步進電機新型場路結(jié)合分析方法

魯炳林 徐衍亮

摘 要：齒層比磁導(dǎo)法是目前步進電機電磁轉(zhuǎn)矩的主要計算方法，提出了一種新型電磁轉(zhuǎn)矩分析計算方法—齒層計算轉(zhuǎn)矩法。首先給出步進電機齒層計算轉(zhuǎn)矩的概念，同時在理論上證明了采用齒層計算轉(zhuǎn)矩法計算步進電機電磁轉(zhuǎn)矩的正確性，然后給出了齒層計算轉(zhuǎn)矩法用于步進電機電磁轉(zhuǎn)矩及其他性能分析計算的步驟，最后針對磁阻式步進電機和混合式步進電機，分別采用齒層比磁導(dǎo)法、齒層計算轉(zhuǎn)矩法和電磁場有限元法進行對比研究。結(jié)果表明，齒層計算轉(zhuǎn)矩法與現(xiàn)在通用的齒層比磁導(dǎo)法相比具有簡單實用、計算精度高的特點。

關(guān)鍵詞：步進電機；齒層計算轉(zhuǎn)矩；齒層比磁導(dǎo)；電磁場有限元法

中圖分類號：TM 383.6

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-449X（2018）05-0011-08

Abstract：Toothlayer specific permeability method is so far the main method for calculating of electromagnetic torque in stepping motors， a novel method for the analysis and calculation of electromagnetic torque was proposed which is called the toothlayer calculated torque （TLCT） method. The concept of TLCT was defined firstly and its correctness when used to calculate the electromagnetic torque was proved theoretically at the same time. Then the way to use the TLCT method in calculating electromagnetic torque and other performance parameters in stepping motors was described. Finally， a comparative research among the toothlayer specific permeability method， the TLCT method and the finite element method （FEM） was carried out， with results showing that the TLCT method is characterized by being simple and practical as well as high accuracy compared with the toothlayer specific permeability method.

Keywords：stepping motor； toothlayer calculated torque； toothlayer specific permeability； finite element method

0 引 言

步進電機特別是混合式步進電機具有體積小、性價比高、可靠性好、運行平穩(wěn)、定位準(zhǔn)確、易于控制的優(yōu)點，自上世紀(jì)60年代問世以來，獲得了工業(yè)自動化領(lǐng)域的青睞，并迅速發(fā)展。但是，混合式步進電機增加了軸向充磁的永磁體，使得電機中磁場呈三維分布，永磁體產(chǎn)生磁場與定子繞組電流產(chǎn)生磁場共同經(jīng)由電機齒層區(qū)域形成閉合回路，使得齒層區(qū)域飽和十分嚴(yán)重，且由于定、轉(zhuǎn)子鐵心疊片之間絕緣層的磁阻較大，導(dǎo)致氣隙和齒層的磁場沿電機軸向非均勻分布，磁路非常復(fù)雜[1-3]，對其分析計算成為研究的熱點和難點。

步進電機的分析計算可以采用解析法、場路結(jié)合分析方法和電磁場有限元分析方法[4]。解析法計算精度不夠高，難以考慮鐵心飽和等影響[5]；對于混合式步進電機，三維電磁場有限元分析方法可以使計算結(jié)果達到非常高的精度[6]，但每完成一次仿真計算需要耗費大量時間，在產(chǎn)品開發(fā)中并不具有實用性；場路結(jié)合分析方法只對電機中磁場變化最為劇烈的氣隙及齒層區(qū)域磁場進行二維電磁場有限元求解，其他部分則采用磁路的方法求解[7-9]，由于其計算精度相對較高、耗時少而成為步進電機設(shè)計分析的首選方法。

齒層比磁導(dǎo)法是一種典型的場路結(jié)合分析計算方法[10]，主要包括以下4個步驟：齒層磁參量的計算[11]，齒層磁參量數(shù)據(jù)庫的建立，非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)的建立與求解[12]，步進電機電磁轉(zhuǎn)矩及其他性能和參數(shù)的計算。這一方法中，重點是采用電磁場有限元法，計算如圖1所示的由電機定子齒、氣隙和轉(zhuǎn)子齒構(gòu)成的齒層的磁參量（齒層磁壓降、齒層磁通和齒層磁共能），并建立齒層在不同結(jié)構(gòu)尺寸下的磁參量數(shù)據(jù)庫；非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)的建立與求解則是實現(xiàn)場路結(jié)合的關(guān)鍵。

