芻議數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下幾何公理體系

余慶純

【摘要】溯源幾何公理體系的歷史發(fā)展及其與現(xiàn)行中學(xué)幾何公理體系的異同，闡述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下中學(xué)幾何公理體系的教育價(jià)值，進(jìn)一步提出培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】幾何公理體系；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；教育價(jià)值；教學(xué)建議

公理化方法是數(shù)學(xué)研究的典型方法，是指從盡可能少的無(wú)定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的初始命題、基本公理出發(fā)，利用純邏輯推理法則，把一門數(shù)學(xué)建立成為演繹系統(tǒng)的一種方法[1].幾何公理體系是運(yùn)用公理化方法，將幾何建立成為一個(gè)邏輯理論體系.

幾何公理體系是如何誕生和發(fā)展起來(lái)的？科學(xué)的幾何公理體系和中學(xué)幾何公理體系有什么區(qū)別？是什么原因引起的？在新一輪數(shù)學(xué)課程改革之際，著重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展，那么在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下，中學(xué)幾何公理體系有什么教育價(jià)值？為了培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，銜接好初中和高中的幾何教學(xué)內(nèi)容，有怎樣的教學(xué)建議？本文將對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行一一探討.

一、幾何公理體系的誕生和發(fā)展

歷史上第一個(gè)成文的公理體系最初萌芽于公元前三世紀(jì)，由古希臘哲學(xué)家亞里士多德創(chuàng)立的三段論法.這是亞里士多德在總結(jié)了古代積累起來(lái)的邏輯知識(shí)，以演繹證明的科學(xué)（主要是數(shù)學(xué)）為實(shí)例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出所有三段論法（共分為19個(gè)格式）[1].

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得繼亞里士多德之后，運(yùn)用形式邏輯的演繹方法提煉出一系列基本概念、命題和公理，將當(dāng)時(shí)所知的幾何知識(shí)以一個(gè)相對(duì)完整的演繹系統(tǒng)表述出來(lái)，形成數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典著作《幾何原本》.《幾何原本》從5條公理、5條公設(shè)和23個(gè)定義出發(fā)，推理證明出465個(gè)數(shù)學(xué)命題.《幾何原本》是最早運(yùn)用公理化方法建立起幾何公理體系的范本.

然而歐氏幾何的公理體系并不完善，有些定理的證明僅依賴于幾何直觀，有些定義是不自足或是多余的，特別是“第五公設(shè)（即平行公理）”一直以來(lái)飽受爭(zhēng)議.19世紀(jì)，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出“第五公理”[1]：過(guò)平面外上一已知直線外的一點(diǎn)至少可以引出兩條直線與該已知直線平行.這是羅巴切夫斯基在保留絕對(duì)幾何公理系統(tǒng)（即歐氏幾何和羅氏幾何兩個(gè)公理系統(tǒng)的公共部分）基礎(chǔ)上，通過(guò)剔除“第五公設(shè)”，引入“第五公理”而構(gòu)造出一個(gè)新的羅氏幾何公理體系.無(wú)獨(dú)有偶，1854年數(shù)學(xué)家黎曼在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》一文中提出：從另一新的“平行定理”出發(fā)，以鈍角假設(shè)（三角形內(nèi)角和大于180度）建立了新的黎曼幾何公理體系[2].

1899年，數(shù)學(xué)家希爾伯特在歐氏幾何公理體系基礎(chǔ)上，建立了第一個(gè)具有完整、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯結(jié)構(gòu)的科學(xué)的幾何公理體系，稱之為希爾伯特幾何公理體系.在希爾伯特的巨著《幾何基礎(chǔ)》中引進(jìn)了一些基本概念，包括基本元素（點(diǎn)、直線、平面）、基本關(guān)系（結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系）、基本公理（5組20條），集中體現(xiàn)了希爾伯特對(duì)公理選擇的嚴(yán)格要求，即公理需要滿足相容性、獨(dú)立性和完備性三條基本要求.20世紀(jì)后，在上述幾何公理體系的基礎(chǔ)上，逐漸發(fā)展出集合論、概率論、元數(shù)學(xué)等重要的數(shù)學(xué)分支.

