基于單個(gè)圓形與一組平行線的平面度量恢復(fù)

王自然

摘要：針對(duì)包含已知直徑的單個(gè)圓形與一組平行線平面的場(chǎng)景，利用滅點(diǎn)和直徑的對(duì)極關(guān)系，計(jì)算平面的一個(gè)滅點(diǎn)，然后根據(jù)另外一組平行線計(jì)算另外一個(gè)滅點(diǎn)，進(jìn)而獲得平面滅線，然后根據(jù)圓形的各項(xiàng)同性性質(zhì)，求解圖像與現(xiàn)實(shí)之間的對(duì)應(yīng)矩陣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)平面的度量矯正。

關(guān)鍵詞：圓形；滅點(diǎn)；滅線；度量恢復(fù)

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）31-0207-03

Plane Rectification Using Circle and A Set of Parallel Lines

WANG Zi-ran

（Nanjing Normal University Taizhou College， Taizhou 225300， China）

Abstract：A method for plane rectification from a scene with a circle and a set of parallel lines is proposed. Rectification homography can be used to back-project the ellipse in the image to a circle. Firstly， a vanishing point can be determined from a set of parallel lines. Another vanishing point is estimated by the relationship between diameter and vanishing point. Consequently the vanishing line is determined by the two vanishing points. After that the homography can be obtained from the vanishing line and the image of the circle. Once the homography is determined the image of the circle is back-projected to an ellipse. Based on the homography the plane can be rectified. If there is a known length of a line segment in the image， other geometric information also can be computed. Experimental results demonstrate the approachs efficacy.

Key words：circle； vanishing point； vanishing line； metric rectification

1 概述

現(xiàn)實(shí)中的平面經(jīng)過(guò)攝像機(jī)映射之后，在圖像中發(fā)現(xiàn)變形，使得一些幾何關(guān)系不再保持，如平行直線不在平行而是匯聚于一點(diǎn)，圓形對(duì)象變?yōu)闄E圓，通過(guò)度量矯正可使其變回原有的形態(tài)，將圖像恢復(fù)到與現(xiàn)實(shí)對(duì)象相差一個(gè)相似變換，在已知度量信息的輔助下，還可實(shí)現(xiàn)圖像中對(duì)象的幾何量測(cè)。通過(guò)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（線）恢復(fù)平面與圖像之間的單應(yīng)矩陣可實(shí)現(xiàn)平面度量矯正，在沒(méi)有對(duì)應(yīng)點(diǎn)（線）的情況，可通過(guò)直接或分層的方法恢復(fù)平面度量性質(zhì)，無(wú)論何種方法都需要利用圖像中的幾何特征，計(jì)算圖像平面的滅線。

直線、圓形特征是自然場(chǎng)景中常見(jiàn)的幾何特征，常被用來(lái)計(jì)算圖像中的滅點(diǎn)、滅線信息，且通常分開(kāi)使用，即利用多于兩組平行線組計(jì)算各組的滅點(diǎn)，再利用所求的多個(gè)滅點(diǎn)確定一條滅線；而在多個(gè)圓形（大于等于2個(gè)）存在的場(chǎng)景下，通常首先獲取虛圓點(diǎn)的像，再由這其計(jì)算平面的滅線。也有部分研究首先計(jì)算獲取圓形經(jīng)過(guò)映射后的圓心，然后根據(jù)對(duì)極關(guān)系計(jì)算平面滅線。這些方法或是僅僅利用兩組以上平行直線組，或是僅僅利用多個(gè)圓形特征，但在有些情況下，場(chǎng)景中僅僅包含一個(gè)圓形和一組平行線，不具備直接求得平面滅線的充分條件。本文針對(duì)這一場(chǎng)景，本文利用對(duì)極關(guān)系以及圓形的各項(xiàng)同性性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)圖像的度量矯正。

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)介紹相關(guān)的理論基礎(chǔ)與已有研究；第3節(jié)介紹基于一個(gè)圓形與一組平行線組的度量矯正方法的原理；第4節(jié)對(duì)本文方法進(jìn)行測(cè)試分析與討論；第5節(jié)是對(duì)本文所做工作的總結(jié)。

2 理論基礎(chǔ)

