小學數(shù)學中的反問題研究和啟示

方杏

在數(shù)學、物理甚至社會生活中，反問題都是普遍存在的，因為事物是普遍聯(lián)系和相互作用的。本文就數(shù)學思維和學習中的反問題進行研究，包括加減法運算和乘除法運算、數(shù)的擴展、簡便運算、算術與代數(shù)的銜接以及問題解決，可以啟發(fā)教師教學和學生學習，成為教師的教學工具和學生的思維工具。

反問題（inverse problem）是相對于原問題（direct problem）提出的。在兩個問題中，如果其中一個問題中的結構或元素包含了另一個問題的解的部分或全部，那么，我們稱這兩個問題互為相反問題。數(shù)學中的很多問題，無論難易，都不是孤立存在的。例如正比例函數(shù)和反比例函數(shù)、原命題和逆命題等等。

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）中，課程目標明確提出培養(yǎng)學生“從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”，“養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣”。應培養(yǎng)學生的這種反問題意識，讓學生經歷反問題的思考，認識問題的相反面。在數(shù)學思考和學習中拓寬一些相反方面的視角，進而提出反問題并解決反問題，這不僅是逆向思維的一種具體表現(xiàn)，也是培養(yǎng)學生反思意識和創(chuàng)新能力的有效途徑。

1 反問題介紹

反問題是數(shù)學結構體系中的一個基本組成部分。學生們最早接觸到的是算數(shù)中的反問題，例如自然數(shù)及其四則運算，包括自然數(shù)的擴展，算術和代數(shù)的銜接等。

1.1 四則運算與反問題

反問題對于自然數(shù)及其四則運算是至關重要的。在純形式算術中，理解加減運算和乘除法的逆關系，可以強化學生靈活高效地進行計算。在加法和減法題目中，以下列舉組合、均衡和比較問題這幾類，說明相反問題在這幾類情況下使用算術運算的關系：在組合問題中，集合與分離是一對相反關系，例如，將17個男生和21個女生組成一個班，或者把班上學生分成男生和女生兩個組；均衡問題的形式是“A需要增加多少才能變成B？”該問題列算式對應的減法是間接加法，即是加法的逆運算；在比較問題中，例如：A>B，A與B的差和B與A之間的互補差是相反關系。

同理，除法是乘法的逆運算，乘除是一對相反關系。在均分問題中，總量可以通過除法運算進行平均分，或者求等量的幾份的總和，即為相反問題。在單位轉化中，例如將1平方米轉化成10000平方厘米，或將10000平方厘米化成1平方米，存在相反關系。同乘法比較，例如，小紅有糖果的數(shù)量是小明的3倍，即小明有糖果的數(shù)量是小紅的三分之一。乘法變形，如將A縮小20%，列算式為：A （1-20%），即A ，是間接的除法運算。

1.2 數(shù)的概念的擴展與反問題

數(shù)字系統(tǒng)的拓展對學生理解概念和構建數(shù)字系統(tǒng)結構及其評估有著重要意義。人們對數(shù)字的認識是從計數(shù)開始的，即1，2，3，4，…，稱之為自然數(shù)（natural numbers）。在自然數(shù)中，加法是封閉的，即兩個自然數(shù)之和也是自然數(shù)；但其逆運算減法是不封閉的，就造成了一種不平衡，所以需要構建負數(shù)。例如：a>b，a-b=c成立，而b-a在自然數(shù)范圍內是沒有意義的，但是數(shù)c=a-b確實存在，所以就寫成b-a=-c，稱之為一個負數(shù)。引入負數(shù)后，加減運算就打通了。即：加上一個正數(shù)就等于減去它的相反數(shù)。

乘法在學校數(shù)學中首先是以重復添加的形式出現(xiàn)的，同樣在自然數(shù)中封閉。且其逆運算除法不封閉，這就需要通過構造有理數(shù)體系來平衡的。在分數(shù)乘除法中，一般的乘法很容易得到理解：A 就是用A乘以a再除以b。而在除法中，A除以 等于A乘以 的倒數(shù) ， 即：A A 。如此，分數(shù)的除法就可以用乘法逆運算解決了。

1.3 簡便運算與反問題

這種對數(shù)的概念及其相反問題的理解，有利于學生快速有效地進行算術運算。當一個學生學會了計算86 57 142時，那么他可以根據加減運算的相反關系，很快找到其相關問題143 86或者85 58的答案。在算術運算中時常都是伴隨著各種相反關系，理解這些關系，并且讓學生利用這些關系靈活運用四則運算，可以檢驗計算和進行簡便運算。例如：計算 。一個學生可以很流暢迅速地按照順序進行計算，并且得出正確答案，說明該學生很擅長計算，但是對于數(shù)及其運算的意義的理解卻未必明確。仔細觀察算式，不難發(fā)現(xiàn)分子可以寫成273 的形式，算式就化簡為 ，很容易得到答案273。計算流暢性與對概念的理解之間的差別是內在抽象的，我們很難界定，因此相反問題的提出就可以作為一種外在檢驗，很好地解決這一困惑，這就需要培養(yǎng)學生對反問題的思考。

