再說微積分學(xué)中的這個重要函數(shù)

陸宗斌

在《微積分學(xué)中一個重要函數(shù)》一文中，我們對第一個重要極限

中的函數(shù) 進(jìn)行了一系列的討論，指出了一些顯著的特點，但也掛一漏萬，對于導(dǎo)數(shù)的計算也沒有展開討論，本文就進(jìn)行這方面的討論。

由于 的定義域為 ，所以由求導(dǎo)公式、法則可以得：

……①

顯然，除了 點外， 處處可導(dǎo)， 連續(xù)。

作為 的一個可去間斷點，我們可以補(bǔ)充定義后使其成為連續(xù)函數(shù)：

這樣就有了 在 點處作為連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，下面就從多個角度進(jìn)行討論：

1 幾何圖象觀察（上文中有圖象）

通過對 圖象的觀察，可以猜測： 在 點處不但是連續(xù)的，而且是光滑的，加上對稱性， 在 點處應(yīng)該有水平切線，即 。

2 直接定義計算

因為 不是初等函數(shù)了，所以由導(dǎo)數(shù)的定義計算：

……②

可以看到，②式這一極限計算僅用代數(shù)式的恒等變型是相當(dāng)困難的，應(yīng)采取其他辦法。

（1）等價代換法 由第一個重要極限可知：當(dāng) 時， ，于是

②式

似乎簡單之極，但這是錯誤的做法！一則等價代換不適用于有加減運算的函數(shù)極限；二則，假設(shè)這個方法及計算是正確的，那么就有

即， 是比 高階的無窮小，也就是 了，顯然假設(shè)錯誤。

（2）羅必塔法則 兩次使用羅必塔法則

②式

3 利用連續(xù)性計算

利用 時的導(dǎo)函數(shù) ，取 時①式的極限：

注：上式中第三個等號是通過羅必塔法則計算而得到的。

通過上面的計算，我們可以得到：

顯然， 在 點處是連續(xù)的。

那么， 二階導(dǎo)數(shù)呢？更高階的導(dǎo)數(shù)呢？另外等價代換時為什么出錯？羅必塔法則使用正確合理嗎？……，使用冪級數(shù)就能很好地說明及解決這些問題。

4 利用冪級數(shù)進(jìn)行討論

正弦函數(shù)有冪級數(shù)展開式：

等式兩邊同除 后，左邊就是 ，這時 不能為 ，而右邊冪級數(shù)中 ，原因是 為 的可去間斷點，冪級數(shù)恰好去除了這個間斷點，所以，的求導(dǎo)就成為逐項（冪函數(shù)的）求導(dǎo)

（若增加余弦函數(shù)的冪級數(shù)展開式，我們可以將①式進(jìn)行展開，其結(jié)果與上式一樣。）

所以 ，計算十分簡單。

同時， 的高階導(dǎo)數(shù)計算也容易多了

……

另外，等價代換問題也可以解釋了，正弦函數(shù)及其展開式兩邊同減

在由②式相關(guān)的下面極限中

當(dāng) 時，為無窮小量；當(dāng) 時，等于 ；當(dāng) 時，為無窮大量。

是一個與 同階的無窮小量。說明 與 是有差距的，但誤差不大，等價無窮小相減后會成為（比自身）更高階的無窮小，也就是誤差更小，但仍有差距。如果代換后成為直接抵消就是沒有了差距，所以前面的計算是巧合，等價無窮小代換是有條件的。

可以看到， 與 是最簡單也是最熟悉的函數(shù)，僅作一個相除而得到的函數(shù) ，諸多性質(zhì)發(fā)生了變化，引出的許多問題及解決方法貫穿整個微積分學(xué)，用級數(shù)解釋無窮小等價代換、解決求導(dǎo)問題（包括高價導(dǎo)數(shù)）、解決可積而積不出問題、…，都十分簡單、方便。

（作者單位：蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院）