為y=kx+b.

則|2k-0+b|k2+1=4，|-k-4+b|k2+1=1， 解之得k=-724，b=194， 或k=34，b=72.

所以，所求公切線方程為7x+24y-114=0和3x-4y+14=0.

經(jīng)檢驗，7x+24y-114=0是兩圓的外公切線，3x-4y+14=0才是兩圓的內(nèi)公切線.故兩圓的內(nèi)公切線方程為3x-4y+14=0.

此種解法符合求直線方程的一般解法，但解方程組的過程中計算要求很高，沒有一定的運算功底，甚至可能解不出來.

但如果考慮到本題的特殊情況：本題中，兩圓圓心的坐標分別為A（2，0），B（-1，4），圓心距為5，半徑分別為4，1，所以，兩圓的位置關系是外切.故其內(nèi)公切線應該是垂直于直線AB且過切點（分AB的比為4的點）的直線.于是，得到解法二：

解法二 直線AB的斜率為kAB=4-0-1-2=-43，所以，兩圓的內(nèi)公切線l的斜率為kl=34.

由定比分點公式可知，切點坐標滿足x=2+4·（-1）1+4=-25，y=0+4·41+4=165， 故切點為-25，165.

所以，所求的內(nèi)公切線方程為y-165=34x+25，

即3x-4y+14=0.

解法三 利用圓系思想.

我們知道，如果兩圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①和x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②有交點，則過已知兩圓交點的圓的方程（不包括圓②）可設為

（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0.③

尤其，當λ=-1時，③式即為（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.④

它表示的是兩圓的公共弦所在直線方程.

兩圓外切時，可以看成是兩圓相交的極限情況.所以，當兩圓外切時，④式表示的就是兩圓的內(nèi)公切線方程.故本題的第三種解法就是：

直接將已知兩圓的方程相減，即可得3x-4y+14=0（最好檢驗一下）.

圓系的解題思想在解決條件中有“過兩圓交點的……”的問題時，在計算方面有較大的優(yōu)勢，但是對學生的思維要求較高.

三、教學啟示

一題多解的目的，不是玩噱頭，也不是為了一題多解而一題多解，而是為了培養(yǎng)和提高學生的思維能力，發(fā)展學生的智力，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.一般來說，學生得到一個問題的解法越多，就會表明學生的思維越靈活，思路越開闊.學生越是利用所學知識，打破一般的框框去進行廣闊的思維，就越有利于促進其思維的發(fā)展，提高其創(chuàng)造能力.但并不是所有的習題都有必要“一題多解”，同時也不提倡學生用特別復雜的方法去解題，更不應當因為學生只能用一種方法解題去批評、責備學生，這樣就會挫傷學生思維的積極性.

一位數(shù)學特級教師曾說過：“數(shù)學，要求真、求簡.”所以，有了一題多解后，教師還應當引導學生進行比較、反思，看看是不是每種方法的思維過程都是嚴謹?shù)?，并嘗試找出最簡便的解法，這樣才符合數(shù)學嚴謹?shù)奶匦院秃啙嵵?

愛因斯坦說：“想象力比知識更重要.因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步.”可見，想象力是創(chuàng)新的基礎.同時，猜想也是一種高級的創(chuàng)造性思維形式，利用它可以發(fā)現(xiàn)解題思路，利用它可以發(fā)現(xiàn)新原理、新公式.所以，我們應提倡讓學生多猜想，多從不同的角度提出問題，多從不同的角度尋求解決問題的辦法.教師要及時對學生的構(gòu)想加以分析評價，幫助學生深入認識問題的本質(zhì)，將學生引向更深的思維層次、更廣闊的思維空間.

【參考文獻】

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