結構振動響應優(yōu)勢模態(tài)選取方法研究

李華東，王永歷，梅志遠

(海軍工程大學 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

0 引 言

隨著航運事業(yè)的發(fā)展和軍用需求的增加，船舶的主機功率不斷提高、噸位越來越大，從而使得船舶振動激振力加大、抵抗振動的結構動剛度變小，導致產(chǎn)生較大的船體振動，使船體的振動問題日益突出[1]。目前，對于結構的振動響應優(yōu)化問題研究的不夠充分，其原因是振動響應優(yōu)化問題在優(yōu)化求解方面有著龐大的計算量?；谀B(tài)貢獻量的動態(tài)響應優(yōu)化是一種相對便捷的優(yōu)化設計方法。通過找出結構的振動優(yōu)勢模態(tài)，根據(jù)優(yōu)勢模態(tài)的振型，設計出能夠抑制這些振型振動的方案，有針對性地增加相應優(yōu)勢模態(tài)的阻尼比，從而達到更有效的減振效果[2–4]。

經(jīng)過幾十年發(fā)展，模態(tài)貢獻量可以通過多種模態(tài)識別方法得到[5]。自20世紀70年代出現(xiàn)的最小二乘復指數(shù)法[6]，能夠獲取與模態(tài)貢獻量相對應的左特征向量[7]。HarvardVold[8]在1982年率先提出了多參考點復指數(shù)法，建立了脈沖響應、特征值及模態(tài)貢獻量之間的復指數(shù)矩陣關系方程。在國內外的研究現(xiàn)狀里，對模態(tài)貢獻量的研究分析也變得越來越多。Leuridan J和Van H der Auweraer[9]論述了使用正交多項式法，估算結構的振型與模態(tài)貢獻量。宋文等[2]明確給出了模態(tài)貢獻量的計算公式，并計算了一種支撐結構各階的模態(tài)貢獻，通過優(yōu)勢模態(tài)進行了振動響應的優(yōu)化設計。

本文基于Abaqus/Standard模態(tài)貢獻量插件，提出2種優(yōu)勢模態(tài)的選取方法，并分別根據(jù)以上2種方法選取了結構振動響應的優(yōu)勢模態(tài)，其對結構振動抑制效果進行對比，并通過算例論證了2種優(yōu)勢模態(tài)在結構整體振動響應影響程度，為后續(xù)的結構振動優(yōu)化打下良好的基礎。

1 基于Abaqus/Standard的優(yōu)勢模態(tài)選取方法研究

1.1 模態(tài)貢獻量在Abaqus/Standard中的應用

在Abaqus/Standard有限元軟件中有1套比較成熟的模態(tài)貢獻量計算插件MCF（Modal Contribution Factors），模態(tài)貢獻量（MCF）插件是一個分析噪聲、振動和聲振粗糙度（NVH）的應用程序，可以輸出模態(tài)頻響分析，也可以分析每一個模態(tài)對結構振動或聲學響應的貢獻度。

當在Abaqus/Standard里分析一個模態(tài)頻響，其響應是通過振型和相應的模態(tài)振幅的線性疊加計算而來。對于一個典型的結構噪聲或結構分析，模態(tài)的數(shù)量可以數(shù)以百計。使用者需要仔細檢查這些個體模式模態(tài)，然后找到或排列優(yōu)勢模式（對總響應做出主要貢獻的模態(tài)）。每個模態(tài)對總結構或聲學響應的貢獻率可稱為模態(tài)貢獻系數(shù)。典型的Abaqus/Standard模態(tài)頻響分析，對每一個基本態(tài)都進行固有頻率分析，然后進行多重穩(wěn)態(tài)動力學分析步（多重載荷下）。插件讀取數(shù)據(jù)庫輸出的以下變量生成分析：

