人口預(yù)測數(shù)學(xué)模型分析

孟鵬洋

摘 要：解決人口問題對國家的穩(wěn)定和社會經(jīng)濟的發(fā)展都有很重要的作用，因此學(xué)術(shù)界一直以來都十分關(guān)注人口預(yù)測的研究課題。本文首先選取Logistics模型對人口規(guī)律進行了描述，對未來5年的人口進行預(yù)測，再運用灰色系統(tǒng)GM（1，1）模型對我國的人口進行了中短期的預(yù)測。引入Leslie模型，根據(jù)需要將育齡婦女生育率進行歸一化，定義了年齡別水平，利用matlab軟件對增長矩陣進行有限次的迭代，預(yù)測出來我國的人口高峰達到的時間，并會在之后的一段時間里趨于穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：人口預(yù)測；數(shù)學(xué)模型；分析

一、人口預(yù)測數(shù)學(xué)模型

人口預(yù)測方法體系中的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)方法一直被學(xué)術(shù)界沿用至今，下面根據(jù)研究結(jié)果分別選定Logistic模型對我國人口做短期預(yù)測；對我國人口進行中期預(yù)測時選定了灰色GM（1，1）模型；長期預(yù)測則由Leslie模型來完成。

1.Logistic模型

Logistic模型的原型是Malthus模型：學(xué)術(shù)界的增長矩陣選擇灰色GM（1，1）模型預(yù)測人口的自然增長率為固定值，即單位時間內(nèi)的人口增長與人口成比例。

并且假定人口的增長按照指數(shù)增長的函數(shù)進行；其模型的離散形式為：

[ （+ ） （）] = 住？

其中 （）表示時刻的人口總數(shù)， 就是人口的自然增長率。這個模型說明人口增長一倍所需要的時間是定值，且在未來無限增長。但是當(dāng)人口總數(shù)達到環(huán)境最大承載數(shù)目時，凈增長率趨于零。在這種情況下得到了預(yù)測人口增長更為合理的Logistic模型

再進行數(shù)據(jù)處理。根據(jù)中國人口總數(shù)的數(shù)據(jù)，用matlab求解該非線性擬合。得到 = 0.0678， = 0.048 ，擬合的殘差resnorm=0.0016。由繪制的Logistic的增長型函數(shù)的圖像，得出當(dāng)∞時，p（t）==14.1250。

然后進行 Logistic模型誤差分析。我們通過統(tǒng)計年鑒等工具得到了相應(yīng)的年代的人口的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，然后利用matlab軟件對數(shù)據(jù)進行處理后，得到了預(yù)測值，為了更好做誤差分析，先定義誤差率為d，預(yù)測值為a，真實值為c，然后根據(jù)公式求得誤差率。

根據(jù)中國統(tǒng)計年鑒可以得到1989年到2005年年末的實際總?cè)丝诳倲?shù)，然后與函數(shù)預(yù)測的數(shù)值進行計算，我們可以得到相對應(yīng)的誤差率?？梢缘贸鲭S著時間的增長Logistic模型的誤差率波動呈上升的趨勢，但是該模型在短時間內(nèi)的誤差值比較小，2008年以后的誤差率的數(shù)值是呈直線上升的趨勢，所以我們可以用Logistic模型對我國的人口總數(shù)進行短時間內(nèi)的粗略預(yù)測并以此對2018到2023年的人口總數(shù)進行預(yù)測。

根據(jù)數(shù)據(jù)推測出未來五年全國人口的總數(shù)分別為13.25億、13.31億、13.42億、13.47億和13.52億；并且全國的總?cè)丝谠谖磥碲吔?4.125億.但是由誤差率合一看到，Logistic模型適用于短期的預(yù)測，在中長期的情況下預(yù)測的效果不是很好，原因是在現(xiàn)代影響人口增長的因素有很多，除了環(huán)境的承載能力，還要受包括醫(yī)療水平提高、人口政策的變化，甚至是戰(zhàn)爭、生育觀念等因素影響，而這些都不會在數(shù)據(jù)表面體現(xiàn)出來，Logistic模型在這方面的缺乏降低了人口預(yù)測的精確度。

2. GM（1，1）模型的建模與預(yù)測

建立GM（1，1）模型：設(shè)為已知的原始數(shù)據(jù)序 = {}，先對原數(shù)據(jù)累加以弱化個別數(shù)據(jù)對整體的影響，生成的新表達式為=（ = 1，2…，，從而得到新序列，然后構(gòu)造背景序列= （2）， （3），…， （）。一般取 = 0.5建立影子方程為 =。離散化，得到GM（1，1）灰微分方程 + = ，其中c，v待定的系數(shù)。

求解GM（1，1）模型，應(yīng)用最小二乘法可經(jīng)下面的式子求得記 [c，v]，[（0），（0），…，（0）]?；趍atlab軟件編程求出參數(shù)c，v的值，得出預(yù)測方程（1）=[（0）]+，則還原為原始預(yù)測值。

灰色模型進行長期的預(yù)測時候，時間序列長短和數(shù)據(jù)的隨機波動都會對預(yù)測造成誤差，因此，通過對數(shù)據(jù)進行等維遞推的方法一定程度上可以消減灰色的區(qū)間，提高預(yù)測精度。等維遞補方法的原理：首先按照已有的數(shù)據(jù)列建立灰色模型并且預(yù)測出第一個數(shù)值，再將這個值添加到之后的同事間去除的第一個數(shù)值，讓它一直保持著等維度，然后再預(yù)測下一個 數(shù)值，以此類推，直到達成預(yù)測精度并完成預(yù)測目標(biāo)。然后用matlab套用灰色模型的公式進行擬合并建模，為編程方便，將時間相應(yīng)方程簡化為= ？ （a ？） +，根據(jù)程序輸出的結(jié)果得到原始時間響應(yīng)方程，然后根據(jù)上訴方程預(yù)測2008年到2016年的人口數(shù)據(jù)。并用matlab求出模型的后驗差比值C=0.0059468506和小概率的P = 1。將C值和P值與原數(shù)值進行對比，得出該模型的擬合的精度等級為“好”，且可以從上表看到其相對誤差的變動范圍基本維持在0.1%之間.這些可以進行接下來的人口預(yù)測。

根據(jù)上述得到的時間相應(yīng)方程用matlab進行數(shù)據(jù)處理，得出我國2017年到2052年人口預(yù)測值。

2017年的預(yù)測值是13.67億，并以線性的趨勢持續(xù)增長，到2023年是14.078億，2033年為14.78億，2050年突破了16億。從誤差檢驗上看，灰色模型在短期和中期的預(yù)測效果非常好，要優(yōu)于Logistic模型，但是從預(yù)測值整個變動的趨勢上看，它的擬合值是呈現(xiàn)直線增長的方式并且長期發(fā)展下去，僅以單人口的因素進行推算而沒有考慮其他因素，這個是本模型的缺點，所以可以肯定地說灰色系統(tǒng)模型不適合人口長期發(fā)展的預(yù)測，其誤差也會隨著時間的推移而逐漸增大。

3.人口增長的長期預(yù)測――Leslie模型

Logistic模型能夠較好地反映短期人口增長的規(guī)律，但是限制的條件也很多，對長期的預(yù)測肯定不符合現(xiàn)實，因此本文引入第三個模型，Leslie模型進行人口增長的預(yù)測。