例談數(shù)學(xué)思維水平的提高策略

李水波

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）18-0090-02

思維水平是一個(gè)人的思維過程、思維方式、思維品質(zhì)、思維結(jié)果等不同層次的反映。由數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐得知，中學(xué)生的思維水平存在著很大的差異，集中表現(xiàn)在解題和對概念的理解上，對一些數(shù)學(xué)題有些學(xué)生解得很巧，有些學(xué)生解得很繁；有的同學(xué)遇到題目很快抓住問題的實(shí)質(zhì)，有的則百思不得其解；有的學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)只停留在字面上，有的對概念的學(xué)習(xí)能夠再發(fā)展。這些問題的出現(xiàn)雖然有種種原因，卻直接反映了一個(gè)人的整體思維水平的高低。提高學(xué)生思維水平是數(shù)學(xué)教學(xué)的著力點(diǎn)，我在實(shí)踐中主要采取了以下幾個(gè)可操作的教學(xué)策略。

一、激活問題與解法策略

通過激活問題，可以把原來題目的一潭死水變得波濤洶涌，從而激發(fā)學(xué)生把問題想得廣而深，激活解法的核心是一題多解，而一題多解的目的并不在于“多解”，而在于思維的“多層次”，在于讓學(xué)生從多解中分析出解法的優(yōu)劣，獲得思維水平高的解法。

例1 等差數(shù)列中{an}，a1>0，a1+a2+…+an=Sn，若S3=S15，求n，使Sn最大。

解法1：（41%學(xué)生用此法）由S3=S15，即3a1+3d=15a1+105d，得a1=-，（a1>0，故d<0）代入Sn得Sn=，所以，當(dāng)n=9時(shí)Sn最大。

解法2：（20%學(xué)生用）由a1>0， S3=S15，知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，從而把求Sn的最大值問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)an≥0，an+1時(shí)Sn最大。

解法3：（15%學(xué)生用）從S3=S15，得a4+…+a15=0，∴a9+a10=0，故a9>0，a10<0。不需要對Sn或解不等式an≥0，an+1<0，就可得出結(jié)論，思維更加簡潔，運(yùn)算也更加簡捷。

解法4：（11%學(xué)生用）設(shè)Sn=An2+Bn，結(jié)合S3=S15，得B=-18A，故Sn=A（n2-18n），該法抓住了Sn表達(dá)式的本質(zhì)，不考慮A=，B=a1-這些非本質(zhì)的東西，從而運(yùn)算量減少了許多。

解法5：（9%學(xué)生用）Sn對應(yīng)的圖像是過原點(diǎn)的拋物線及a1=S1>0，從而確定拋物線開口向下，結(jié)合圖形，直觀顯示了本題的全部信息，解法十分簡捷。

從這些解法可看出，問題認(rèn)識得越深刻，解法就越簡捷。

二、最近發(fā)展區(qū)策略

數(shù)學(xué)思維水平的提高，需要以具體的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，其發(fā)展過程中沿著創(chuàng)造最近發(fā)展區(qū)的軌道前進(jìn)，教師的工作就是帶領(lǐng)學(xué)生從現(xiàn)有的發(fā)展水平出發(fā)，通過逐步訓(xùn)練達(dá)到可能達(dá)到的新的發(fā)展水平。

如在《任意角的三角函數(shù)》一章的學(xué)習(xí)中，逐步引導(dǎo)學(xué)生從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角的三角函數(shù)，從定義出發(fā)利用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)，從坐標(biāo)出發(fā)自主探究三角函數(shù)的符號及同角的不同三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式；從正弦函數(shù)及圖像、性質(zhì)出發(fā)，類比學(xué)習(xí)余弦函數(shù)，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)y=Asin（€%rx+€%o）的單調(diào)性、值域、對稱性、周期性等性質(zhì)時(shí)，利用換元法，轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)y=sinx來解決。融會(huì)貫通后，只要學(xué)好正弦、余弦函數(shù)即可學(xué)好三角函數(shù)一章。這樣的學(xué)習(xí)法，對學(xué)生自主學(xué)習(xí)其他定義、概念也非常有效，學(xué)習(xí)更輕松。學(xué)生在經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的同時(shí)，對概念、原理的認(rèn)識從孤立走向系統(tǒng)，把未知化為已知，從現(xiàn)有的發(fā)展水平達(dá)到新的發(fā)展水平。