齒層比磁導(dǎo)法仍然存在不足，其最為嚴(yán)重的不足在于電磁轉(zhuǎn)矩的計算，即先通過求解非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)得到電機各支路磁壓降和磁共能，進而得到電機整體磁共能，并將磁共能隨轉(zhuǎn)角的變化率作為電磁轉(zhuǎn)矩的值?？梢?，根據(jù)電機整體磁共能求解電磁轉(zhuǎn)矩涉及到一個對轉(zhuǎn)角求導(dǎo)的過程，即使所求電機整體磁共能與實際值偏差較小，也會因經(jīng)過一步求導(dǎo)而將誤差放大。由于混合式步進電機磁場分布極為復(fù)雜，很難建立該種電機準(zhǔn)確的非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型，因而無法準(zhǔn)確計算電機整體磁共能，則計算所得電磁轉(zhuǎn)矩與實際值相比會產(chǎn)生較大的偏差，導(dǎo)致矩角特性波形發(fā)生較為嚴(yán)重的畸變。

本文基于上述齒層比磁導(dǎo)法提出了一種步進電機新型電磁轉(zhuǎn)矩計算方法—齒層計算轉(zhuǎn)矩法，該方法避免了齒層比磁導(dǎo)法中電機整體磁共能對轉(zhuǎn)角的求導(dǎo)，具有方法簡單、計算精度高的特點。本文第2部分從理論上證明了齒層計算轉(zhuǎn)矩法用于步進電機電磁轉(zhuǎn)矩計算的正確性，第3部分給出了該方法用于步進電機電磁轉(zhuǎn)矩計算及其他性能參數(shù)的分析計算步驟，第4部分針對磁阻式步進電機和混合式步進電機，分別采用齒層計算轉(zhuǎn)矩法、齒層比磁導(dǎo)法及電磁場有限元法進行電磁轉(zhuǎn)矩的計算比較，進一步證明了所提出的齒層計算轉(zhuǎn)矩法的正確性、簡便性和高計算精確性。

1 齒層計算轉(zhuǎn)矩法的提出及證明

步進電機是一個復(fù)雜的閉合磁路系統(tǒng)，由多齒層、多磁動勢源及其他磁路相互串并聯(lián)構(gòu)成，下面從簡化的步進電機入手，逐步過渡到實際的步進電機，提出求解步進電機電磁轉(zhuǎn)矩的齒層計算轉(zhuǎn)矩法，并給出理論分析證明。

1.1 具有單一齒層的步進電機電磁轉(zhuǎn)矩計算

假定電機1由單一磁動勢源、單一齒層及其他任意無源磁路（即齒層外磁路，簡稱外磁路）構(gòu)成，電機2僅由單一磁動勢源和單一齒層構(gòu)成，且兩臺電機具有完全相同的齒層結(jié)構(gòu)及尺寸。假定兩電機具有相同的初始齒層位置和齒層磁壓降，保持此齒層位置時的兩電機磁動勢源不變，并轉(zhuǎn)過相同的齒層角度，則在這一齒層位置變化過程中，電機1產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩可由電機2產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩等效。

圖2為描述兩臺電機的等效磁路，其中Geq為電機1中外磁路的等效磁導(dǎo)，其上磁壓降以Feq表示，Gt為兩電機齒層磁路的磁導(dǎo)（由于兩電機齒層相同且齒層位置在變化前后均相同，因此以相同的磁導(dǎo)Gt表示），F(xiàn)1和F2為兩電機外加磁動勢源，1和2分別為兩電機磁通。

通過以上分析可看出，在齒層位置變化過程中，兩電機具有近似相同的磁共能變化量，由于磁共能變化量對齒層位置角變化量的比值即為電機在這一變化過程中產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩，因此，在齒層位置變化過程中，電機1產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩可由電機2產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩等效。對這一結(jié)論需要特別指出：

1）電機1產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩可以由與電機1具有完全相同齒層的電機2產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩等效，而電機2只有齒層磁路，無外磁路，即只有齒層磁路磁共能變化產(chǎn)生的齒層轉(zhuǎn)矩，故將電機2的轉(zhuǎn)矩稱為電機1的齒層計算轉(zhuǎn)矩，顯然電機1的齒層計算轉(zhuǎn)矩與其實際齒層轉(zhuǎn)矩不同，前者為電機1的總轉(zhuǎn)矩，既包含其實際齒層轉(zhuǎn)矩，又包含其外磁路磁共能變化所產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩。

