關(guān)于直流電路中星形到三角形電路的等效轉(zhuǎn)換

徐愈強(qiáng)

摘 要：在日常生活中，多端口電路就有廣泛的應(yīng)用，其中常見(jiàn)的便是Y—Δ這樣的三端網(wǎng)絡(luò)的相互轉(zhuǎn)化。而這種轉(zhuǎn)化通常來(lái)說(shuō)通過(guò)不同端口的等效懸空可以推導(dǎo)出電阻之間的關(guān)系。而本文則提出一種利用歐姆定律來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)Y—Δ電路的這一轉(zhuǎn)換，來(lái)加深對(duì)于歐姆定律的理解，有助于更容易的對(duì)此類型問(wèn)題進(jìn)行一個(gè)解答。

關(guān)鍵詞：直流電路；歐姆定律；Y形電路；Δ形電路

電阻是對(duì)回路中某一段導(dǎo)體對(duì)電流的阻礙作用的量化描述，在實(shí)際的回路中，節(jié)點(diǎn)之間的電學(xué)特性往往比單個(gè)電阻，或者多電阻的串聯(lián)或并聯(lián)復(fù)雜，通常處理節(jié)點(diǎn)之間的電路問(wèn)題，主要靠黑匣子測(cè)試方法，即不去預(yù)先確定電路中由哪些等效電路構(gòu)成，二是通過(guò)測(cè)試節(jié)點(diǎn)間的電特性，反向建模去模擬節(jié)點(diǎn)之間的電特性，由此形成的電路是等效電路，雖然與實(shí)際電路的具體形式不一定相同，但其電特性可以互換。

對(duì)于更加復(fù)雜的電阻組態(tài)，不能直接用串并聯(lián)方程和歐姆定律計(jì)算電阻大小的情形，如在復(fù)雜電網(wǎng)中，存在交叉的節(jié)點(diǎn)群，無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的并聯(lián)或者串聯(lián)進(jìn)行計(jì)算，因此需要結(jié)合數(shù)學(xué)方法，結(jié)合歐姆定律進(jìn)行分析求解，而往往這樣的工具還是不夠，有的電阻的鏈接方法不是常見(jiàn)的形式，在此條件下，需要將這種類型的連接形式，等效變換為熟悉的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)，因此要求等效變換的前提是，變換前后的網(wǎng)絡(luò)其電特性要完全一致，即兩點(diǎn)之間的電阻相同，節(jié)點(diǎn)流入的電路也相同，節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)也保持不變，只等效節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的電路部分；即整個(gè)被變換的網(wǎng)絡(luò)，可以完全用新的變換后的網(wǎng)絡(luò)來(lái)替代，而不對(duì)電路中其他部分造成任何影響。

最典型的電阻網(wǎng)絡(luò)是形如Y結(jié)構(gòu)和△結(jié)構(gòu)的電阻連接關(guān)系，在實(shí)際的電路網(wǎng)中，這兩種電阻的分布關(guān)系也是最常見(jiàn)的，因此先從兩種電路的等效變換著手，通過(guò)上述討論的原則，推導(dǎo)出應(yīng)該滿足的交換數(shù)學(xué)表達(dá)式，再次基礎(chǔ)上，分析了一種新的電阻網(wǎng)絡(luò)，用同樣的原則進(jìn)行了推導(dǎo)，最后本文對(duì)這種共性的方法進(jìn)行了總結(jié)。

本文先就Y形電路到Δ電路的轉(zhuǎn)換進(jìn)行論證。

首先，我們將兩個(gè)電路圖看做兩個(gè)黑匣子，只留出①，②，③三個(gè)端口在外面，原則是，從端口看進(jìn)去的電阻，以及流入流出的電流，在變換前后不變；給出一個(gè)先決的等效條件：①，②，③按鈕處對(duì)應(yīng)的電壓電流分別相等。即

現(xiàn)在，我們先對(duì)Δ形電路進(jìn)行一個(gè)分析，對(duì)于1號(hào)端口的干路電流分析，因?yàn)镮1 這個(gè)主干電流在經(jīng)過(guò)第一個(gè)交接點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有分流現(xiàn)象，一個(gè)是流向2號(hào)端口，一個(gè)流向3號(hào)端口，根據(jù)串聯(lián)電路的電流關(guān)系可以得知，干路電流等于各支路電流之和，而且，根據(jù)歐姆定律，我們可以得到電流等于該電路兩端電壓除以該電路上的電阻：I=U/R。

而這樣的式子在另外兩個(gè)端口依然適用，我們就可以將這個(gè)式子同理推導(dǎo)過(guò)去，就可以得到這樣一個(gè)總的式子：

以上，就是關(guān)于Δ形電路各電阻之間的關(guān)系的一個(gè)分析與推導(dǎo)，下面，我們用同樣的分析方法來(lái)分析一下另外一個(gè)Y形電路，并通過(guò)之前的先決條件來(lái)找到兩電路轉(zhuǎn)換的方式。

那么，關(guān)于Y形電路，首先，在這個(gè)電路的最中間有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而我們由圖一可以看到，三個(gè)電流都會(huì)匯向這個(gè)節(jié)點(diǎn)，而由日常生活中的現(xiàn)象我們可以得知，電流不可能就像這樣一直增加下去。所以，這里我們可以得到第一個(gè)方程：

現(xiàn)在，我們來(lái)單獨(dú)分析1、2這兩個(gè)端口，在這里我們?cè)俅芜\(yùn)用到歐姆定律，并且給出一個(gè)U12來(lái)代表1、2號(hào)這兩個(gè)端口之間的總電壓，所以由歐姆定律：I=U/R，我們可以得到另一個(gè)方程：

