考慮嚙合齒對(duì)失效相關(guān)性的齒輪系統(tǒng)可靠性評(píng)估

白恩軍, 謝里陽(yáng), 胡杰鑫

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院, 110819, 沈陽(yáng);2.東北大學(xué)航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 110819, 沈陽(yáng))

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在當(dāng)今的機(jī)械裝備中大量應(yīng)用,是應(yīng)用最廣泛的機(jī)械傳動(dòng)方式。齒輪系統(tǒng)疲勞可靠性的分析與建模方法已受到很多關(guān)注,并提出了很多理論和方法[1-4]。在齒輪傳動(dòng)過程中,任意一個(gè)輪齒的失效都會(huì)影響齒輪系統(tǒng)的正常工作,從而導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的失效,因而齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)。在傳統(tǒng)的可靠性分析研究中,齒輪多是被當(dāng)作獨(dú)立失效的零件,或是將齒輪作為一個(gè)由各個(gè)失效因素組成的簡(jiǎn)單的串聯(lián)系統(tǒng)來分析計(jì)算系統(tǒng)的可靠度[5-9],也有學(xué)者引入相關(guān)系數(shù)建立了考慮失效相關(guān)性的齒輪系統(tǒng)可靠性模型[10-13]。

系統(tǒng)在隨機(jī)輸入扭矩載荷作用下,同一時(shí)刻工作齒對(duì)的失效均是由共同扭矩載荷作用造成的,因此這些齒對(duì)的失效具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,而在不同時(shí)刻,不同嚙合齒對(duì)所承受的扭矩載荷具有隨機(jī)性,因此,不同時(shí)刻不同工作齒對(duì)之間的失效不具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。例如在時(shí)刻t1,扭矩載荷為T1,工作齒對(duì)為A1B1,這對(duì)輪齒的失效是統(tǒng)計(jì)相關(guān)的,在時(shí)刻t2,扭矩載荷為T2,工作齒對(duì)為A2B2,這對(duì)輪齒的失效也是統(tǒng)計(jì)相關(guān)的,但在這2個(gè)不同時(shí)刻,扭矩載荷具有隨機(jī)性,所以A1B1與A2B2間的失效不具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。

本文以齒輪的齒根彎曲和齒輪接觸靜強(qiáng)度失效模式為例進(jìn)行可靠性分析,分析中考慮了相互嚙合輪齒的失效相關(guān)性和齒輪嚙合的時(shí)變特性,基于蒙特卡羅抽樣方法編寫了多種失效模式下的齒輪系統(tǒng)可靠性仿真程序,并與傳統(tǒng)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性分析方法做了對(duì)比分析。本文方法避免了考慮嚙合齒對(duì)的失效相關(guān)性和時(shí)變嚙合特性的復(fù)雜建模過程,通過簡(jiǎn)單的分析即可得到可靠的結(jié)果。

1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的工作特點(diǎn)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在系統(tǒng)與零件之間的關(guān)系上與傳統(tǒng)意義上的串聯(lián)系統(tǒng)有明顯的不同。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)工作上是連續(xù)的,但并不是所有輪齒同時(shí)參與傳動(dòng),是一種多狀態(tài)的系統(tǒng),而在傳統(tǒng)的串聯(lián)系統(tǒng)中,認(rèn)為齒輪是一個(gè)獨(dú)立失效的零件,并沒有認(rèn)識(shí)到齒輪系統(tǒng)是隨時(shí)間改變的多狀態(tài)系統(tǒng),并在可靠度計(jì)算中將每個(gè)零件的可靠度簡(jiǎn)單相乘來評(píng)估系統(tǒng)可靠度。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的一對(duì)輪齒在完成嚙合后,在下一時(shí)刻均不參與工作,當(dāng)這對(duì)輪齒再次嚙合時(shí),已經(jīng)轉(zhuǎn)過1周甚至幾周,并且每對(duì)輪齒在共同載荷作用下,它們之間的失效具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。因此,在傳統(tǒng)可靠性建模中,把具有失效相關(guān)性的嚙合齒對(duì)中的每個(gè)輪齒看作獨(dú)立失效的零件處理,顯然是不切合實(shí)際的,故在齒輪可靠性分析中,需要考慮齒輪嚙合的失效相關(guān)性與時(shí)變特性。

