一道高考試題的解析與感悟

王在方

6.圓錐曲線極點(diǎn)和極線的視角

極點(diǎn)與極線是射影幾何中研究圓錐曲線內(nèi)在性質(zhì)的基本理論，各地的高考試題中以此為背景的題目屢見(jiàn)不鮮.雖然在高考課標(biāo)中沒(méi)有要求，但作為圓錐曲線的一種基本特征，教師了解一些極點(diǎn)、極線理論，可以從較高的觀點(diǎn)去把握試題，有利于中學(xué)教學(xué).對(duì)于學(xué)生，掌握一些基本的結(jié)論，有利于降低一些圓錐曲線大題的計(jì)算難度，對(duì)有些圓錐曲線小題，會(huì)有非常簡(jiǎn)潔的處理方法，在高考過(guò)程中能節(jié)約寶貴的考試時(shí)間.

（1）圓錐曲線極點(diǎn)和極線的定義：已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線。

（2）極點(diǎn)和極線的基本結(jié)論

定理2 ①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則極線是曲線在點(diǎn)處的切線；（限于篇幅，證明略）

②當(dāng)在圓錐曲線外時(shí)，則極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）。（限于篇幅，證明略）

③當(dāng)在圓錐曲線內(nèi)時(shí)，則極線是曲線過(guò)點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡。（限于篇幅，證明略）

定理3 設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)弦，則過(guò)切點(diǎn)，的的切線的交點(diǎn)軌跡是它的準(zhǔn)線；反過(guò)來(lái)，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩切線，切點(diǎn)為、，則為焦點(diǎn)弦。

定理4 拋物線的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是它的準(zhǔn)線；反過(guò)來(lái)，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩條切線互相垂直。

解法⑦：由已知，為焦點(diǎn)弦，在準(zhǔn)線上，又，可得、是拋物線的兩條切線，所以極線為，即，所以。

二、解法評(píng)析

解法①②綜合利用向量，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，通過(guò)聯(lián)立方程，韋達(dá)定理建立直線斜率的方程，得到，方法常規(guī)簡(jiǎn)單，易于想到，屬于通性通法，但計(jì)算量偏大；解法①與解法②主要區(qū)別在直線方程的設(shè)法，主要考慮拋物線的開(kāi)口方向，在很多問(wèn)題中，計(jì)算量有明顯差距；解法③利用拋物線的定義，梯形的性質(zhì)，三角形全等的證明得到，從而得到，計(jì)算量非常小，但平面幾何的知識(shí)要求較高；解法④是平面幾何與解析幾何的綜合運(yùn)用，是解法②③的綜合；解法⑤利用拋物線以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切的結(jié)論直接得出，從而解出，大量的減少了論證過(guò)程；解法⑥運(yùn)用圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題中的點(diǎn)差法，通過(guò)兩個(gè)方程相減，得到直線斜率與弦中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，即，再由解法⑤可得，從而快速的出；解法⑦運(yùn)用極點(diǎn)與極線的理論，一步可以得出答案，這是最快的一種方法。.