現(xiàn)在，我們拋開(kāi)1號(hào)端口，來(lái)看2、3號(hào)這兩個(gè)，由我們剛剛所提到的，可以同理推導(dǎo)過(guò)來(lái)，同樣給出一個(gè)U23，就得到了另一個(gè)方程式：

那么，我們也可以得到最后一個(gè)方程：

我們仔細(xì)觀察這四個(gè)方程式，發(fā)現(xiàn)他們可以互相轉(zhuǎn)化，并用來(lái)表示某一個(gè)數(shù)值，因此，我們將這四個(gè)方程式聯(lián)立起來(lái)，將其化簡(jiǎn)可以很清楚地得到各個(gè)干路電流與各支路電阻的關(guān)系，關(guān)系式如下：

以上，就是對(duì)于Y形電路的一個(gè)分析結(jié)果，我們?nèi)匀豢梢詫㈦娏饔秒娮枧c電壓表示出來(lái)，現(xiàn)在，我們就可以開(kāi)始進(jìn)行轉(zhuǎn)換了。

那么，我們就可以將這個(gè)公式帶入到實(shí)際問(wèn)題之中，來(lái)驗(yàn)證是否存在著一些問(wèn)題。

對(duì)于此問(wèn)題，我們可以先將4、5、6這三個(gè)電阻看成一組（1號(hào)組），將1、2、3看成一組（2號(hào)組），顯而易見(jiàn)，一號(hào)組組成的是一個(gè)Δ形電路，而二號(hào)組組成了一個(gè)Y形電路。

這里給出一個(gè)圖如圖三，例：在圖示的電路之中，R1=3Ω，R2=6Ω，R3=9Ω，R4=12Ω，R5=15Ω，R6=18Ω，U=3v，忽略電源內(nèi)阻，試求，通過(guò)電源的電流。

因此，對(duì)于此問(wèn)題，我們可以先將2號(hào)組，也就是Y形電路變換為一個(gè)Δ形電路，以此來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化電路的目的。

而將2號(hào)組變?yōu)棣ば坞娐泛?，就可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)Δ形電路的三個(gè)電阻，分別兩兩構(gòu)成了一個(gè)并聯(lián)的部分，于是，我們就可以對(duì)這個(gè)電路做進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，可以看到，在簡(jiǎn)化后，只剩下一個(gè)Δ形的電路了。，而此時(shí)，我們就可以把這個(gè)問(wèn)題看做一個(gè)簡(jiǎn)單的串并聯(lián)問(wèn)題從而得出答案了。

推算過(guò)程：將六個(gè)電阻分組，1、2、3為一組（二號(hào)組），4、5、6為一組（一號(hào)組）。

根據(jù)Y形電路—Δ形電路的轉(zhuǎn)化，可以將二號(hào)組變?yōu)轭愃朴谝惶?hào)組的Δ形電路。

由串并聯(lián)關(guān)系可得，R12、R4的并聯(lián)電阻=11*12/（11+12）

同理可得，R23、R5的并聯(lián)電阻=33*15/（33+15）

R31、R6的并聯(lián)電阻=16.5*18/（16.5+18）

在最后，可以得到只剩一個(gè)Δ形電路，此時(shí)，將這個(gè)Δ形，看做一個(gè)電阻與另外兩個(gè)電阻的并聯(lián)，來(lái)等效成一個(gè)電阻。

R總計(jì)算出來(lái)，約為：5.3255Ω

此時(shí)，我們就可以對(duì)提上所要求的，對(duì)流過(guò)電源的電流進(jìn)行求解，

I總=U總/R總≈0.5633A 所求得解。

本文就Y形—Δ形電路的轉(zhuǎn)換，利用歐姆定律進(jìn)行了一個(gè)較為詳細(xì)的論述，總的來(lái)說(shuō)，其原則在于從任何端口向電阻網(wǎng)絡(luò)看進(jìn)去，都符合歐姆定律的等效原則，以此保證對(duì)電路中其他部分的電壓電流都不產(chǎn)生任何影響，在計(jì)算基本的Y結(jié)構(gòu)和△結(jié)構(gòu)的等效交換量化關(guān)系基礎(chǔ)上，計(jì)算表明等效代換后的量值并沒(méi)有對(duì)結(jié)果有任何影響，文中的方法在證明的方面較其他的證明方法要略微簡(jiǎn)單一些，讓初學(xué)者也可以很快的去理解到證明的過(guò)程。但本文提供的方法并不利于將此概念進(jìn)行一個(gè)較為深入的理解，仍有進(jìn)一步進(jìn)行深入分析的必要。

而像這樣一類的問(wèn)題，我們有時(shí)候或可以不僅僅將目光放在更為深?yuàn)W的知識(shí)上，以求得解決方法。我們更應(yīng)該好好利用我們所學(xué)過(guò)的，比如說(shuō)歐姆定律，這樣的話，我們也許可以得到一個(gè)更為簡(jiǎn)便的方案，幫助我們探索更為深?yuàn)W的層面。

電路理論包含了包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL），其描述了通過(guò)任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流之和為0，即流入的電流必完全流出，而不存在電流堆積的現(xiàn)象，其二任何一個(gè)閉合的回路的電勢(shì)差為0，在這兩個(gè)基本定理的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析不同的節(jié)點(diǎn)，以及選擇不同的回路，可以同時(shí)得到多個(gè)電壓電流關(guān)系，這構(gòu)成了整個(gè)電路分析的理論基礎(chǔ)。此外，通過(guò)本文的分析方法，進(jìn)一步地，可以將復(fù)雜的電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行等效變化后計(jì)算，其好處是顯而易見(jiàn)的，等效變換使得電路分析更加直觀和清晰，有利于迅速的對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的求解和計(jì)算。

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