創(chuàng)設(shè)情境例題培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力

方開(kāi)娟

[摘 要] 中職數(shù)學(xué)以能力結(jié)構(gòu)為導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)內(nèi)容的基礎(chǔ)性、應(yīng)用性與發(fā)展性，重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程體驗(yàn)。以空間幾何體這一章節(jié)為例，創(chuàng)設(shè)情境例題，旨在研究如何培養(yǎng)中職學(xué)生數(shù)學(xué)建模、解模、釋模的能力，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí)。

[關(guān) 鍵 詞] 情境實(shí)例；建模、解模、釋模能力；數(shù)學(xué)應(yīng)用

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）29-0155-03

根據(jù)最新的《上海市中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，當(dāng)前中職數(shù)學(xué)課程的任務(wù)是讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，形成在未來(lái)生產(chǎn)生活中所必備的自覺(jué)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。因此，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，開(kāi)展建模、解模、釋模的教學(xué)活動(dòng)顯得尤為重要，它是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

所謂數(shù)學(xué)建模、解模、釋模的能力，就是把數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念和方法的理解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析各種數(shù)據(jù)，選擇和應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和工具解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，形成理性思維。建模能力，即從具體情境中篩選出與數(shù)學(xué)相關(guān)的有效信息，抽象概括成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；解模能力，即選擇解題策略，分析相關(guān)信息進(jìn)行提煉、加工，找出它們的數(shù)量關(guān)系，做出解題計(jì)劃，明確解題步驟，獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)果，從而解決實(shí)際問(wèn)題；釋模能力，即能在原情境中解釋解模結(jié)果的含義，對(duì)是否符合實(shí)際情境做出適用性判斷，在現(xiàn)實(shí)情境下對(duì)結(jié)果進(jìn)行闡釋以及拓展性探索。因此，數(shù)學(xué)的建模、解模、釋模能力與現(xiàn)實(shí)情境中的問(wèn)題具有如下關(guān)系圖[1]：

中職數(shù)學(xué)教學(xué)中有一章重要的內(nèi)容是空間幾何體，與以往教材相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)中這部分內(nèi)容無(wú)論在目標(biāo)的要求還是內(nèi)容的選擇上，都發(fā)生了很大的變化。依據(jù)最新的課程標(biāo)準(zhǔn)，空間幾何體是建立學(xué)生空間觀念和形成幾何直覺(jué)的重要載體，教學(xué)中應(yīng)該注重學(xué)生空間想象能力及識(shí)圖、畫(huà)圖、辨圖能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在實(shí)際生活中體會(huì)幾何現(xiàn)象的存在，并利用所學(xué)的幾何知識(shí)對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行解釋[2]。下面我就以空間幾何體這一章教學(xué)為例，創(chuàng)設(shè)情境實(shí)例數(shù)學(xué)新題，通過(guò)建模、解模、釋模進(jìn)行中職數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索。

一、情境實(shí)例題目源自生活，化枯燥為鮮活，使學(xué)生在快樂(lè)中學(xué)習(xí)

例1：上海迪士尼六大景區(qū)之一的“明日世界”，設(shè)計(jì)上采用大量弧線和穹頂造型，頗具科幻色彩，展現(xiàn)了高科技未來(lái)的無(wú)盡可能。其中“創(chuàng)極速光輪”項(xiàng)目，如圖所示，是全球迪士尼樂(lè)園中最刺激的過(guò)山車項(xiàng)目之一。請(qǐng)問(wèn)“創(chuàng)極速光輪”的一個(gè)車輪所形成的幾何體可以近似地看成是（ ）。

【建模】上海迪士尼中深受大家喜歡的“創(chuàng)極速光輪”的車輪，抽象成學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單空間幾何體，建立數(shù)學(xué)模型。情境實(shí)例數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體。

【解?！恳跃匦蔚囊贿吽谥本€為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，圓柱的上底面與下底面是全等的圓，圓柱的高與母線的長(zhǎng)相等。所以，“創(chuàng)極速光輪”的車輪所形成的幾何體就可以看成是上底面和下底面都與水平面垂直的圓柱，因此選B。

【釋?！繄A柱的上、下底面是全等的圓。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)題目的創(chuàng)設(shè)源于實(shí)際，服務(wù)于生活，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)，從生活中發(fā)現(xiàn)或提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)解題的著力點(diǎn)是觀察，“觀”即看，是數(shù)學(xué)閱讀，“察”即覺(jué)察，是明察秋毫，把題目的數(shù)學(xué)“鑰匙”找到，從而解決這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生在閱讀理解題目的過(guò)程中發(fā)展自學(xué)能力，獲取知識(shí)，有效地培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、思維能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用等方面的素養(yǎng)，培養(yǎng)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣并增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高審美情趣。