在數(shù)學(xué)思想的觀念上，“非歐幾何”（泛指把一切不同于歐氏幾何體系的幾何系統(tǒng)）是公理化思想創(chuàng)新的一個(gè)碩果，即通過(guò)對(duì)公理化方法進(jìn)行深刻的結(jié)構(gòu)分析，變正面的試證第五公設(shè)為從中析出可以變更的公理，進(jìn)而用新公理替換原公理，同樣可以得到一套具有自我完備性的知識(shí)體系[3].在幾何公理體系發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，公理化方法（特別是它的邏輯推理）一直推動(dòng)著整個(gè)數(shù)學(xué)乃至其他自然科學(xué)領(lǐng)域不斷向前發(fā)展.

二、現(xiàn)行中學(xué)幾何公理體系的簡(jiǎn)析

科學(xué)的幾何公理體系和中學(xué)幾何公理體系在本質(zhì)上有很大區(qū)別.科學(xué)的幾何公理體系，它是從高度抽象性來(lái)體現(xiàn)客觀現(xiàn)實(shí)的真實(shí)性，必須始終貫穿著公理的相容性、獨(dú)立性和完備性三條基本要求.對(duì)于中學(xué)幾何公理體系，首先，要考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力等學(xué)情；其次，要求教師能夠幫助學(xué)生構(gòu)建相對(duì)直觀、實(shí)用的幾何公理體系，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí).當(dāng)嚴(yán)格的公理體系滲透到中學(xué)幾何課程中時(shí)，需要進(jìn)一步刪繁就簡(jiǎn)，適度降低科學(xué)的幾何公理體系的要求.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中滲透幾何公理體系，常采用如下原則：保持相容性，弱化獨(dú)立性和完備性，偏向公理的相對(duì)直觀性、簡(jiǎn)要性、實(shí)用性.依據(jù)現(xiàn)行《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[4]和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》[5]的要求，將中學(xué)幾何公理體系的主要公理內(nèi)容歸納如下：

由表可以看出：中學(xué)幾何公理體系是以《幾何原本》中歐氏幾何為原型建立起來(lái)的相對(duì)完整的幾何公理體系.從初中到高中階段，注重學(xué)生認(rèn)知水平的階段性、連續(xù)性發(fā)展，弱化對(duì)公理化嚴(yán)格論述的要求，允許學(xué)生對(duì)幾何圖形的直觀承認(rèn).

教參[6]中明確指出：中學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒(méi)有明確的公理體系形式，但在每一次推理時(shí)，我們都有明確的推理根據(jù)；在這個(gè)意義下，我們心目中都有一個(gè)“公理體系”，并在其中進(jìn)行推理，這種潛移默化的邏輯結(jié)構(gòu)的熏陶是中學(xué)數(shù)學(xué)的“靈魂”，是培養(yǎng)學(xué)生的理性精神的特有載體.

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下，中學(xué)幾何公理體系的教育價(jià)值

在新一輪數(shù)學(xué)課程改革之際，著重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展，因此需要在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下，重新審視銜接初中和高中的幾何公理體系的教育價(jià)值.

對(duì)幾何公理體系和公理化方法的理解，需要培育以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象為主的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過(guò)幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和思想方法，積累從具體到抽象的思維經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析數(shù)學(xué)命題，掌握從特殊到一般的類比歸納和從一般到特殊的演繹推理的基本形式，發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)；培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)借助幾何直觀和空間想象感知物體形態(tài)及變化規(guī)律，理解并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).同時(shí)，中學(xué)幾何教學(xué)也在潛移默化之中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

張奠宙教授曾談道：古希臘的數(shù)學(xué)閃耀著理性思維的光輝，不迷信權(quán)威，不感情用事，不人云亦云，而是客觀地，冷靜地、邏輯地進(jìn)行思考，探求真理.這就是我們應(yīng)該向古希臘文明學(xué)習(xí)的地方，也是我們學(xué)習(xí)幾何證明的重要目的之一[7].通過(guò)幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)，了解幾何公理體系的發(fā)展歷程，培育崇尚真理的理性精神，樹立嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，彰顯數(shù)學(xué)課程“立德樹人”的教育理念.

四、教學(xué)建議

正在修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見稿）》中提出：“學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整體性特點(diǎn)”.在實(shí)際教學(xué)中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要注重銜接初中和高中的幾何教學(xué)內(nèi)容，具體可分為四個(gè)階段逐步實(shí)現(xiàn).