三、重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)策略

重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是提高思維水平的重要一環(huán)，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想本身就是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識，而高層次數(shù)學(xué)思維同樣是抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，所以只有在教學(xué)中不斷地引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)基本思想，才能高層建瓴，不斷提高數(shù)學(xué)思維水平。

比如：從《復(fù)數(shù)》一章提煉出“復(fù)數(shù)是二元數(shù)”的基本認(rèn)識，點(diǎn)明了復(fù)數(shù)的本質(zhì)。它對于運(yùn)用復(fù)數(shù)工具解決平面幾何、平面三角、平面解析幾何等二維空間內(nèi)的有關(guān)問題找到了依據(jù)，而且對復(fù)數(shù)知識的學(xué)習(xí)和認(rèn)識，再也不感到神秘和不可捉摸了。

又如：“方程是已知量與未知量對立的統(tǒng)一體，是從已知探索未知的橋梁”。具備了這種認(rèn)識，便容易樹立方程的思想，每當(dāng)需要求一個(gè)（或幾個(gè)）未知量時(shí)，會(huì)很自然地采用列方程（組）的辦法予以解決。

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c要抓二次項(xiàng)系數(shù)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，依二次項(xiàng)系數(shù)可對二次函數(shù)進(jìn)行定性分析，依頂點(diǎn)坐標(biāo)可對二次函數(shù)進(jìn)行定量分析；對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)要抓底；求曲線的方程即尋找曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x與y的等量關(guān)系；解二元二次方程組的方法是消元降次；排列組合要先抓特殊元素及特殊位置。

正確的數(shù)學(xué)基本認(rèn)識，有助學(xué)生理解和記憶，也可幫助學(xué)生抓住事物的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，也是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的“指向標(biāo)”。

四、反思學(xué)習(xí)策略

變得有意義及易于反思是水平提高的手段。反思學(xué)習(xí)策略是一個(gè)把教學(xué)的終點(diǎn)變?yōu)樾碌乃伎计瘘c(diǎn)的策略。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對各個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)進(jìn)行全面的反思，反思對每個(gè)環(huán)節(jié)所涉及知識的認(rèn)識是否達(dá)到了所要求的程度，包括對知識本質(zhì)屬性把握的程度，這些知識與認(rèn)識結(jié)構(gòu)中相關(guān)方面建立聯(lián)系的程度，對知識的各種表達(dá)形式掌握的程度；通過新知識的學(xué)習(xí)，對原有知識是否有了新的認(rèn)識，原有的認(rèn)識有什么欠缺，這種欠缺是如何造成的。例如，可引導(dǎo)學(xué)生通過“反思型數(shù)學(xué)日記”，逐步形成反思——檢查——計(jì)劃——補(bǔ)救——再反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

例2 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像與直線y=25有公共點(diǎn)，且不等式f（x）>0的解是2

解析：由f（x）>0的解是2

反思：①一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系怎樣？（一元二次方程的解就是一元二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式就是研究一元二次函數(shù)在定義域內(nèi)的正負(fù)區(qū)間。）

②可以把方程、不等式等內(nèi)容都統(tǒng)一到函數(shù)思想下進(jìn)行研究，解方程就是求函數(shù)的零點(diǎn)，解不等式就是求函數(shù)的正負(fù)區(qū)間。這樣的反思能使掌握知識的層次更具深度和廣度，思維更深刻。

綜上所述，教學(xué)中思維能力訓(xùn)練與教材內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，定能有效提高學(xué)生的思維水平，這既是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，也是時(shí)代賦予教師的歷史使命。