二、情境實(shí)例題目應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思維參與，激發(fā)探究性

例2：如圖所示，左邊是一款小蝴蝶配對(duì)盒玩具，右邊是一些幾何體的積木，將這些積木從形狀口中放入，培養(yǎng)兒童鍛煉精細(xì)動(dòng)作的技能。請(qǐng)問(wèn)下邊所給的幾何體積木中，總共有（ ）幾何體可以放入。

【建?！客婢叻e木就是一些簡(jiǎn)單幾何體，將這些積木抽象成學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單幾何體，建立直觀圖的數(shù)學(xué)模型。情境實(shí)例數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為直觀圖。

【解?！恳粋€(gè)物體，從直觀看上去的圖形，叫作直觀圖，學(xué)生需要認(rèn)識(shí)正方體、正三棱柱、圓柱等的直觀圖。右圖從左到右分別是圓柱、正方體、正方體、圓柱、五角星棱柱、正三棱柱的直觀圖，其中兩個(gè)圓柱放入左圖右上方圓形的形狀口中，兩個(gè)正方體放入左圖右下角正方形的形狀口中，五角星棱柱放入左圖左上方五角星的形狀口中，正三棱柱放入左圖左下方等邊三角形的形狀口中?？偣?個(gè)幾何體都可以放入相對(duì)應(yīng)的形狀口中，因此選D。

【釋模】生活中需要將某件物品放置到某個(gè)固定的位置或區(qū)域，數(shù)學(xué)理論就是認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖，考查學(xué)生的發(fā)散思維和解決問(wèn)題能力。

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置新穎的問(wèn)題情境來(lái)發(fā)現(xiàn)或檢測(cè)學(xué)生的創(chuàng)新思維的靈活性，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)隱藏在新穎的問(wèn)題情境中，要求學(xué)生充分挖掘其中的信息，揭示其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。

三、情境實(shí)例題目創(chuàng)設(shè)要得體，體現(xiàn)真實(shí)性，展示數(shù)學(xué)價(jià)值

例3：2016年6月16日，上海迪士尼在慶典主會(huì)場(chǎng)“奇幻童話城堡”前舉行盛大的開(kāi)幕典禮，如圖（1）所示，歡迎國(guó)內(nèi)外游客前來(lái)參觀游玩。隨后，某開(kāi)發(fā)商將“奇幻童話城堡”做成了旅游紀(jì)念品冰箱貼，供游客留作紀(jì)念，如圖（2）所示。請(qǐng)問(wèn)這款冰箱貼上的圖案是三視圖中的哪種視圖（ ）。

【建?！繉⑸钪谐Ｒ?jiàn)的建筑場(chǎng)景圖片與所學(xué)的視圖知識(shí)進(jìn)行對(duì)應(yīng)。情境實(shí)例數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為三視圖。

【解?！咳晥D一般能夠反映物體的真實(shí)形狀，而且能夠說(shuō)明各視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及投影規(guī)律，應(yīng)用非常廣泛。從物體正前方看過(guò)去，畫(huà)得的圖形叫做主視圖。本題中“奇幻童話城堡”所做成的冰箱貼圖案就是此城堡從正前方看過(guò)去所得到的主視圖。因此選A。

【釋模】主視圖可以從前方反映物體的某些特征。

【設(shè)計(jì)意圖】本題以考查學(xué)生的空間觀念為主要目標(biāo)，要求學(xué)生能夠熟練進(jìn)行三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化，有一定的邏輯思維能力，能夠?qū)o定的圖形性質(zhì)進(jìn)行反思，展現(xiàn)知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，為學(xué)生提供感受數(shù)學(xué)文化和體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得新知、培養(yǎng)能力、發(fā)展情感。

四、情境實(shí)例題目應(yīng)揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生樹(shù)立在生活中發(fā)現(xiàn)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)

例4：如圖所示是迪士尼世界商店，坐落于上海迪士尼小鎮(zhèn)，它的主體外形可以看成是由圓錐和圓柱構(gòu)成。測(cè)得商店的最高頂點(diǎn)到地面的垂直距離為15米，圓柱的底面半徑為12米，高為10米。