1.4 算術與代數(shù)的銜接

算術與代數(shù)在解決問題方法上是不同的。算術運算是為求出結果而直接進行的計算，而代數(shù)往往需要構建一種形式或模型，再進行計算得出結果，是結構性的思考。例如，計算15-7，學生會有意識無意識地運用代數(shù)原理由7+8=15推導出15-7=8（或者15-8=7）。其思考過程背后其實就是 。這種聯(lián)系加法和減法的思維過程，我們稱之為關系演算（relational calculus）。關系演算是鏈接算術和代數(shù)的中心?？蓪⑸鲜鏊闶綄懗纱鷶?shù)形式，為：7+x=15和x+8=15，其答案就可以通過加減法的相反關系來計算獲得，這同樣也適用于乘除法。利用算術的方式解決問題，思維是逆向的，而代數(shù)的方法思維是順向的。從算術到代數(shù)的過渡其實是實現(xiàn)思維方式的轉化過程。這種關系演算可以讓學生自主建構出一般關系，聯(lián)系算術與代數(shù)的算法，讓學生經歷過程性的思考，銜接算術和代數(shù)，從而實現(xiàn)學生從算術到代數(shù)運算的過渡。

1.5 問題解決

應用問題是小學階段數(shù)學的重難點，要解決好問題，首先學生對于要解決的問題和已知信息需要很好的理解，再建立起已知與未知條件之間的聯(lián)系，最后進行計算得出結果。例如解決下列問題：

問題1：小明用存錢罐存錢，存了20枚5毛硬幣和10枚1元硬幣。（1）小明存了多少枚硬幣？（2）小明一共存了多少錢？

題目中已知條件為：“5毛硬幣20枚”、“1元硬幣10枚”，目標問題為：“總硬幣枚數(shù)”和“總錢數(shù)”。解答思路是很明確的：

（1）20+10=30（枚）

（2）0.5 （元）

問題2：小明用存錢罐存錢，存了5毛硬幣和1元硬幣共30枚，一共值20元。小明存了5毛硬幣和1元硬幣各多少枚？

分析題目可知，已知信息為：“硬幣總枚數(shù)”和“總面值數(shù)”（或總錢數(shù)），目標問題為：“5毛硬幣枚數(shù)”和“1元硬幣枚數(shù)”。解答的方式可以有多種，這里只列出兩種方法作說明：

算術方法：1元硬幣數(shù)量：

5毛硬幣數(shù)量：

（2）方程方法：設有5毛硬幣x枚，1元硬幣y枚。列方程，得：

解得：

與問題1比較，問題2的解題過程較為復雜，并且思維過程正好相反。原因在于問題1與問題2的已知條件與未知條件互換了，問題1中包含了問題2的問題答案，問題2中也含有問題1的目標問題。不妨稱問題1為原問題（direct problem），那么問題2則為其反問題（inverse problem）。問題解決的過程中最重要的是要建立已知與未知條件的聯(lián)系，而這種反問題思考就是學生理解問題本質的過程。

2 反問題研究的啟示

不僅在數(shù)學，物理甚至社會生活中，反問題都是普遍存在的，因為事物是普遍聯(lián)系和相互作用的。本文就數(shù)學思維和學習中的反問題進行研究，包括加減法運算和乘除法運算、自然數(shù)的擴展、簡便運算、算術與代數(shù)的銜接以及問題解決，可以在小學階段內啟發(fā)教師教學和學生學習，成為教師的教學工具和學生的思維工具。在課堂教學中，教師可以運用反問題來創(chuàng)設不同的問題情境，通過原問題與反問題相反關系的結構性特征，轉換學生思考問題的角度，提升學生對問題理解的深度和靈活度。這樣可以讓學生從表面學習層次的理解，上升到問題本質。學生往往習慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題，尋求解決問題的辦法，而反問題思考，可以打破學生固化的順向思維方式，逐步形成逆向思維。培養(yǎng)學生的反問題意識，認識問題內部的相反關系，提出反問題并解決問題的過程，也是建構全面的數(shù)學認知結構的過程，對學生更深入的數(shù)學學習會有所裨益。

（作者單位：首都師范大學初等教育學院）