（責(zé)任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）18-0090-02

思維水平是一個(gè)人的思維過程、思維方式、思維品質(zhì)、思維結(jié)果等不同層次的反映。由數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐得知，中學(xué)生的思維水平存在著很大的差異，集中表現(xiàn)在解題和對概念的理解上，對一些數(shù)學(xué)題有些學(xué)生解得很巧，有些學(xué)生解得很繁；有的同學(xué)遇到題目很快抓住問題的實(shí)質(zhì)，有的則百思不得其解；有的學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)只停留在字面上，有的對概念的學(xué)習(xí)能夠再發(fā)展。這些問題的出現(xiàn)雖然有種種原因，卻直接反映了一個(gè)人的整體思維水平的高低。提高學(xué)生思維水平是數(shù)學(xué)教學(xué)的著力點(diǎn)，我在實(shí)踐中主要采取了以下幾個(gè)可操作的教學(xué)策略。

一、激活問題與解法策略

通過激活問題，可以把原來題目的一潭死水變得波濤洶涌，從而激發(fā)學(xué)生把問題想得廣而深，激活解法的核心是一題多解，而一題多解的目的并不在于“多解”，而在于思維的“多層次”，在于讓學(xué)生從多解中分析出解法的優(yōu)劣，獲得思維水平高的解法。

例1 等差數(shù)列中{an}，a1>0，a1+a2+…+an=Sn，若S3=S15，求n，使Sn最大。

解法1：（41%學(xué)生用此法）由S3=S15，即3a1+3d=15a1+105d，得a1=-，（a1>0，故d<0）代入Sn得Sn=，所以，當(dāng)n=9時(shí)Sn最大。

解法2：（20%學(xué)生用）由a1>0， S3=S15，知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，從而把求Sn的最大值問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)an≥0，an+1時(shí)Sn最大。

解法3：（15%學(xué)生用）從S3=S15，得a4+…+a15=0，∴a9+a10=0，故a9>0，a10<0。不需要對Sn或解不等式an≥0，an+1<0，就可得出結(jié)論，思維更加簡潔，運(yùn)算也更加簡捷。

解法4：（11%學(xué)生用）設(shè)Sn=An2+Bn，結(jié)合S3=S15，得B=-18A，故Sn=A（n2-18n），該法抓住了Sn表達(dá)式的本質(zhì)，不考慮A=，B=a1-這些非本質(zhì)的東西，從而運(yùn)算量減少了許多。

解法5：（9%學(xué)生用）Sn對應(yīng)的圖像是過原點(diǎn)的拋物線及a1=S1>0，從而確定拋物線開口向下，結(jié)合圖形，直觀顯示了本題的全部信息，解法十分簡捷。

從這些解法可看出，問題認(rèn)識得越深刻，解法就越簡捷。

二、最近發(fā)展區(qū)策略

數(shù)學(xué)思維水平的提高，需要以具體的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，其發(fā)展過程中沿著創(chuàng)造最近發(fā)展區(qū)的軌道前進(jìn)，教師的工作就是帶領(lǐng)學(xué)生從現(xiàn)有的發(fā)展水平出發(fā)，通過逐步訓(xùn)練達(dá)到可能達(dá)到的新的發(fā)展水平。

如在《任意角的三角函數(shù)》一章的學(xué)習(xí)中，逐步引導(dǎo)學(xué)生從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角的三角函數(shù)，從定義出發(fā)利用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)，從坐標(biāo)出發(fā)自主探究三角函數(shù)的符號及同角的不同三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式；從正弦函數(shù)及圖像、性質(zhì)出發(fā)，類比學(xué)習(xí)余弦函數(shù)，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)y=Asin（€%rx+€%o）的單調(diào)性、值域、對稱性、周期性等性質(zhì)時(shí)，利用換元法，轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)y=sinx來解決。融會(huì)貫通后，只要學(xué)好正弦、余弦函數(shù)即可學(xué)好三角函數(shù)一章。這樣的學(xué)習(xí)法，對學(xué)生自主學(xué)習(xí)其他定義、概念也非常有效，學(xué)習(xí)更輕松。學(xué)生在經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的同時(shí)，對概念、原理的認(rèn)識從孤立走向系統(tǒng)，把未知化為已知，從現(xiàn)有的發(fā)展水平達(dá)到新的發(fā)展水平。