2 多種失效模式下的傳統(tǒng)齒輪可靠性模型

在傳統(tǒng)的齒輪可靠性分析計(jì)算中,多是將齒輪或者每個(gè)輪齒作為一個(gè)獨(dú)立失效的零件。當(dāng)零件存在多種失效模式時(shí),任何一種失效都將導(dǎo)致零件的失效。因此,具有多種失效模式的零部件的可靠度可等效為由多種失效模式組成的串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度。根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論,具有多種失效模式的零部件在n次載荷作用下的可靠度可表示為

(1)

式中:Ri為零部件對(duì)應(yīng)于失效模式i的可靠度;f(s)為應(yīng)力s的概率密度函數(shù);f(δ)為強(qiáng)度δ的概率密度函數(shù)。

如果將齒輪簡(jiǎn)化為一個(gè)輪齒,假設(shè)齒輪扭矩載荷為T,其概率密度函數(shù)為f(T),則齒輪在多種失效模式下n次載荷作用時(shí)的齒輪可靠度[14]為

(2)

式中:h(T)=n[F(T)]n-1f(T)為輪齒承受的n次載荷中的最大次序統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù),其中F(T)為輪齒載荷累積分布函數(shù);si(T)為失效模式i在載荷T作用下的失效應(yīng)力;Fi為失效模式i在載荷T作用下的失效概率;m為失效模式數(shù)。

如果將齒輪的每個(gè)輪齒作為獨(dú)立失效的零件,則具有z個(gè)輪齒的齒輪可靠度表示為

(3)

由式(3)可知,傳統(tǒng)的齒輪可靠性分析中將齒輪或者輪齒作為獨(dú)立失效的零件,既沒有考慮相互嚙合齒輪失效的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性和失效模式的相關(guān)性,也沒有反映出齒輪傳動(dòng)的時(shí)變多狀態(tài)特點(diǎn)。

3 考慮時(shí)變特性及多種失效模式的齒輪可靠性分析方法

齒輪存在齒面接觸失效和齒根彎曲失效等多種失效模式,由文獻(xiàn)[15-16]可知,在共同扭矩載荷作用下,相互嚙合輪齒的失效以及各失效模式間具有失效統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。假設(shè)相互嚙合的2個(gè)輪齒的齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度的分布函數(shù)分別為ft1(δ)、ft2(δ)和fc1(δ)、fc2(δ),在共同扭矩載荷f(T)的1次作用下,不考慮失效相關(guān)性時(shí)的可靠度可表示為

(4)

當(dāng)考慮失效相關(guān)性時(shí),可靠度表示為

(5)

從式(4)、式(5)可知,考慮共因失效與否這對(duì)輪齒的可靠度是不同的,即R1≠R2。因此,在相同載荷作用下,無論是相互嚙合輪齒的各種失效模式間,或是一個(gè)輪齒的各種失效模式間,均具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,并不能認(rèn)為各個(gè)零件的失效是相互獨(dú)立的。在式(2)與式(3)中,認(rèn)為各個(gè)失效模式間相互獨(dú)立,而沒有考慮一個(gè)輪齒的多種失效模式間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性和相互嚙合輪齒的各失效模式間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。

輪齒在工作過程中,齒輪嚙合的時(shí)變性很難通過傳統(tǒng)方法建模。假設(shè)2個(gè)齒輪的齒數(shù)分別為2和3(這里之所以選用齒數(shù)為2和3的齒輪舉例,是因?yàn)辇X數(shù)少易于辨別一個(gè)嚙合周期,即輪齒1vs1再次嚙合,使過程清晰明了),則這對(duì)齒輪從編號(hào)為1vs1的輪齒開始嚙合,經(jīng)過2vs2、1vs3、2vs1、1vs2、2vs3,再次回到1vs1嚙合。那么,這對(duì)齒輪在載荷歷程T的n次作用下每對(duì)輪齒的可靠度符號(hào)如表1所示。