2）電機1外磁路無論飽和與否，上述結(jié)論都成立。即電機1的電磁轉(zhuǎn)矩在任何情況下都可用其齒層計算轉(zhuǎn)矩來代替。實際上，在步進電機齒層變化過程中，如果外磁路不飽和，則外磁路磁共能變化產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩相對較小，相對于齒層磁共能變化產(chǎn)生的齒層轉(zhuǎn)矩可以忽略不計，電機的總轉(zhuǎn)矩近似等于其齒層實際轉(zhuǎn)矩，但當(dāng)外磁路飽和時，電機的總轉(zhuǎn)矩只能以電機的齒層計算轉(zhuǎn)矩等效，而不能用其齒層實際轉(zhuǎn)矩等效。

1.2 具有多個串聯(lián)齒層或并聯(lián)齒層的步進電機電磁轉(zhuǎn)矩計算

對于步進電機多個齒層串聯(lián)的情況，很容易用1.1節(jié)給出的結(jié)論進行論證，在此重點對多個齒層并聯(lián)的步進電機（以兩個齒層并聯(lián)為例）進行論證。假定步進電機1由單一磁動勢源、兩個并聯(lián)齒層及外磁路構(gòu)成，電機組2包括兩個步進電機，每個步進電機均由單一磁動勢源、單一齒層構(gòu)成，且電機1與電機組2的對應(yīng)齒層完全相同。假定電機1和電機組2的各個對應(yīng)齒層分別具有相同的初始齒層位置和齒層磁壓降，且保持此初始位置時電機1和電機組2的磁動勢源恒定不變，兩者同時轉(zhuǎn)過相同的齒層角度，則在這一齒層位置變化過程中，電機1產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩可由電機組2產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩之和等效。

為了將不確定性的磁路系統(tǒng)等效為確定性的磁路系統(tǒng)，在此引入了“計算并聯(lián)外磁路”的概念，圖6為引入“計算并聯(lián)外磁路”后的電機1的并聯(lián)等效磁路，其中，計算并聯(lián)外磁路的磁導(dǎo)分別表示為geq1、geq2，這一計算并聯(lián)外磁路的建立基于以下原則：

1）計算并聯(lián)外磁路與實際并聯(lián)外磁路各支路的磁通和磁壓降在電機1初末位置時均相同；

2）計算并聯(lián)外磁路的磁共能之和與外磁路總的磁共能在電機1處于任何狀態(tài)時完全相同。

圖7為電機1外磁路及計算并聯(lián)外磁路的磁通磁動勢Φ-F曲線，其中曲線OAB、OCD分別為電機1計算并聯(lián)外磁路支路1和支路2的Φ-F曲線。電機1計算并聯(lián)外磁路的Φ-F曲線建立過程如下：首先根據(jù)上述原則（1）確定計算并聯(lián)外磁路的初末位置工作點；然后用任意曲線將磁路工作原點、初位置工作點、末位置工作點3點進行連接，并使得所有曲線下方面積關(guān)系滿足上述原則（2）。

電機1外磁路初末位置工作點分別對應(yīng)圖7中的a、b點，計算并聯(lián)外磁路支路1初末位置工作點分別對應(yīng)圖7中的A、B點，計算并聯(lián)外磁路支路2初末位置工作點分別對應(yīng)圖7中的C、D點，則滿足：

同時，在電機1處于任何狀態(tài)時，曲線Oab下方面積等于曲線OAB與曲線OCD下方面積之和。

基于1.1，很容易得出：電機1齒層變化產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩等于電機組2各電機產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩之和。電機組2中各電機的電磁轉(zhuǎn)矩分別稱為電機1相應(yīng)齒層的計算轉(zhuǎn)矩，因此電機1的電磁轉(zhuǎn)矩就是電機1中各個齒層的計算轉(zhuǎn)矩之和。若電機1的外磁路中含有齒層磁路，可用同樣的方法進行論證，在此不再贅述。

參照上述所有推導(dǎo)過程及相應(yīng)結(jié)論，對于由多個磁動勢源、多個齒層與外磁路串并聯(lián)構(gòu)成的實際步進電機，其電磁轉(zhuǎn)矩仍可由齒層計算轉(zhuǎn)矩等效，這一電磁轉(zhuǎn)矩計算方法稱為步進電機的齒層計算轉(zhuǎn)矩法。