三、重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)策略

重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是提高思維水平的重要一環(huán)，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想本身就是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識，而高層次數(shù)學(xué)思維同樣是抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，所以只有在教學(xué)中不斷地引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)基本思想，才能高層建瓴，不斷提高數(shù)學(xué)思維水平。

比如：從《復(fù)數(shù)》一章提煉出“復(fù)數(shù)是二元數(shù)”的基本認(rèn)識，點(diǎn)明了復(fù)數(shù)的本質(zhì)。它對于運(yùn)用復(fù)數(shù)工具解決平面幾何、平面三角、平面解析幾何等二維空間內(nèi)的有關(guān)問題找到了依據(jù)，而且對復(fù)數(shù)知識的學(xué)習(xí)和認(rèn)識，再也不感到神秘和不可捉摸了。

又如：“方程是已知量與未知量對立的統(tǒng)一體，是從已知探索未知的橋梁”。具備了這種認(rèn)識，便容易樹立方程的思想，每當(dāng)需要求一個(gè)（或幾個(gè)）未知量時(shí)，會(huì)很自然地采用列方程（組）的辦法予以解決。

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c要抓二次項(xiàng)系數(shù)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，依二次項(xiàng)系數(shù)可對二次函數(shù)進(jìn)行定性分析，依頂點(diǎn)坐標(biāo)可對二次函數(shù)進(jìn)行定量分析；對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)要抓底；求曲線的方程即尋找曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x與y的等量關(guān)系；解二元二次方程組的方法是消元降次；排列組合要先抓特殊元素及特殊位置。

正確的數(shù)學(xué)基本認(rèn)識，有助學(xué)生理解和記憶，也可幫助學(xué)生抓住事物的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，也是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的“指向標(biāo)”。

四、反思學(xué)習(xí)策略

變得有意義及易于反思是水平提高的手段。反思學(xué)習(xí)策略是一個(gè)把教學(xué)的終點(diǎn)變?yōu)樾碌乃伎计瘘c(diǎn)的策略。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對各個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)進(jìn)行全面的反思，反思對每個(gè)環(huán)節(jié)所涉及知識的認(rèn)識是否達(dá)到了所要求的程度，包括對知識本質(zhì)屬性把握的程度，這些知識與認(rèn)識結(jié)構(gòu)中相關(guān)方面建立聯(lián)系的程度，對知識的各種表達(dá)形式掌握的程度；通過新知識的學(xué)習(xí)，對原有知識是否有了新的認(rèn)識，原有的認(rèn)識有什么欠缺，這種欠缺是如何造成的。例如，可引導(dǎo)學(xué)生通過“反思型數(shù)學(xué)日記”，逐步形成反思——檢查——計(jì)劃——補(bǔ)救——再反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

例2 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像與直線y=25有公共點(diǎn)，且不等式f（x）>0的解是2

解析：由f（x）>0的解是2

反思：①一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系怎樣？（一元二次方程的解就是一元二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式就是研究一元二次函數(shù)在定義域內(nèi)的正負(fù)區(qū)間。）

②可以把方程、不等式等內(nèi)容都統(tǒng)一到函數(shù)思想下進(jìn)行研究，解方程就是求函數(shù)的零點(diǎn)，解不等式就是求函數(shù)的正負(fù)區(qū)間。這樣的反思能使掌握知識的層次更具深度和廣度，思維更深刻。

綜上所述，教學(xué)中思維能力訓(xùn)練與教材內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，定能有效提高學(xué)生的思維水平，這既是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，也是時(shí)代賦予教師的歷史使命。