在射影幾何中，兩條平行線交于一個(gè)滅點(diǎn)vp，如公式（1）所示，當(dāng)有多條平行線存在時(shí)還可用最小二乘法求出最優(yōu)滅點(diǎn)。

[vp=l1×l2] （1）

同時(shí)，在射影幾何中，橢圓方程表示成一般形式：

[Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0] （2）

其中，x，y分別為橢圓上一點(diǎn)的x軸和y軸坐標(biāo)。使x=x1/x3、y=x2/x3（其中，x3不為0），可將式（2）齊次化表示為：

[Ax21+Bx1x2+Cx22+Dx1x3+Ex2x3+Fx23=0] （3）

或表示成矩陣形式：

[xTCx=0] （4）

其中[x=x1x2x3T]，橢圓系數(shù)矩陣C為：

[C=AB2D2B2CE2D2E2F] （5）

圓形經(jīng)過(guò)映射后變?yōu)闄E圓，但圓形圓心經(jīng)過(guò)映射后并不與橢圓的圓心重合，所幸圓形圓心經(jīng)過(guò)映射后的點(diǎn)PC與其所在平面的滅線vl關(guān)于圓形映射后的橢圓C形成一組對(duì)極關(guān)系，如公式（6）所示，即在橢圓方程確定的情況，已知圓心PC可獲得滅線vl，反之亦然。同時(shí)，圓形（在圖像中為橢圓）的直徑與滅點(diǎn)也對(duì)極關(guān)系，即公式（6）中，vl替換為圓形的直徑，而pc則替換為滅點(diǎn)。

[vl=C*pc] （6）

“虛圓點(diǎn)”是每一個(gè)圓周與滅線相交的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)點(diǎn)， [I=（1，i，0）T]，[J=（1，-i，0）T]，虛圓點(diǎn)經(jīng)過(guò)映射的像mI、mJ，仍然是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，可由圖像平面的滅線與橢圓所確定二次方程求解獲得，如式（7）所示，f1為滅線方程，f2為橢圓方程，mI、mJ可由方程的解確定。

[mI，mJ=solve（f1，f2）] （7）

現(xiàn)實(shí)平面和圖像平面之間的映射是一種射影變換，用單應(yīng)矩陣H表示，可分解為一串變換鏈的復(fù)合：

[H=HSHAHP=sRt0T11β-αβ0010001100010l1l2l3] （8）

其中，HS、HA、HP分別為相似變換、仿射變換和射影變換。HP與滅線vl=（l1，l2，l3） T相關(guān)；HA與虛圓點(diǎn)有關(guān)，而與滅線無(wú)關(guān)；HS為一般的相似變換，它不影響仿射及射影性質(zhì)，當(dāng)單應(yīng)矩陣恢復(fù)到相似變換層次，矯正后的圖像與實(shí)際對(duì)象只相差一個(gè)比例因子s，而與相似變換中的旋轉(zhuǎn)R和平移t無(wú)關(guān)。

綜上所述，當(dāng)平面中包含圓形時(shí)，只需要計(jì)算出平面的滅線，以及圓形即可進(jìn)行平面的度量恢復(fù)，因?yàn)橐坏缇€和圓形已知，虛圓點(diǎn)即可根據(jù)公式（7）獲得。

3 原理與方法

3.1 平面滅線確定

在射影幾何中，一組平行線交于一個(gè)滅點(diǎn)，一個(gè)平面只有一條滅線，平面上所有平行線組的交點(diǎn)必然在這條滅線上，因此可由兩個(gè)或多個(gè)滅點(diǎn)確定平面的滅線。當(dāng)只有一組平行線時(shí)僅可確定滅線上的一點(diǎn)，然而至少兩點(diǎn)確定一條直線，則需要補(bǔ)充其他條件來(lái)確定這條滅線。

當(dāng)平面中存在圓形的特征時(shí)，圓形的直徑和平面的滅點(diǎn)存在對(duì)極關(guān)系，可用公式（6）計(jì)算另外一個(gè)滅點(diǎn)。

圖1 包含圓形的場(chǎng)景

3.2 度量恢復(fù)