1）場輸出的每一個固有頻率分析步里必須包括節(jié)點位移。此外，如果進行的是聲固耦合分析，場輸出的每個固有頻率分析步必須包括節(jié)點孔隙或聲壓。

2）每個固有頻率分析步后，必須至少有一個模態(tài)疊加的穩(wěn)態(tài)動力學分析步（不可以使用直接法或子空間法）。

3）在每個模態(tài)疊加穩(wěn)態(tài)動力學分析步里，歷史輸出里必須包括廣義位移和廣義位移的相位角。

1.2 優(yōu)勢模態(tài)的選取方法研究

運用模態(tài)坐標法，其基向量為系統(tǒng)的模態(tài)振型，模態(tài)振型是結構做無阻尼振動時其變形能的固有平衡狀態(tài)，此狀態(tài)下各階模態(tài)之間互不耦合，振動響應可以表示為各階模態(tài)貢獻之和[2]，即

式中：為結構各階的振型位移；為各階的模態(tài)坐標，即各階對結構響應的貢獻。所求得的為結構模態(tài)的總響應。

現(xiàn)以已求得的某結構單個響應點的模態(tài)貢獻量頻域響應圖（見圖1）為例，由圖可知，在此響應點的各階模態(tài)固有頻率點上，均有明顯的模態(tài)貢獻量峰值，而每一階響應頻段范圍大小并不相同，因此，可以考慮分別用以下2種方式對各階的模態(tài)貢獻量進行評價：

1）峰值法

選取所有響應節(jié)點m在各階模態(tài)α固有頻率點A上的模態(tài)貢獻量峰值，并做線性平均，得到各階模態(tài)貢獻量，最后進行歸一化處理，得到各階模態(tài)貢獻量所占整體的比重：

2）全頻段法

把每個模態(tài)的響應范圍考慮進去，將各階模態(tài)α上所有節(jié)點m在全頻段的模態(tài)貢獻量做線性平均得到各階模態(tài)貢獻量，最后進行歸一化處理，得到各階模態(tài)貢獻量所占整體的比重：

2 兩種優(yōu)勢模態(tài)對整體動態(tài)響應的影響分析

下面以1個算例分析研究2種模態(tài)貢獻量評價方法所選取的優(yōu)勢模態(tài)，哪一種對結構整體的振動響應影響較大。

2.1 算例模型

建立尺寸為200 mm（長）×20 mm（寬）×2 mm（高）的懸臂梁，材料為鋼，采用殼單元建模，單元劃分為S4R四節(jié)點單元，如圖2所示，模型右側單邊固支，頻響輸出點為除固支邊外的板中間的8個節(jié)點，激勵點位于中線靠左側，如圖2所示。

計算前800 Hz內所有模態(tài)的固有頻率，穩(wěn)態(tài)動力學計算選擇模態(tài)疊加法，計算10～800 Hz頻段內的動態(tài)響應，模態(tài)阻尼全部選取1%。

2.2 基于模態(tài)貢獻量的優(yōu)化設計及結果分析

2.2.1 模型的前800 Hz頻段內固有頻率及振型

模型前800 Hz頻段內共有5個振型，如表1所示。

表1 仿真模型1至5階振型Tab. 1 1st to 5th vibration mode of simulation

2.2.2 模型模態(tài)貢獻量的計算

計算的各輸出節(jié)點的模態(tài)貢獻量曲線結果如圖3所示。接下來分別用2種方法對結構的模態(tài)貢獻量進行評價。

1）峰值法

從輸出文件中找出各模態(tài)所有節(jié)點的模態(tài)貢獻量峰值，得到表2。

分析8個輸出節(jié)點的，可以看出1階為其優(yōu)勢模態(tài)，且能夠得出以下結論：

①由于第3階是X-Y水平面的彎曲振型，第5振型是沿模型Y軸中線的扭轉振型，模型Y軸中線的模態(tài)幅值為0，全部為此模態(tài)振動的駐點，而激勵點也在模型的Y軸中線，根據(jù)式（2），激勵在這2階的模態(tài)力為0，無法激起此振型，因此，第3階、第5階的模態(tài)貢獻量為0；