（責(zé)任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）18-0090-02

思維水平是一個(gè)人的思維過程、思維方式、思維品質(zhì)、思維結(jié)果等不同層次的反映。由數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐得知，中學(xué)生的思維水平存在著很大的差異，集中表現(xiàn)在解題和對概念的理解上，對一些數(shù)學(xué)題有些學(xué)生解得很巧，有些學(xué)生解得很繁；有的同學(xué)遇到題目很快抓住問題的實(shí)質(zhì)，有的則百思不得其解；有的學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)只停留在字面上，有的對概念的學(xué)習(xí)能夠再發(fā)展。這些問題的出現(xiàn)雖然有種種原因，卻直接反映了一個(gè)人的整體思維水平的高低。提高學(xué)生思維水平是數(shù)學(xué)教學(xué)的著力點(diǎn)，我在實(shí)踐中主要采取了以下幾個(gè)可操作的教學(xué)策略。

一、激活問題與解法策略

通過激活問題，可以把原來題目的一潭死水變得波濤洶涌，從而激發(fā)學(xué)生把問題想得廣而深，激活解法的核心是一題多解，而一題多解的目的并不在于“多解”，而在于思維的“多層次”，在于讓學(xué)生從多解中分析出解法的優(yōu)劣，獲得思維水平高的解法。

例1 等差數(shù)列中{an}，a1>0，a1+a2+…+an=Sn，若S3=S15，求n，使Sn最大。

解法1：（41%學(xué)生用此法）由S3=S15，即3a1+3d=15a1+105d，得a1=-，（a1>0，故d<0）代入Sn得Sn=，所以，當(dāng)n=9時(shí)Sn最大。

解法2：（20%學(xué)生用）由a1>0， S3=S15，知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，從而把求Sn的最大值問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)an≥0，an+1時(shí)Sn最大。

解法3：（15%學(xué)生用）從S3=S15，得a4+…+a15=0，∴a9+a10=0，故a9>0，a10<0。不需要對Sn或解不等式an≥0，an+1<0，就可得出結(jié)論，思維更加簡潔，運(yùn)算也更加簡捷。

解法4：（11%學(xué)生用）設(shè)Sn=An2+Bn，結(jié)合S3=S15，得B=-18A，故Sn=A（n2-18n），該法抓住了Sn表達(dá)式的本質(zhì)，不考慮A=，B=a1-這些非本質(zhì)的東西，從而運(yùn)算量減少了許多。

解法5：（9%學(xué)生用）Sn對應(yīng)的圖像是過原點(diǎn)的拋物線及a1=S1>0，從而確定拋物線開口向下，結(jié)合圖形，直觀顯示了本題的全部信息，解法十分簡捷。

從這些解法可看出，問題認(rèn)識得越深刻，解法就越簡捷。

二、最近發(fā)展區(qū)策略

數(shù)學(xué)思維水平的提高，需要以具體的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，其發(fā)展過程中沿著創(chuàng)造最近發(fā)展區(qū)的軌道前進(jìn)，教師的工作就是帶領(lǐng)學(xué)生從現(xiàn)有的發(fā)展水平出發(fā)，通過逐步訓(xùn)練達(dá)到可能達(dá)到的新的發(fā)展水平。

如在《任意角的三角函數(shù)》一章的學(xué)習(xí)中，逐步引導(dǎo)學(xué)生從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角的三角函數(shù)，從定義出發(fā)利用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)，從坐標(biāo)出發(fā)自主探究三角函數(shù)的符號及同角的不同三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式；從正弦函數(shù)及圖像、性質(zhì)出發(fā)，類比學(xué)習(xí)余弦函數(shù)，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)y=Asin（€%rx+€%o）的單調(diào)性、值域、對稱性、周期性等性質(zhì)時(shí)，利用換元法，轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)y=sinx來解決。融會(huì)貫通后，只要學(xué)好正弦、余弦函數(shù)即可學(xué)好三角函數(shù)一章。這樣的學(xué)習(xí)法，對學(xué)生自主學(xué)習(xí)其他定義、概念也非常有效，學(xué)習(xí)更輕松。學(xué)生在經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的同時(shí)，對概念、原理的認(rèn)識從孤立走向系統(tǒng)，把未知化為已知，從現(xiàn)有的發(fā)展水平達(dá)到新的發(fā)展水平。