2 齒層計算轉(zhuǎn)矩法在步進電機電磁轉(zhuǎn)矩計算中的應(yīng)用

齒層計算轉(zhuǎn)矩法在應(yīng)用于步進電機電磁轉(zhuǎn)矩計算時，主要包括以下步驟：齒層磁通及齒層計算轉(zhuǎn)矩的計算；齒層磁通及齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫的建立；非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型的建立與求解；電機電磁轉(zhuǎn)矩及其他電機性能和參數(shù)的計算。下面以一實例來說明應(yīng)用齒層計算轉(zhuǎn)矩法計算步進電機電磁轉(zhuǎn)矩的步驟。

對于每一組齒層磁通曲線族均可非常容易地建立相應(yīng)的齒層計算轉(zhuǎn)矩曲線族，換言之，建立了齒層比磁導(dǎo)法中的齒層磁通數(shù)據(jù)庫也就相當(dāng)于建立了齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫。

基于齒層磁通數(shù)據(jù)庫和齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫，建立并求解步進電機非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型，通過各個齒層支路磁壓降數(shù)值查找齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫以得到齒層計算轉(zhuǎn)矩，并根據(jù)各個齒層計算轉(zhuǎn)矩方向與電磁轉(zhuǎn)矩方向的關(guān)系確定齒層計算轉(zhuǎn)矩的正負(fù)，最后將所有齒層計算轉(zhuǎn)矩直接相加即可得到電機的總電磁轉(zhuǎn)矩。

可以看出，齒層計算轉(zhuǎn)矩法和齒層比磁導(dǎo)法都需要求解非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型，但是，前者只需根據(jù)齒層磁壓降查找齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫便可直接得到步進電機的電磁轉(zhuǎn)矩；后者需要計算包括齒層在內(nèi)的電機所有磁路的磁共能以得到電機整體磁共能，并將電機整體磁共能對轉(zhuǎn)角求導(dǎo)才可得到電磁轉(zhuǎn)矩，其中齒層部分磁共能由齒層磁壓降查找齒層磁共能數(shù)據(jù)庫得到，而其他部分磁路的磁共能則是根據(jù)各磁路磁壓降由解析法求得。顯然，在計算步進電機電磁轉(zhuǎn)矩時，齒層計算轉(zhuǎn)矩法不但簡單，而且具有更高的計算精度。

3 齒層計算轉(zhuǎn)矩法仿真實驗驗證

相比于混合式步進電機，磁阻式步進電機結(jié)構(gòu)更為簡單，且只有沿徑向圓周平面分布的磁場，無需添加任何經(jīng)驗系數(shù)便能夠建立其較為準(zhǔn)確的非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型，計算結(jié)果客觀準(zhǔn)確。因此，首先以磁阻式步進電機為例來驗證齒層計算轉(zhuǎn)矩法，并對齒層計算轉(zhuǎn)矩法、齒層比磁導(dǎo)法及二維有限元法計算所得電磁轉(zhuǎn)矩結(jié)果進行比較。進一步針對混合式步進電機，將齒層計算轉(zhuǎn)矩法與三維有限元法計算所得電磁轉(zhuǎn)矩結(jié)果進行比較。

3.1 磁阻式步進電機齒層計算轉(zhuǎn)矩法的仿真驗證

1）采用二維有限元法（2-D FEM）計算齒層磁壓降的電機齒層計算轉(zhuǎn)矩法（TLCT）。

采用二維有限元法對樣機電機進行計算（鐵心迭長設(shè)為1 m），分別得到其在不同轉(zhuǎn)子位置角α下的電機整體電磁轉(zhuǎn)矩及各個齒層磁壓降數(shù)值，同時根據(jù)齒層磁壓降數(shù)值查找齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫（在此特指根據(jù)本樣機電機齒層尺寸計算得到的如圖8（b）所示的齒層計算轉(zhuǎn)矩曲線族）得到各個齒層計算轉(zhuǎn)矩，并根據(jù)齒層計算轉(zhuǎn)矩法計算得到電機整體電磁轉(zhuǎn)矩，計算結(jié)果如表2和表3所示。

可以看出，由于對電機整體進行有限元計算可得到準(zhǔn)確的齒層磁壓降數(shù)值，根據(jù)這一準(zhǔn)確的齒層磁壓降數(shù)值查找齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫所得到的電機電磁轉(zhuǎn)矩與電磁場有限元法直接得到的電磁轉(zhuǎn)矩幾乎完全相同，由此驗證了所提出的齒層計算轉(zhuǎn)矩法原理的正確性。

