微積分總覽

茍銀霞

【摘 要】微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)。由于它的博大精深，以及現(xiàn)在市場、學(xué)校充斥著形形色色教材、習(xí)題，這樣容易讓初學(xué)者迷失方向，微積分是什么，主要解決什么等等一系列的問題更讓人迷惑，因此給出微積分的總覽是必要的。

【關(guān)鍵字】微分 積分 函數(shù) 思想。

一、微積分總覽

眾所周知，微積分在整個高等數(shù)學(xué)的占有相當(dāng)重要地位，關(guān)于微積分的課本、習(xí)題集更是琳瑯滿目?；旧纤械慕滩慕档轿⒎e分都是在重復(fù)古人無限細分取極限的思想，這樣，就讓學(xué)生聽得滿頭霧水，其實，微積分就是研究兩個成對函數(shù)之間的關(guān)系。

1.微積分的實質(zhì)

在以下的例子中，我們設(shè) 表示路程（位移）， 表示速度，符號 也表示速度，用 表示平均速度。文中所指的積分在沒有特殊說明的時候都是指不定積分。

若物體做勻加速運動，那么 、 之間的微積分關(guān)系是怎樣的呢？

第一，分關(guān)系（已知 求 的過程，即已知位移求速度。）

根據(jù)物理知識，初速度為0的勻加速運動位移為 ，而 ，顯然，運動過程中的平均速度為 ，在任一點處的瞬時速度 ，也就是說微分只關(guān)心瞬時情況，在數(shù)值上與平均變化率的極限相等。

第二，分關(guān)系（已知速度求位移）

設(shè)勻加速運動中，初速度 ，任意時刻的末速度為 ，則 與圖2中曲線下方圖形的面積相等。也就是說積分在某一時刻的值等于對應(yīng)曲線下方圖形的面積。

因此，我們不難得出，微分的本質(zhì)是“無限細分”，積分的本質(zhì)是“無限求和”。二者是互逆運算。

2.微積分的思想

在許多高等數(shù)學(xué)教材中，所呈現(xiàn)的是一套經(jīng)過邏輯加工的完美數(shù)學(xué)體系，往往忽視了其中所隱藏的奧秘。微積分之所以重要，在于它所蘊含的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，兩者相輔相成，缺一不可。

第一，“極限思想”。極限的思想出現(xiàn)在微積分里是必要的，因為我們要用代數(shù)去衡量“無限”的量本身是無法實現(xiàn)的，只有借助極限的思想，才能夠把“無限”的量代數(shù)化，在微積分里我們不難看到以下幾個事實，一是，增量無限趨于0；二是，割線無限趨于切線；三是，曲線無限趨于直線。這里面全都涉及到“極限思想”，可見，“極限思想”在微積分里的作用不可小覷。

第二，“以直代曲”的思想。在不定積分與二重積分的定義中，以曲線無限趨于直線，從而“以直代曲”，使得積分的計算得以實現(xiàn)，此外，定積分求曲線弧長、求幾何體的體積的計算公式都是“以直代曲”的結(jié)果。“以直代曲”用線性化方法解決非線性化問題是微積分的另一精髓所在。值得指出的是并非任何情況下都可以“以直代曲”，根本原因在于在“以直代曲”的過程中，并不是用等價無窮小去代替的，在具體的問題中還需注意能不能轉(zhuǎn)化。

第三，“有限化無限，無限化有限”。一是，通過有限認識無限，如無窮求和 ，我們假設(shè)有限項的部分和 ，用等比數(shù)列求和公式有 ，當(dāng) 時有 ，因此，我們認為該無限項的和是1。二是，用無限確認有限，如曲邊梯形的面積問題，面積是一個有限數(shù)，而我們采用的是無限細分的方法，把一個有限的量轉(zhuǎn)化成了一個無限項和的形式，從有限到無限，進而求出它的精確值。

3.微積分的精髓

微積分作為高等數(shù)學(xué)的主要分支，是以函數(shù)為主要的研究對象，其中有很多著名的定理，如“羅爾定理”、 “柯西定理”、“拉格朗日中值定理”以及“微積分基本定理”等等一列系的定理推論。它們把函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的積分聯(lián)系起來，使三者可以互相轉(zhuǎn)化，成為一個有機整體。

二、小結(jié)

微積分作為數(shù)學(xué)的主要分支，它的價值不在于掌握死板的知識理論，更重要的是理解其中所隱藏的奧秘——數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，這些思想方法是在累積了前人大量成果的基礎(chǔ)上慢慢沉淀、總結(jié)出來的。如何利用微積分在學(xué)習(xí)、生活中實現(xiàn)目標(biāo)最大化、效果最優(yōu)化才是重中之重。

參考文獻

[1]劉里鵬.《從割圓術(shù)走向無窮小——揭秘微積分》，科技出版社，2009.

[2]蔣金弟.《高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)》，文化與教育技術(shù)，2010.

[3]邵光華.《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法》上海教育出版社，2009