②在1階模態(tài)中，各個節(jié)點的振型位移隨著節(jié)點編號的增加而減小，而其模態(tài)貢獻量的峰值同樣隨之減小。同樣，2階、4階的各個節(jié)點模態(tài)貢獻量峰值的變化趨勢與節(jié)點所在的模態(tài)振幅變化趨勢相同。

表2 各模態(tài)所有節(jié)點的模態(tài)貢獻量峰值Tab. 2 Peak value of MCF of output node

2）全頻段法

把每個模態(tài)所有節(jié)點的模態(tài)貢獻量幅值在全頻段內進行線性平均，結果如表3所示。由表3可知，4階模態(tài)為此激勵下前800 Hz的優(yōu)勢模態(tài)。

表3 全頻段內各模態(tài)所有節(jié)點的模態(tài)貢獻量Tab. 3 MCF of output node in full-band

由表3可看出：

雖然1階模態(tài)的在所有模態(tài)中最大，然而由于1階模態(tài)響應頻段太小，其反而不如其他2個模態(tài)；相反，由于響應頻段較大，4階模態(tài)的占到了前800 Hz響應的近50%。

每個響應節(jié)點在全頻段內的模態(tài)貢獻量變化趨勢與節(jié)點在模態(tài)振幅上的變化趨勢相同，說明由表2所得出的結論②不僅適用于而且同樣適用于

2.2.3 兩種優(yōu)勢模態(tài)對整體振動響應影響分析

為了驗證哪一種方式得出的優(yōu)勢模態(tài)對整體振動響應影響最大，分別將1階、4階的模態(tài)阻尼比由1%調整到2%，且為了論證增加優(yōu)勢模態(tài)的阻尼比對結構振動優(yōu)化的高效性，分別做另外3組將其模態(tài)的阻尼比由1%調整到2%的對比試驗，結果見表4。

由表4可以得出結論：在同等條件下改變模態(tài)阻尼比，增加由所得出優(yōu)勢模態(tài)的模態(tài)阻尼比，其結構整體振動響應減小最多，優(yōu)化更有效率，振動響應變化量的相對大小與相同。如果某一階的模態(tài)貢獻量所占比重為0，則改變其模態(tài)阻尼比不會對振動響應有影響。

得出分別增加1階、2階、4階模態(tài)阻尼后節(jié)點1的模態(tài)貢獻量曲線圖，如圖4所示。

由圖4可以看出，增加各階的模態(tài)阻尼比只會降低相應階數(shù)的模態(tài)貢獻量峰值，對其響應范圍影響不大。因此，不可否認的是，利用所選取出的優(yōu)勢模態(tài)，增加其模態(tài)阻尼比，對降低振動結構的響應峰會更有效果。

表4 改變模態(tài)阻尼比后的總加速度級Tab. 4 Acceleration level after changing modal damping ratio

4階模態(tài)為Z向2個周期的彎曲振動，因此可以考慮在結構合理的位置增加抑制Z向彎曲振動的阻尼材料，同時1階和2階分別是Z向1個周期的彎曲振動和Z向1.5個周期的彎曲振動，Z向彎曲振動的阻尼材料同樣可以抑制1階模態(tài)和2階模態(tài)。

3 結 語

本文基于Abaqus/Standard中模態(tài)貢獻量插件的應用，提出了2種優(yōu)勢模態(tài)的選取方法，并通過算例論證了2種優(yōu)勢模態(tài)對振動響應的影響，可以得出以下結論：

1）增加由所得出優(yōu)勢模態(tài)的模態(tài)阻尼比，其結構整體振動響應降低最多，優(yōu)化效率更高，振動響應變化量的相對大小與相同；

2）增加由所得出優(yōu)勢模態(tài)的模態(tài)阻尼比，可以有效地降低結構振動的響應峰；

3）如果某一階的模態(tài)貢獻量所占比重為0，則改變其模態(tài)阻尼比不會對振動響應有影響；

4）不管是峰值法或是全頻段法，各個節(jié)點模態(tài)貢獻量的變化趨勢與節(jié)點所在的模態(tài)振幅變化趨勢相同。

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