第一階段是幾何入門階段.中學(xué)生在七年級(jí)學(xué)習(xí)幾何圖形初步，接觸了點(diǎn)、線、面、體等基本的幾何圖形，了解直線、射線、線段、角的性質(zhì)和基本應(yīng)用，學(xué)習(xí)兩直線平行與相交位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，了解簡(jiǎn)單的推理證明.值得注意的是，學(xué)生在該階段常常不知道客觀上已知的性質(zhì)、定理和主觀上的“想當(dāng)然”之間的差異.這一階段，教師可以通過(guò)展示具體教具或動(dòng)態(tài)演示等途徑，引導(dǎo)學(xué)生邊觀察邊思考，有助于培養(yǎng)幾何直觀.同時(shí)教師可以創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，通過(guò)舉例示范，講清楚什么是幾何中的證明，指出證明中每一步推理都要有理有據(jù)，摒棄“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤觀念.本階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)階段.

第二階段是邏輯推理發(fā)展階段.通過(guò)對(duì)三角形、四邊形的性質(zhì)、定理、命題的學(xué)習(xí)，初步掌握運(yùn)用類比、特殊化等方法來(lái)探究和證明三角形、平行四邊形等基本圖形的幾何性質(zhì)；進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓和相似形，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、類比的方法來(lái)探究和證明圓的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).這一階段，教師可以充分運(yùn)用信息技術(shù)工具為學(xué)生創(chuàng)造多樣化的學(xué)習(xí)環(huán)境；可以通過(guò)獨(dú)立思考、自主探究、小組合作等形式，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去觀察，用數(shù)學(xué)思維去分析，用分析法、綜合法等數(shù)學(xué)方法去推理論證，逐漸養(yǎng)成規(guī)范地書寫證明過(guò)程的良好習(xí)慣.本階段是中學(xué)生運(yùn)用已知公理、定理、性質(zhì)等作為推理依據(jù)，逐步掌握演繹法、歸納法的關(guān)鍵階段，也是培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理的重要階段.

第三階段是想象能力提升階段.學(xué)生開始接觸立體幾何初步，了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法，理解空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述和論證有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定.值得注意的是，學(xué)生由二維平面過(guò)渡到三維空間，難免會(huì)出現(xiàn)知識(shí)遷移上的不適應(yīng).因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師可以展示立體教具或演示三維圖形動(dòng)態(tài)圖等途徑，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、動(dòng)手操作、度量計(jì)算、推理論證等過(guò)程，幫助學(xué)生建立直觀想象.同時(shí)，教師還可以組織學(xué)生開展“生活中的立體幾何”“建筑中的立體幾何”等主題探究活動(dòng)，或者介紹幾何公理體系誕生和不斷完善的數(shù)學(xué)史實(shí)例，構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.這一階段是發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)、培育學(xué)生理性精神和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)態(tài)度的關(guān)鍵階段.

第四階段是數(shù)形結(jié)合階段.這一階段學(xué)習(xí)解析幾何初步，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系建立直線和圓的代數(shù)方程，研究?jī)烧叩膸缀涡再|(zhì)及位置關(guān)系；運(yùn)用代數(shù)法研究幾何，將圖形的平行、垂直、全等、相似等基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化成向量的運(yùn)算體系；了解空間直角坐標(biāo)系.在教學(xué)過(guò)程中，教師可以組織學(xué)生收集數(shù)形結(jié)合的生活實(shí)例，開展數(shù)形結(jié)合的主題探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)法適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，描繪幾何圖形的位置關(guān)系及其變化規(guī)律，積累發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.同時(shí)，教師也可以講述有關(guān)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)史典例，豐富教學(xué)內(nèi)容.本階段是幾何公理體系在代數(shù)領(lǐng)域的延續(xù)，體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的相互融合、相互促進(jìn)；也是培育學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的重要階段.

綜上，中學(xué)幾何公理化體系在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中有著舉足輕重的地位.隨著數(shù)學(xué)課程的不斷改革，中學(xué)幾何公理體系潛移默化地承載著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，與時(shí)俱進(jìn)地促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展.

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[4]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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[6]課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2·必修（A版）·教師教學(xué)用書[M].北京：人民教育出版社，2015.

[7]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.