帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題

陸海釗

[摘 要]帶電粒子進(jìn)入有界磁場運(yùn)動時產(chǎn)生臨界問題的兩個原因是速度大小不確定和速度方向不確定。文章結(jié)合例題，說明運(yùn)用放大或縮小帶電粒子在磁場中運(yùn)動的圓周軌跡和動態(tài)旋轉(zhuǎn)圓周軌跡的辦法尋找臨界軌跡，進(jìn)而解決帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題。

[關(guān)鍵詞]臨界問題；帶電粒子；有界磁場

[中圖分類號] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0055-02

帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界問題是每年高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，它不但涉及力學(xué)、電磁學(xué)等高中物理知識，而且還涉及數(shù)學(xué)中有關(guān)圓的知識，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，考生的得分率普遍不高。原因之一是考生在解答帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題時無法準(zhǔn)確尋找?guī)щ娏Ｗ釉诖艌鲋羞\(yùn)動的臨界軌跡。

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，要解決帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題，必須讓學(xué)生明白臨界問題是如何產(chǎn)生的。這里分兩種情況討論，一是粒子進(jìn)入磁場時v的大小不確定，導(dǎo)致臨界軌跡不確定，v的大小影響著粒子在磁場中圓周運(yùn)動軌跡的大小，這種情況可以通過放大或縮小圓周軌跡的辦法來尋找臨界軌跡；二是粒子進(jìn)入磁場時v的方向不確定，由于v的方向不確定，該粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圓心不確定，這種情況可以采取動態(tài)旋轉(zhuǎn)圓周的辦法尋找臨界軌跡。下面舉例說明。

【例1】 如圖1所示，ab邊足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)有方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場?，F(xiàn)有一帶電量為q，質(zhì)量為m的粒子在ad邊的中點(diǎn)O處以垂直磁場方向射入，且速度方向跟ad邊成30°角。設(shè)ad邊長為L，求：若要粒子從ab邊上射出，則入射速度v0在哪個范圍？（不計(jì)粒子重力）

解析：帶電粒子進(jìn)入磁場的方向是確定的，粒子在O點(diǎn)受到洛倫茲力的方向垂直于v0，即圖2中OO1方向，所有不同速度大小的粒子在磁場中做圓周運(yùn)動時的軌道圓心都應(yīng)在直線OO1上。當(dāng)速度逐漸變大時，半徑變大，圓周運(yùn)動的軌跡也在變大。由題意知矩形區(qū)域abcd足夠長，當(dāng)圓周軌跡大到與cd相切時，這個圓周的半徑應(yīng)是所有從ab上射出粒子做圓周運(yùn)動的最大半徑，對應(yīng)粒子的速度為最大速度，臨界軌跡如圖2中①。設(shè)最大圓周與cd相切點(diǎn)為M，過M作cd的垂線，垂線與OO1交于O1，則粒子軌跡的圓心為O1，設(shè)其軌道半徑為R1，由幾何關(guān)系得R1sin30°+[L2]=R1 ，解得R1=L，由公式qvB=[mv2R]，得該軌道上粒子速度為v1=[qBLm]。

對于從ab射入的粒子，當(dāng)速度變小時，半徑變小，圓周的軌跡也在變小，當(dāng)軌跡與ab相切時，圓周軌跡最小，對應(yīng)半徑最小，對應(yīng)粒子的速度為最小速度，臨界軌跡如圖2中③。設(shè)切點(diǎn)為N，過N作ab的垂線交直線OO1于O2，即圓心為O2，半徑為R2，則R2+R2cos60°=[L2]，解得R2=[13]L，由qvB=[mv2R]可得v2=[qBL3m]。綜上所述，入射粒子速度范圍為[qBL3m] < v < [qBLm]。

【例2】 如圖3所示，質(zhì)量為m，電荷量為+q的帶電粒子，不計(jì)重力，粒子以一定速度從小孔Q垂直進(jìn)入N板右側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場邊界上的絕緣板CD與N板的夾角為θ=45°，孔Q到板的下端C的距離為L。當(dāng)粒子以最大速度入射時，粒子恰垂直打在CD板上的H點(diǎn)，求： CD板上被粒子打中的區(qū)域的長度。

解析：如圖4，由半徑和切線垂直的幾何關(guān)系知，粒子垂直N板從Q進(jìn)入磁場，即入射速度方向確定，則圓心必在N板上，由題意知粒子速度最大時，粒子恰好垂直打在CD板上，則圓心必在絕緣CD板上，N板和絕緣板CD交于C，則圓心為C，臨界軌跡為圓弧QH；CH=QC=L，故半徑R1=L；當(dāng)粒子入射速度變小時，圓周軌跡變小，半徑變小，要使粒子打在絕緣板上，最小的圓周軌跡應(yīng)與CD相切，則臨界軌跡應(yīng)為圓弧QKE。此軌跡的半徑為R2，在△AKC中：

sin 45°=[R2L-R2] 解得R2=（[2]-1）L

由幾何知識得KC長也等于R2=（[2]-1）L

所以CD絕緣板上被粒子打中的長度為HK，即HK=R1-R2=（2-[2]）L。

【例3】 如圖5所示，有一環(huán)狀勻強(qiáng)磁場，外半徑R2=1.0 m，內(nèi)半徑為R1=0.5 m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0 T，粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動時都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。若在中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子荷質(zhì)比為q/m=4×107 C/kg，且粒子具有各個方向的速度。（1）當(dāng)粒子沿半徑方向射入環(huán)狀磁場時，粒子不穿出磁場的最大速度是多少？（2）所有射入磁場的粒子不能穿出環(huán)狀磁場的最大速度是多少？

解析：（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場時，根據(jù)qvB=m[v2R]得，R=[mvqB]，因荷質(zhì)比一定，B一定，v越大，則粒子做圓周運(yùn)動的圓周越大，當(dāng)圓周與環(huán)狀磁場外緣相切時，即為粒子不穿越磁場的臨界軌跡，軌跡如圖6所示。此時對應(yīng)速度為最大速度。由圖知r12+R12=（R2-r1）2，解得r1=0.375m，根據(jù)qvB=m[v2R]，把R=r1=0.375 m代入，解得v=1.5×107 m/s。

（2）設(shè)粒子在內(nèi)環(huán)半徑邊緣某點(diǎn)以速度v射入環(huán)狀磁場，則軌跡應(yīng)為r2=[mv2qB]的圓弧，隨著速度的增大，半徑也增大，圓弧也增長；因速度方向未定，所以粒子圓周運(yùn)動的圓弧也要以某點(diǎn)為圓心轉(zhuǎn)動。當(dāng)以v2的速度沿與內(nèi)環(huán)邊緣相切方向射入磁場，且臨界軌跡與外圓相切時，則以v2速度沿各方向射入環(huán)狀磁場的粒子都不能穿出磁場，臨界軌跡如圖7所示。

由圖中知r2=[R2-R12] =0.25 m ，由Bqv2=m[v22r2] 得v2=[Bqr2m]=1.0×107 m/s，所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度v2=1.0×107 m/s。

綜上所述，尋找臨界軌跡時，教師一定要讓學(xué)生理解：在放大或者縮小圓軌跡時，圓心一定始終在同一直線上，在分析動態(tài)圓周問題時要抓住動態(tài)圓是繞某一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，但無論哪一種方法都要讓學(xué)生明白，粒子做圓周運(yùn)動時和有界磁場邊緣相切的軌跡往往是臨界軌跡。

（責(zé)任編輯 易志毅）