三、重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)策略

重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是提高思維水平的重要一環(huán)，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想本身就是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識，而高層次數(shù)學(xué)思維同樣是抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，所以只有在教學(xué)中不斷地引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)基本思想，才能高層建瓴，不斷提高數(shù)學(xué)思維水平。

比如：從《復(fù)數(shù)》一章提煉出“復(fù)數(shù)是二元數(shù)”的基本認(rèn)識，點(diǎn)明了復(fù)數(shù)的本質(zhì)。它對于運(yùn)用復(fù)數(shù)工具解決平面幾何、平面三角、平面解析幾何等二維空間內(nèi)的有關(guān)問題找到了依據(jù)，而且對復(fù)數(shù)知識的學(xué)習(xí)和認(rèn)識，再也不感到神秘和不可捉摸了。

又如：“方程是已知量與未知量對立的統(tǒng)一體，是從已知探索未知的橋梁”。具備了這種認(rèn)識，便容易樹立方程的思想，每當(dāng)需要求一個(gè)（或幾個(gè)）未知量時(shí)，會(huì)很自然地采用列方程（組）的辦法予以解決。

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c要抓二次項(xiàng)系數(shù)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，依二次項(xiàng)系數(shù)可對二次函數(shù)進(jìn)行定性分析，依頂點(diǎn)坐標(biāo)可對二次函數(shù)進(jìn)行定量分析；對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)要抓底；求曲線的方程即尋找曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x與y的等量關(guān)系；解二元二次方程組的方法是消元降次；排列組合要先抓特殊元素及特殊位置。

正確的數(shù)學(xué)基本認(rèn)識，有助學(xué)生理解和記憶，也可幫助學(xué)生抓住事物的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，也是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的“指向標(biāo)”。

四、反思學(xué)習(xí)策略

變得有意義及易于反思是水平提高的手段。反思學(xué)習(xí)策略是一個(gè)把教學(xué)的終點(diǎn)變?yōu)樾碌乃伎计瘘c(diǎn)的策略。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對各個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)進(jìn)行全面的反思，反思對每個(gè)環(huán)節(jié)所涉及知識的認(rèn)識是否達(dá)到了所要求的程度，包括對知識本質(zhì)屬性把握的程度，這些知識與認(rèn)識結(jié)構(gòu)中相關(guān)方面建立聯(lián)系的程度，對知識的各種表達(dá)形式掌握的程度；通過新知識的學(xué)習(xí)，對原有知識是否有了新的認(rèn)識，原有的認(rèn)識有什么欠缺，這種欠缺是如何造成的。例如，可引導(dǎo)學(xué)生通過“反思型數(shù)學(xué)日記”，逐步形成反思——檢查——計(jì)劃——補(bǔ)救——再反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

例2 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像與直線y=25有公共點(diǎn)，且不等式f（x）>0的解是2

解析：由f（x）>0的解是2

反思：①一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系怎樣？（一元二次方程的解就是一元二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式就是研究一元二次函數(shù)在定義域內(nèi)的正負(fù)區(qū)間。）

②可以把方程、不等式等內(nèi)容都統(tǒng)一到函數(shù)思想下進(jìn)行研究，解方程就是求函數(shù)的零點(diǎn)，解不等式就是求函數(shù)的正負(fù)區(qū)間。這樣的反思能使掌握知識的層次更具深度和廣度，思維更深刻。

綜上所述，教學(xué)中思維能力訓(xùn)練與教材內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，定能有效提高學(xué)生的思維水平，這既是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，也是時(shí)代賦予教師的歷史使命。

（責(zé)任編輯 劉 馨）