表1 齒對(duì)嚙合順序及對(duì)應(yīng)的可靠度符號(hào)

在計(jì)算嚙合齒對(duì)1vs3的可靠度時(shí),由于嚙合齒對(duì)1vs1在經(jīng)歷過的載荷作用下沒有失效,因此齒對(duì)1vs1的2個(gè)齒的強(qiáng)度需要修正為后驗(yàn)強(qiáng)度分布[17],進(jìn)而計(jì)算在齒對(duì)1vs1不失效的條件下1vs3的條件概率R1vs3|1vs1(n),其他嚙合齒對(duì)的條件概率計(jì)算方法與此相同。最終,這對(duì)輪齒在載荷歷程T的n次作用下的系統(tǒng)可靠度為這些嚙合齒對(duì)可靠度的乘積。

由此可見,由齒數(shù)為2和3的齒輪組成的傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠度需要計(jì)算6個(gè)齒對(duì)的可靠度。如果組成傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合齒對(duì)很多,再考慮多種失效模式,則對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性建模的難度顯而易見,因此極有必要尋找一種簡(jiǎn)單的分析方法。利用蒙特卡羅抽樣方法,可以很容易實(shí)現(xiàn)考慮多種失效模式和齒輪嚙合時(shí)變性的可靠性分析方法。

3.1 齒輪的時(shí)變嚙合關(guān)系

確定嚙合齒對(duì)時(shí)變嚙合關(guān)系的方法如下。

令齒輪的重合度為1(實(shí)際重合度大于1。在齒輪傳動(dòng)過程中,無論齒輪的重合度為多少,齒輪輪齒均由逐漸嚙入到逐漸退出嚙合,在此過程中,齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力均出現(xiàn)一次最大值,這里簡(jiǎn)化為每個(gè)輪齒嚙合過程中的最大齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力,故令重合度為1)。

假設(shè)一個(gè)兩級(jí)傳動(dòng)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示,齒輪Z1、Z2、Z3和Z4的齒數(shù)分別為11、36、11和62。令齒輪Z1的各齒編號(hào)為1～11,Z2、Z3和Z4均按此方法編號(hào)。

圖1 齒輪系統(tǒng)示意圖

令一級(jí)傳動(dòng)齒輪Z1與Z2從編號(hào)1vs1開始嚙合,依次經(jīng)過2vs2,…,11vs11,1vs12,…,3vs36,…。當(dāng)齒輪載荷作用次數(shù)n≤Z1時(shí),嚙合齒對(duì)為nvsn;當(dāng)Z1Z2時(shí),嚙合齒對(duì)為(n-[n/Z1]Z1) vs (n-[n/Z2]Z2)。嚙合齒對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示為

(6)

式中:如果n-[n/Z1]Z1=0,則令n-[n/Z1]Z1=Z1;如果n-[n/Z2]Z2=0,則令n-[n/Z2]Z2=Z2。

對(duì)于同軸上的齒輪Z2和Z3,由于齒數(shù)不同,當(dāng)齒輪Z2轉(zhuǎn)過一個(gè)齒時(shí),齒輪Z3并沒有轉(zhuǎn)過一個(gè)齒(齒數(shù)相同時(shí),可以直接用式(6)表示)。假設(shè)θ2和θ3分別為齒輪Z2和Z3完成一次嚙合的轉(zhuǎn)角,由齒輪嚙合線長(zhǎng)公式計(jì)算

(7)