在歐式空間中，圓形具有各向同性的特性，其半徑在各個(gè)方向上相等，但經(jīng)過(guò)映射后，其在射影空間中半徑各向相異，如圖1所示，在包含一對(duì)垂直直徑的平面上，可以圓心的圓心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以兩個(gè)垂直方向作為x軸與y軸，在圓形半徑未知的情況下，可將其半徑作為單位長(zhǎng)度1來(lái)計(jì)算，則點(diǎn)P1、P3、P2、P4的坐標(biāo)分別為（-1，0）（1，0）（0，-1）（0，1）；在其對(duì)應(yīng)的圖像中，當(dāng)滅線確定之后，根據(jù)公式（6）計(jì)算圓形圓心經(jīng)過(guò)映射后的像pc，過(guò)pc取一條直徑r1，r1與橢圓交與兩點(diǎn)p1，p2，此條直徑所在直線的滅點(diǎn)可根據(jù)公式（9）計(jì)算獲得，而與此滅點(diǎn)關(guān)于橢圓對(duì)極的直線即為與r1垂直的另外一條過(guò)直徑的直線，記作r2， r2與橢圓的交點(diǎn)分別為p3，p4，四個(gè)點(diǎn)p1，p3，p2，p4的圖像坐標(biāo)可通過(guò)計(jì)算獲得。

[vp1=r1×vl] （9）

[r2=C-1*vl] （10）

根據(jù)圖像點(diǎn)與平面中自定義坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用直接線性變換（DLT）計(jì)算其單應(yīng)矩陣H，利用單應(yīng)矩陣可以將圖像逆映射為相差一個(gè)縮放因子的圖像。

4 測(cè)試與分析

本部分實(shí)驗(yàn)計(jì)算在Matlab環(huán)境下通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)，以人機(jī)交互的形式提取圖像中多條直線。針對(duì)場(chǎng)景圖像中的橢圓和直線，首先手工提取盡可能多的邊緣點(diǎn)，然后采用最小二乘法對(duì)橢圓和直線進(jìn)行擬合。

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果

本節(jié)選用了兩幅包含圓形和一組平行線的圖像，分別如圖2和圖3所示。圖2中選用黑色圓環(huán)的外環(huán)作為已知信息，獲取其中一條直徑，并以其左下角的矩形的一組邊作為已知平行線段，其恢復(fù)后的圖像如圖2右圖所示，左圖中的橢圓被恢復(fù)為圓形。圖3中為常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，選擇場(chǎng)地中間的圓形為已知對(duì)象，已知其一條直徑，以場(chǎng)地中其他的邊作為已知的平行線段，恢復(fù)后的圖像如圖3右圖所示。

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圖2 合成測(cè)試圖

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圖3 真實(shí)場(chǎng)景測(cè)試圖

4.2 分析

由圖1可看出，圓形映射后的直徑r1與滅點(diǎn)vp1關(guān)于圓形映射后的橢圓存在對(duì)極關(guān)系，而垂直于直徑r1的一組平行線也交于滅點(diǎn)vp1，因此，一條圓形的直徑與垂直于此條直線的平行線關(guān)于圓形對(duì)等，兩者確定同一滅點(diǎn)。換而言之，若圖像存在具有一條直徑的圓形以及一組不與此直徑垂直的平行線組，則等同于一個(gè)圓形包含兩條直徑，兩條直徑的交點(diǎn)即為圓形的圓心，由此可確定平面的滅線。

本文方法需要已知一個(gè)圓形，此圓形具有一條直徑，以及一組平行線，即可將當(dāng)前平面恢復(fù)到與真實(shí)平面相差一個(gè)比例因子的層次，只要在平面上已知一個(gè)度量信息即可將平面恢復(fù)到真實(shí)情況。

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，包含很多可以求解滅線的幾何信息，而在實(shí)際場(chǎng)景中由于拍攝的角度等差別，可能無(wú)法獲得如此多的幾何信息，如真實(shí)的球場(chǎng)圖像中，可能只包含球場(chǎng)中間的圓形，已經(jīng)另外一組平行線，利用本文方法即可滿足恢復(fù)需求。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于平面中一個(gè)圓形（包含一條直徑）與一組平行線組的滅線求解方法，在確定滅線的基礎(chǔ)上，可對(duì)圖像進(jìn)行度量矯正，恢復(fù)后的圖像與現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景相差一個(gè)縮放因子。若圖像中圓形的直徑尺寸已知，則可進(jìn)一步對(duì)圖像中的對(duì)象進(jìn)行幾何量測(cè)。實(shí)驗(yàn)證明了本算法的可行性。

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