“方程的根與函數(shù)的零點”教學設計

王冬晴

1 教材分析

本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書人教版必修一第三章第一節(jié)——第一課時方程的根與函數(shù)的零點.函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈接點，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)與方程聯(lián)系在一起，本節(jié)課教學重點為零點的概念，函數(shù)零點與方程的根之間的聯(lián)系；教學難點為對零點存在性定理的理解與應用.學習本節(jié)課為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)的學習奠定基礎.

2 教學設計思路

本節(jié)課的設計思路是：1）從HPM的視角引入新課，引導學生在函數(shù)與方程之間建立聯(lián)系，培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯推理能力；2）從特殊到一般，引導學生自己得出函數(shù)零點概念、方程的根和函數(shù)圖像之間的關系，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力和直觀想象能力；3）學生歸納出零點存在性定理后，教師引導學生應用零點存在性定理解決問題，使學生學以致用、鞏固新知，為下節(jié)“二分法”這一數(shù)學運算奠定基礎。

2.1 問題導入

問題1 求下列方程的根

（1） ；（2） ；（3） .

分析 學生很容易求出第1個小題，但后面兩個小題不會.老師通過引用1824年挪威天才數(shù)學家阿貝爾成功的證明了五次及以上的方程沒有根式解這一數(shù)學史，將此過程巧妙過渡到本節(jié)課課題.并說明，現(xiàn)如今高次方程求解方法有很多，今天我們探討其中一個方法，從函數(shù)圖像角度來研究方程的根。

設計意圖 從HPM的視角來設計教學，激發(fā)學生學習興趣，同時，在教學過程中潛移默化的豐富學生數(shù)學文化知識，引出本節(jié)課研究內容。

2.2 建構概念

問題2 寫出函數(shù) 的圖像與 軸交點的坐標。

分析 該函數(shù)圖像不要求學生畫出，應用學生已有的知識結構想象出函數(shù)圖像的具體形式，學生說出函數(shù)圖像與 軸交點的坐標，當縱坐標為0時，橫坐標是一個實數(shù)，將這一實數(shù)賦予一個新名字，即函數(shù)的零點，由此引出零點的概念.接下來，通過引導學生判斷諸如函數(shù) ； 等是否存在零點，來鞏固零點的概念。

設計意圖 通過數(shù)形結合引導學生主動探究方程的根與函數(shù)圖像間的關系，從數(shù)與形的角度來說，方程的根在對應的函數(shù)中所具有的多重意義.在這一環(huán)節(jié)中，不要求學生畫出該函數(shù)圖像，以培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

問題3 一般方程的根和其對應的函數(shù)零點之間有怎樣的關系？

分析 在這一環(huán)節(jié)中，引導學生從特殊到一般，歸納方程的根、函數(shù)的零點和函數(shù)圖像間關系，由此得出等價關系。

設計意圖 函數(shù)的零點是新概念，這一問題的提出，避免學生與方程的根以及幾何概念中的點混淆.雖然它們有各自不同的特性，但反映的卻是共同的本質。明晰三者之間相互轉化關系，在這一環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學生的抽象概括能力。

2.3 探究定理

問題4 滿足什么條件，函數(shù)存在零點呢？

先解決這樣一個問題，已知函數(shù) 在區(qū)間[-2，1]、[2，4]內有零點，計算 、 ，觀察乘積有什么特點。

分析 引導學生畫出并觀察函數(shù)圖像，計算問題4中的乘積，并予以說明，分析乘積特點得出函數(shù) 在區(qū)間（-2，1）、（2，4）內有零點。

設計意圖 通過老師的引導以及學生的運算，培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力，抽象推理能力，由此概括地歸納出函數(shù)存在零點的條件，得出零點存在性定理。

2.4 剖析定理

定理是本節(jié)課的重點內容，需要注意的是該定理是充分不必要的，為了讓學生在課堂上準確理解定理內容，進行下面的剖析：定理中有兩個條件，若只給出其中一個，能否得出在對應的區(qū)間內有零點；若將定理反過來描述，得到的結論是否成立。

設計意圖 三個問題有助于學生理解零點存在性定理的本質，明確定理中充分不必要的條件，有助于培養(yǎng)學生的逆向思維能力，直觀想象能力和數(shù)學抽象能力。

2.5 應用定理

（1）判斷方程 根的個數(shù)。

（2）若該方程的一個跟在區(qū)間 內，求出正整數(shù) 。

設計意圖 此例題解決了問題導入中遺留的問題，這一例題的解決進一步促進學生體會函數(shù)思想與方程思想的轉化，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，同時為下節(jié)課“二分法”做了鋪墊。

2.6 總結與作業(yè)

（1）課堂總結：教師引導學生自己回顧與總結，在知識內容與思想方法兩個方面的收獲，讓不同的學生表達不同的看法，教師根據(jù)學生的回答及時的總結與提升。

（2）課后作業(yè)：判斷方程 有幾個根？每個根所在的區(qū)間 內，求 的值。

設計意圖：完整的總結可以豐富學生的認知結構，完善學生的認知系統(tǒng).作業(yè)題讓學生應用零點存在性定理解決方程根的問題，進而培養(yǎng)學生較強的邏輯推理能力。

3 教學反思

本節(jié)課的設計有三個指導思想，分別是：方程與函數(shù)的轉化思想；作為下一節(jié)課的起始課；處理好數(shù)學抽象與直觀想象的關系.正如史寧中教授所指出的“數(shù)學在本質上研究的是抽象的東西，數(shù)學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”。只有抽象的東西獲得具體事例的支持，實現(xiàn)從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)整體性和具體性，才能深入認識新概念新思想。

（作者單位：洛陽師范學院）