式中:B1B2=επmcosα為齒輪實(shí)際嚙合線段,其中ε為重合度,m為模數(shù),α為壓力角;rb為基圓半徑。

當(dāng)齒輪Z2完成一次嚙合,齒輪Z3完成了θ2/θ3次嚙合,則一級(jí)與二級(jí)之間的時(shí)變嚙合關(guān)系為

(8)

式(8)可以近似表示同軸2個(gè)齒輪之間的嚙合次數(shù)關(guān)系。當(dāng)同軸上有更多齒輪時(shí),均可以用該式計(jì)算。將式(8)中的n代入式(6),即可得到二級(jí)齒輪的齒對(duì)時(shí)變嚙合關(guān)系。

3.2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性仿真方法

在靜強(qiáng)度可靠性建模中,當(dāng)接觸齒對(duì)的應(yīng)力大于該齒的強(qiáng)度時(shí),齒輪即發(fā)生破壞。因此,本文中的齒輪靜強(qiáng)度失效判斷準(zhǔn)則為接觸齒對(duì)的計(jì)算應(yīng)力σ大于該齒的強(qiáng)度δ,即

σ>δ

(9)

當(dāng)齒輪為接觸失效時(shí),σ和δ分別為計(jì)算接觸應(yīng)力和接觸強(qiáng)度;當(dāng)齒輪為彎曲失效時(shí),σ和δ分別為計(jì)算彎曲應(yīng)力和彎曲強(qiáng)度。

假設(shè)齒輪系統(tǒng)的輸入扭矩載荷考慮了傳動(dòng)中的振動(dòng)、沖擊及時(shí)變剛度等影響因素。根據(jù)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特點(diǎn)以及可靠性建模方法,以齒面接觸失效和齒根彎曲失效為例,本文方法的技術(shù)路線如下:

(1)輸入扭矩、齒面接觸強(qiáng)度分布、齒根彎曲強(qiáng)度分布、樣機(jī)總數(shù)和齒輪等參數(shù);

(2)選擇一個(gè)齒輪系統(tǒng)樣本,通過隨機(jī)抽樣方法隨機(jī)產(chǎn)生每個(gè)輪齒的齒面接觸強(qiáng)度和齒根彎曲強(qiáng)度,從而生成具有強(qiáng)度信息的系統(tǒng)樣本;

(3)通過隨機(jī)抽樣確定某一時(shí)刻的輸入扭矩載荷,并根據(jù)齒輪的時(shí)變嚙合關(guān)系確定此時(shí)刻的嚙合齒對(duì),根據(jù)ISO齒輪標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算扭矩T下所有參與嚙合齒對(duì)的應(yīng)力σ(接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力);

(4)當(dāng)σ≤δ時(shí),返回到步驟(2),當(dāng)σ>δ時(shí),記錄載荷作用次數(shù)n,n即為該齒輪系統(tǒng)樣本的壽命。

重復(fù)以上步驟,可以得到在輸入載荷下指定壽命的失效樣本數(shù)Nf,再利用Nf與樣本總數(shù)的比值(失效概率)即可計(jì)算出系統(tǒng)的可靠度,或在指定樣本數(shù)下檢驗(yàn)所有失效數(shù)據(jù)的壽命分布,根據(jù)壽命分布來計(jì)算系統(tǒng)的可靠度。

該技術(shù)路線的仿真流程如圖2所示。

圖2 齒輪系統(tǒng)可靠性仿真流程圖

4 驗(yàn)證與分析

(10)

式中:h(T)=n[F(T)]n-1f(T)為輪齒承受的n次載荷中的最大次序統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù),其中F(T)為輪齒載荷累積分布函數(shù),f(T)為載荷T的概率密度函數(shù);j為齒輪輪齒編號(hào);g為齒輪的齒數(shù);m為失效模式;k為失效模式數(shù);f(δ)為齒輪強(qiáng)度δ的概率密度函數(shù)。

驗(yàn)證模型在計(jì)算嚙合齒對(duì)jvsj的可靠度時(shí),計(jì)算了該對(duì)輪齒的所有失效模式的可靠度(假設(shè)2種失效模式:接觸失效和彎曲失效),考慮了嚙合齒對(duì)的統(tǒng)計(jì)失效相關(guān)性。

