帶根號Riemann邊值逆問題關(guān)于邊界曲線解的誤差估計(jì)

摘 要：最早對解析函數(shù)邊值問題的穩(wěn)定性討論應(yīng)追隨到1937年M.V.Keldysh等人對關(guān)于調(diào)和函數(shù)的Dirichlet問題在邊界曲線發(fā)生攝動(dòng)時(shí)的的穩(wěn)定性研究。文獻(xiàn)[1]討論了帶根號Hilbert邊值問題關(guān)于邊界曲線的穩(wěn)定性，本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論帶根號Riemann邊值逆問題關(guān)于邊界曲線解的誤差估計(jì)。

關(guān)鍵詞：帶根號Riemann邊值逆問題；攝動(dòng)；穩(wěn)定性

中圖分類號：O175.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 邊界曲線攝動(dòng)后Riemann邊值逆問題的提出與求解

文獻(xiàn)[2]提出了以下一類帶根號Riemann邊值逆問題：

設(shè)L為復(fù)平面中一條封閉光滑曲線，求一對函數(shù)Ψz，wt，其中Ψz是以L為跳躍曲線的全純函數(shù)，wt為L上的H類函數(shù)，滿足以下邊值條件：

Ψ+t=G1tΨ-t+g1twt，t∈L，

Ψ+t=G2tΨ-t+g2twt，t∈L.

其中Gjt，gjt∈HLj=1，2，Ψz在z=

SymboleB@ 處有有限階，要求Ψ+t，Ψ-t在L上單值、連續(xù).

在R-1中的解的狀態(tài)。

這里記

gt=1 g1t

1 g2t，G0t=G1t g1t

G2t g2t，

D1t=1gtG1t1

G2t1

且Gt=G0tgt.定義指標(biāo)κ=12π[argG（t）]Γ，并記c=κ+k-m-n.

當(dāng)邊界曲線L發(fā)生極小的攝動(dòng)時(shí)，則有以下的帶根號Riemann邊值逆問題：

Ψ+（ω，ε）ξ=G1ξΨ-（ω，ε）ξ+g1ξw（ω，ε）ξ，ξ∈Lω，

Ψ+（ω，ε）ξ=G2ξΨ-（ω，ε）ξ+g2ξw（ω，ε）ξξ∈Lω.

其中

gξ=1 g1ξ

1 g2ξ，G0ξ=G1ξ g1ξ

G2ξ g2ξ，

D1ξ=1gξG1ξ1

G2ξ1

且Gξ=G0ξgξ.顯然D1ξ∈HLω定義指標(biāo)κω=12π[argG（t）]Lω，并記cω=κω+k-m-n。

文獻(xiàn)[2]給出了帶根號Riemann邊值逆問題的解，即當(dāng)κω+km+n時(shí)，問題的一般解如下，這里t∈L。

Ψz，wt

=PczXz∏z，PctX-tD1t∏t（1）

那么相應(yīng)的問題的解如下，這里ξ∈Lω

Ψ（ω，ε）z，w（ω，ε）ξ

=PczXωz∏εz，PξX-ωξD1ξ∏εξ。（2）

其中Xω（z）=eΓω

（z-z0）-κeΓω

2 攝動(dòng)后Riemann邊值逆問題解的誤差估計(jì)

這里取曲線L為單位圓周，則有

定理1 當(dāng)ω=0時(shí)，Xω=X，這時(shí)則有

‖X-ωξ-X-t‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1

證明：由Xω（z）=eΓω（z-z0）-κeΓω可知，

X-ωξ=ξ-z0-κX+ωξ，

那么X-t=t-z0-κX+ωt。

由文獻(xiàn)[3]的定義1的證明過程可得

‖X+ω-X+‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）‖ω‖μ（1-υ）1，

且t-z0∈H（L），那么由數(shù)學(xué)歸納法可得

t-z0-κ∈H（L），

即ξ-z0-κ-t-z0-κ

SymbolcB@ C·‖ω‖1.

則由文獻(xiàn)[4]引理3可得

‖X-ωξ-X-t‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1

定理2 任給ω∈B（ρ0），G，g∈Hμ（E）.當(dāng)κ+km+n時(shí)，攝動(dòng)后的帶根號Riemann逆邊值問題在R-1中的一般解為（1）式所示，此解與帶根號Riemann邊值問題的解（2）式滿足：

‖w（ω，ε）ξ-wt‖L

SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

證明：由定理1，文獻(xiàn)[5]推論2及文獻(xiàn)[4]引理3和Pc-1的Hlder連續(xù)性可得

‖w（ω，ε）ξ-wt‖L

SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）。

再則由文獻(xiàn)[1]中定理2的證明過程可得，當(dāng)t∈Ω+

Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1] ‖ω‖1+εμ（1-υ）則

‖Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）‖Ω+

=maxt∈Ω+Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

由最大模原理可得

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω+

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]（‖ω‖1+ε）μ（1-υ）。

再由Ψ+（ω，ε），Ψ+的有界性可得

‖Ψ+（ω，ε）（z）-Ψ+（z）‖Ω+

SymbolcB@ ‖Ψ+（ω，ε）-Ψ+‖Ω+‖Ψ+（ω，ε）+Ψ+‖Ω+

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1）]‖ω‖1+εμ（1-υ）

同理可得

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω-

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。

綜上所述

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾喬.帶根號Hilbert邊值問題關(guān)于邊界曲線的穩(wěn)定性[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2016（20）：107109.

[2]吳鳳敏，劉豪.一類帶平方根的Riemann邊值逆問題[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（6）：2022.

[3]章紅梅，王傳榮.Riemann邊值問題關(guān)于邊界曲線的穩(wěn)定性[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，29（1）：14.

[4]Wang Chuanrong，Zhang Hongmei，Zhu Yuchan.The Riemann boundary value problem with respect the perturbation of boundary curve[J].complex Variables and Elliptic Equations.2006，51（8）：631645.

[5]曾喬，林峰.一類奇異積分關(guān)于曲線攝動(dòng)的誤差估計(jì)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，38（1）.

作者簡介：曾喬（1990），女，海南?？谌耍T士，助教，研究方向：函數(shù)論。