2）基于非線性等值磁網(wǎng)路模型的電機齒層計算轉(zhuǎn)矩法（TLCT）。

建立并求解樣機的非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型以得到各個齒層的磁壓降數(shù)值，分別采用齒層計算轉(zhuǎn)矩法和齒層比磁導(dǎo)法計算電機的電磁轉(zhuǎn)矩，并與采用二維有限元法計算所得電磁轉(zhuǎn)矩進行比較，如圖9所示?？梢钥闯觯捎谇蠼夥蔷€性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型得到的齒層磁壓降與電機實際的齒層磁壓降（可看作是由上述二維有限元法計算得到的齒層磁壓降）有所差別，因此查找齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫得到的電機電磁轉(zhuǎn)矩與有限元計算結(jié)果有一定的誤差，但是這一誤差遠小于根據(jù)齒層比磁導(dǎo)法計算電磁轉(zhuǎn)矩所產(chǎn)生的誤差，也就是說，齒層計算轉(zhuǎn)矩法的計算精度遠高于齒層比磁導(dǎo)法。

3.2 混合式步進電機齒層計算轉(zhuǎn)矩法的仿真驗證

混合式步進電機樣機為2相8極外轉(zhuǎn)子電機，其主要結(jié)構(gòu)尺寸如表4所示。只采用單相通電方式，且定子A相繞組電流磁動勢大小為FA=36 A，齒層計算轉(zhuǎn)矩法計算所得電磁轉(zhuǎn)矩與三維有限元仿真計算所得結(jié)果進行比較，如圖10所示?？梢钥闯?，對于混合式步進電機，采用齒層計算轉(zhuǎn)矩法計算電機的電磁轉(zhuǎn)矩同樣具有很高的精度。

需要說明的是，對于混合式步進電機，由于定、轉(zhuǎn)子鐵心疊片之間絕緣層磁阻的影響，電機氣隙及齒層磁場沿軸向分布不均勻，且定、轉(zhuǎn)子鐵心中的磁場分布極為復(fù)雜，因而較難準(zhǔn)確建立其非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型。對于齒層比磁導(dǎo)法而言，需加經(jīng)驗系數(shù)以保證計算精度，因此對混合式步進電機，沒有將齒層計算轉(zhuǎn)矩法與齒層比磁導(dǎo)法進行比較，僅與三維電磁場有限元法進行比較。值得注意的是，齒層計算轉(zhuǎn)矩法計算電磁轉(zhuǎn)矩的精度僅取決于建立和求解非線性等值磁網(wǎng)路模型時得到的電機齒層磁壓降的數(shù)值和精度，而與電機其他部分磁路磁壓降大小和精度無關(guān)，因此只需以準(zhǔn)確計算電機齒層磁壓降為目標(biāo)建立和求解電機非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型即可，具體建立方法將在后續(xù)文章中敘述，在此只給出了最終計算結(jié)果。

4 結(jié) 論

1）通過上述步進電機新型電磁轉(zhuǎn)矩計算方法—齒層計算轉(zhuǎn)矩法的提出、證明及比較驗證，得到以下結(jié)論：齒層比磁導(dǎo)法是目前步進電機基于場路結(jié)合的主要分析方法，基于該方法可進行步進電機電磁轉(zhuǎn)矩和性能及參數(shù)的分析與計算。本文提出齒層計算轉(zhuǎn)矩法求解電機的電磁轉(zhuǎn)矩，這一方法首先基于齒層比磁導(dǎo)法中建立的齒層磁通數(shù)據(jù)庫，建立齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫，然后建立和求解非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)模型，通過求得的齒層磁壓降數(shù)值直接查找齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫而得到電機的電磁轉(zhuǎn)矩。

2）齒層計算轉(zhuǎn)矩法是通過非線性等值磁網(wǎng)絡(luò)求得的齒層磁壓降數(shù)值直接查找齒層計算轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)庫而得到電磁轉(zhuǎn)矩，因此步進電機電磁轉(zhuǎn)矩計算精度只決定于齒層磁壓降的計算精度，與電機其他磁路磁壓降的計算精度無關(guān)；而齒磁比磁導(dǎo)法計算所得電磁轉(zhuǎn)矩大小不但受齒層磁壓降而且受其他磁路磁壓降的計算精度影響，同時，根據(jù)電機各磁路磁共能得到電機整體磁共能并對轉(zhuǎn)角進行求導(dǎo)也極大地影響到電磁轉(zhuǎn)矩的計算精度。因此，本文提出的齒層計算轉(zhuǎn)矩法在計算步進電機電磁轉(zhuǎn)矩時，不但簡單方便，而且具有更高的計算精度。

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（編輯：張 楠）