通過式(10)(驗(yàn)證模型)和本文方法計(jì)算這對(duì)齒輪的可靠度,結(jié)果如圖3所示。

圖3 齒輪系統(tǒng)可靠度仿真方法驗(yàn)證

由圖3可知,在考慮了齒輪嚙合時(shí)變特性和失效相關(guān)性后,本文方法與驗(yàn)證模型的計(jì)算結(jié)果是一致的。

對(duì)于更為復(fù)雜的不同齒數(shù)的齒輪組,通過數(shù)值公式建模時(shí)需按表1所示方法進(jìn)行,難度很大,而在本文所提出的仿真方法中,嚙合關(guān)系是確定的,對(duì)于不同形式的齒輪組合(如風(fēng)機(jī)行星齒輪組與外嚙合齒輪組成的多級(jí)齒輪復(fù)雜系統(tǒng)),只需建立嚙合齒輪的嚙合關(guān)系。

由圖4可知:當(dāng)載荷作用107次時(shí),方法1計(jì)算的齒輪系統(tǒng)的可靠度為0.493 6,方法2計(jì)算的可靠度為0.083 7,本文方法計(jì)算的可靠度為0.103 6。顯然,方法1計(jì)算的可靠度高估了45.99%,而方法2計(jì)算的可靠度低估了19.21%。

圖4 3種方法計(jì)算的齒輪系統(tǒng)算例的可靠度

由算例可知,由于方法1和方法2將齒輪或輪齒看作獨(dú)立失效的零件,各失效模式間均相互獨(dú)立,所以方法1高估了齒輪系統(tǒng)的可靠度,而方法2低估了齒輪系統(tǒng)的可靠度。本文方法考慮了嚙合齒對(duì)的失效相關(guān)性和嚙合時(shí)變性,分析方法更加貼合實(shí)際,計(jì)算結(jié)果更加趨于合理。在考慮載荷微觀不確定性的情況下,隨著載荷作用次數(shù)的增加,方法1與方法2估算的系統(tǒng)可靠度相對(duì)于本文方法的結(jié)果偏差更大。

5 結(jié) 論

相互嚙合的齒輪具有失效相關(guān)性與嚙合時(shí)變性,通過數(shù)值建模方法分析齒輪系統(tǒng)的可靠度時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮這2個(gè)因素,但這會(huì)使建模和分析過程變得復(fù)雜。本文基于蒙特卡羅抽樣方法,在考慮相互嚙合輪齒的失效相關(guān)性和齒輪嚙合時(shí)變特性的同時(shí),簡(jiǎn)化了齒輪系統(tǒng)的可靠性分析方法。新方法將齒輪重合度簡(jiǎn)化為1,與傳統(tǒng)的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉方法是一致的,適用于可靠度計(jì)算。本文的研究獲得以下結(jié)果和結(jié)論。

(1)根據(jù)齒輪嚙合的時(shí)變特性,給出了齒輪時(shí)變嚙合關(guān)系式。

(2)基于蒙特卡羅抽樣方法,提出了考慮多種失效模式下嚙合齒對(duì)失效相關(guān)性與嚙合時(shí)變性的齒輪系統(tǒng)可靠性分析方法。由于傳統(tǒng)方法未考慮多失效模式下嚙合齒對(duì)的失效相關(guān)性和嚙合時(shí)變性,所以相比本文方法會(huì)高估或低估齒輪系統(tǒng)的可靠度。

(3)本文方法雖是基于外嚙合的一般齒輪傳動(dòng)系統(tǒng),但對(duì)于包括內(nèi)嚙合齒輪和雙側(cè)受載行星齒輪的風(fēng)機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)等更為復(fù)雜的齒輪系統(tǒng),也可應(yīng)用本文方法評(píng)估齒輪系統(tǒng)的可靠性。

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