向量法在立體幾何中的應(yīng)用

董秋理

立體幾何一直是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難題的最好工具就是空間向量。向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式“雙重身份”，具有線性運(yùn)算、數(shù)量積，既有有向線段表達(dá)式，又有坐標(biāo)表達(dá)式，是解決立體幾何問題的一種重要工具，向量本身的這些特點(diǎn)決定了它與立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)等內(nèi)容的自然融合，是知識(shí)的“交匯點(diǎn)”。

一、平面法向量的坐標(biāo)的求法

一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量，推導(dǎo)平面法向量的方法如下：

在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面 的法向量 [或 ，或

]，在平面 內(nèi)任找兩個(gè)不共線的兩向量 。由 ，得 且

，由此得到關(guān)于 的方程組，解此方程組即可得到 。如例2中求平面 的法向量。但是有時(shí)候并不能確定該設(shè)哪一個(gè)分坐標(biāo)為 ，如果設(shè)得不合理，就會(huì)出現(xiàn)矛盾，這種情況是因?yàn)樗蟮姆ㄏ蛄吭谀硞€(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)或者平行某個(gè)坐標(biāo)平面。所以一般情況還是先不賦予某個(gè)分坐標(biāo)的值，待列出方程組后再根據(jù)實(shí)際需要賦值，而且不一定非得賦予1，其它數(shù)值也可以，只不過賦予1運(yùn)算簡便，但一般不賦予 ，以免出現(xiàn) 而矛盾。

例1， 在例1的條件下，求平面 的法向量和平面 的法向量

解：設(shè)平面 的法向量為 ，平面 的法向量為 ，

， ，由 即 解得 故 .

， ，由 即 ，令 ，則 .

平面 的法向量也可以從圖中找一個(gè)垂直于該平面的向量，這里用解方程組的方法或得，只是為了舉例說明求法向量的通法。另外，若設(shè) 則出現(xiàn)矛盾，故一般在列出方程組后根據(jù)實(shí)際需要再賦值。

二、空間向量在求解立體幾何題中的應(yīng)用舉例

（一）空間向量在求空間距離中的應(yīng)用

1.點(diǎn)到平面的距離、直線與平面的距離、平面與平面的距離

基本原理：如圖，設(shè) 是平面 的法向量，點(diǎn) 是平面 外一定點(diǎn)，點(diǎn) 是 內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn) 到平面 的距離為

.

直線與平面的距離、平面與平面的距離均

可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解。當(dāng)求直線與

平面的距離時(shí)， ， 兩點(diǎn)分別表示直線上的任意一點(diǎn)和平面上的任意一點(diǎn)， 表示平面的法向量。

2.求異面直線間的距離

如圖，已知 為兩異面直線， 為 的公垂線段， 分別為 上的任意兩點(diǎn)， 是公垂線 的方向向量，則

，即異面直線 間的距離是

這個(gè)公式和上邊的類似，這里的 是兩異面直線間的公垂線的方向向量，而 分別為兩異面直線上的任意兩點(diǎn)。這樣，這個(gè)公式和上邊的公式可以統(tǒng)一為一個(gè)。

（二）空間向量在證明垂直、平行中的應(yīng)用

要證明兩直線垂直，只需證明這兩條直線所對(duì)應(yīng)的方向向量的數(shù)量積為 ；要證明直線垂直平面，只需證明這條直線所對(duì)應(yīng)的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩向量的數(shù)量積均為 ；要證明兩平面垂直，只需證明一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量垂直另一平面，或者證明兩個(gè)平面的法向量的數(shù)量積為 。

要證明直線與平面平行，只需證明這條直線所對(duì)應(yīng)的方向向量平行平面內(nèi)的一個(gè)向量，或者證明這條直線所對(duì)應(yīng)的方向向量垂直于平面的一個(gè)法向量；要證明平面與平面平行，只需證明這兩個(gè)平面所對(duì)應(yīng)的法向量平行，或者證明一個(gè)平面的法向量垂直另一個(gè)平面。

（三）空間向量在求空間角中的應(yīng)用

1.求異面直線所成的角：利用兩異面直線方向向量所夾銳角或直角求異面直線所成角，注意是銳角，

2.求直線與平面所成的角

設(shè)AB是平面 的斜線，AC是平面 的垂線，

AB與平面 所成的角 ，向量 與 的夾角 如圖，則 。

3.求二面角

如圖3，設(shè)向量 與 分別是二面角 中的兩個(gè)半平面 ， 的法向量，則向量 與 的夾角 的大小就是所求二面角或其補(bǔ)

角的大小。

如何來確定兩法向量的夾角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角呢？一是判斷兩個(gè)半平面的法向量方向：如果一個(gè)半平面的法向量的方向是指向它所對(duì)應(yīng)半平面的內(nèi)側(cè)，另一個(gè)半平面的法向量的方向是指向它所對(duì)應(yīng)半平面的外側(cè)，則向量 與 的夾角 的大小就是所求二面角的大小，若均指向內(nèi)側(cè)或者均指向外側(cè)，則互補(bǔ)；二用半平面旋轉(zhuǎn)法：把二面角的一個(gè)半平面繞棱 按照同一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)到與另一個(gè)半平面重合時(shí)，若兩個(gè)半平面的法向量的方向相同，向量 與 的夾角 的大小與所求二面角的大小相等，若方向相反，則互補(bǔ)。

向量法的思維過程較簡潔，規(guī)律性較強(qiáng)，解答比較容易，但需要正確建立空間直角坐標(biāo)系及正確確定點(diǎn)的坐標(biāo)。