求解值域取值范圍的常見途徑

韓興麗

1 通過集合的子集關(guān)系解答值域問題

將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合的子集關(guān)系是解答值域問題的常見方法之一，如下述例1、2就是該類問題，在例1中： ， ，問題就轉(zhuǎn)化為：哪一個(gè)集合可能是另一個(gè)集合的子集問題？因?yàn)?，所以只有B才有可能成為A的子集，故選B；在例2中：求出例2中函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間： ，即函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間。將問題轉(zhuǎn)化為 是上述已求集合的子集關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合題意，例2可化為不等式組： 解得.

例1.若 ， ，則正確的是（ ）

A、 存在實(shí)數(shù)a使

B、存在實(shí)數(shù)a使

C、存在實(shí)數(shù)a使 D、不存在實(shí)數(shù)a使

例2.已知函數(shù) 在區(qū)間 是增函數(shù)，則a的取值范圍是

2 通過函數(shù)的定義域和值域解答值域問題

直接確定函數(shù)的定義域和值域，或通過函數(shù)的定義域和值域來解答其它參數(shù)的值域問題也是我們常見的問題，解答該問題有時(shí)需要綜合分析能力。如下述的例3：?jiǎn)栴}（1）是指x取遍所有實(shí)數(shù)， 恒成立，于是由 時(shí)，只有 時(shí)符合； 時(shí)，只有 且 時(shí)符合，從而解出所求答案。問題（2）是指x為何值時(shí)， 才能取遍所有正實(shí)數(shù)，只有 且 時(shí)才符合。

例3.已知函數(shù)

1.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。2.若函數(shù)值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。

3 利用函數(shù)性質(zhì)解答值域問題

函數(shù)的性質(zhì)反映了函數(shù)的實(shí)質(zhì)性問題，利用函數(shù)的性質(zhì)解答數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)中常用的普遍方法，稱為打開解題大門的金鑰匙之一，所以，解答值域問題也不會(huì)離開這把“金鑰匙”。在答值域問題中，有時(shí)利用它可直接作答；有時(shí)利用它可設(shè)想“立新命”作答；有時(shí)還可“巧妙構(gòu)思”作答。如：例4可根據(jù) ，假設(shè) 為既奇又單調(diào)性函數(shù)時(shí)，解答便容易得多。所以可先證“函數(shù) 既奇又單調(diào)減函數(shù)”這個(gè)新命題后再做解答。

例4.設(shè) ，若 ，且 ，求a的取值范圍。

4 利用分離變量法解答值域問題

一個(gè)函數(shù)中或方程（含不等式）中有較多的變量時(shí)，直接解答較麻煩，需要根據(jù)具體情況將變量按類分離在方程（不等式）的兩邊進(jìn)行解答。

5 利用換元思想解答值域問題

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，通過變量代換，變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，使問題得以容易處理。

例5.已知 ，試求 的取值范圍。

解析：如何運(yùn)用題設(shè)條件，將 轉(zhuǎn)化成只含一個(gè)變量，是解決此問題的關(guān)鍵，由 聯(lián)想到橢圓的參數(shù)方程： ，或?qū)?看作一個(gè)整體t，利用數(shù)形結(jié)合、方程的思想解決都不失為一種好方法：

方法一：令 ，則 ，

方法二 ，則 代入 得： ，因方程有實(shí)數(shù)根，故 ，

綜合點(diǎn)評(píng)：①值域問題含概最值問題，如何求解最值？該文提到的方法適應(yīng)，所以，本文有意選了求最值的問題。②值域問題是研究數(shù)學(xué)問題的重要組成部分之一，所以，認(rèn)真學(xué)好值域問題也是學(xué)好數(shù)學(xué)的必須過程。③值域問題的研究仍體現(xiàn)著數(shù)學(xué)思想方法的重要性，如函數(shù)思想、方程觀點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸轉(zhuǎn)化的思想仍居首位，特別是函數(shù)思想、方程觀點(diǎn)尤其重要，又如在解析幾何中，不管問題的難度如何，都是在尋求a、b、c之間或相關(guān)量之間的關(guān)系，即方程式（組）或不等式（組），從而解之的所求結(jié)論。④值域問題是較廣泛的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，它具有題型新穎、靈活性強(qiáng)、知識(shí)面廣等綜合性較強(qiáng)的特點(diǎn)，本文列舉的幾例，僅為啟發(fā)而已。

中學(xué)階段，很多試題有稱“換湯不換藥”之方法，意思就是從數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維這個(gè)高度講的，即很多試題的解法在數(shù)學(xué)思想方法方面是相同的或相似的，只要你平時(shí)能多注意些這方面的積累（但不能刻意去引用），再適當(dāng)?shù)淖⒅匦?shù)學(xué)演繹推理能力、數(shù)學(xué)合情推理能力的提高，數(shù)學(xué)解題能力會(huì)有意想不到的提高。

（作者單位：太原市交通學(xué)校）