（1）畫(huà)出此商店的主視圖。

（2）求出此圓錐和圓柱的側(cè)面積（π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）。

（3）開(kāi)業(yè)之時(shí)，商店的圓錐形頂部外墻涂上了綠色的乳膠漆，圓柱形的外墻（除去窗子的部分）涂上了白色的乳膠漆，假設(shè)所有窗子的總面積為360平方米，外墻乳膠漆的規(guī)格為每桶5升，理論上每升乳膠漆可以涂10平方米外墻，那么至少需要購(gòu)買綠色的乳膠漆和白色的乳膠漆各幾桶？（結(jié)果取整數(shù)）

【建?！咳鐖D1，創(chuàng)建組合體的主視圖ABCDE，已知BC=2r=2×12=24米，AB=10米，E點(diǎn)到線段的CD距離為15米，求圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積。窗子的面積為10平方米，每桶乳膠漆5升，每升可以涂10平方米墻壁，求綠色和白色乳膠漆各需要幾桶。情境實(shí)例數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為求圓錐和圓柱的側(cè)面積以及相關(guān)的數(shù)學(xué)計(jì)算和應(yīng)用。

【釋?！可痰甑捻敳繄A錐側(cè)面積為490平方米，需要10桶綠色乳膠漆，圓柱側(cè)面積為754平方米，除去窗子的面積，需要白色乳膠漆8桶。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)貼近生活的問(wèn)題情境關(guān)注應(yīng)用，看學(xué)生能否靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題以及在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行反思，提出有建設(shè)性的思考，用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行交流合作。建模、解模、釋模讓學(xué)生見(jiàn)證數(shù)學(xué)怎樣走進(jìn)生活，又怎樣從生活實(shí)際中提煉出完整過(guò)程，把探索實(shí)踐的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，把知識(shí)的形成過(guò)程還給學(xué)生。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和方法來(lái)考察周圍事物的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的領(lǐng)悟能力和解決能力。

五、情境實(shí)例題目數(shù)據(jù)真實(shí)，以綜合培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力為主，讓學(xué)生提煉數(shù)學(xué)的思想方法

例5：如圖所示，是我們?cè)陲埖瓿燥垥r(shí)餐桌上常見(jiàn)的沙漏，用于計(jì)算上菜的時(shí)間。

（1）假設(shè)當(dāng)所有的細(xì)沙都在上半部分的容器內(nèi)時(shí)，此時(shí)細(xì)沙所形成的幾何體可以近似地看成是一個(gè) 。

（2）假設(shè)當(dāng)所有的細(xì)沙都在上半部分的容器內(nèi)時(shí)，測(cè)得細(xì)沙最上面的截面的最大跨度是5厘米，細(xì)沙的高是6厘米，請(qǐng)畫(huà)出如圖所示細(xì)沙都在上半部分容器時(shí)所形成的幾何體的主視圖，并且求出細(xì)沙所形成的幾何體的體積（π取3.14，精確到0.01）。

（3）假設(shè)這款沙漏中的細(xì)沙從上到下流動(dòng)的速度為0.02立方厘米/秒，飯店規(guī)定，每超時(shí)15分鐘就送給顧客一杯飲料，那么如果沙漏中的所有細(xì)沙從上半部分全部流到下半部分，飯店還沒(méi)有上菜，應(yīng)該送給顧客幾杯飲料呢？（結(jié)果取整數(shù)）

【建?！可陈┲械募?xì)沙在容器的上半部分時(shí)，形成的是一個(gè)倒置的圓錐，如下圖所示，在△ABC中，AB=5，h=6，細(xì)沙從上到下流動(dòng)的速度v=0.02立方厘米/秒，每超過(guò)15分鐘送一杯飲料。情境實(shí)例數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為求圓錐的體積，并根據(jù)體積和細(xì)沙的流速，分析應(yīng)該送幾杯飲料。

【解?！浚?）假設(shè)當(dāng)所有的細(xì)沙都在上半部分的容器內(nèi)時(shí)，此時(shí)細(xì)沙所形成的幾何體可以近似地看成是一個(gè)圓錐。

（2）如下圖所示為幾何體圓錐的主視圖。

【釋?！可陈┲屑?xì)沙所形成的幾何體是圓錐，整個(gè)體積大約為39.25立方厘米，如果所有細(xì)沙從上半部分全部流到下半部分，飯店服務(wù)人員還沒(méi)有上菜，按照每超時(shí)15分鐘就送一杯飲料的方案，則需要送2杯飲料。

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查學(xué)生是否能夠把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活情境中，是否能夠用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解釋、分析和推理，對(duì)解答的過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行交流、檢驗(yàn)和反思。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要與實(shí)踐相結(jié)合，利用與生活實(shí)際有關(guān)的具體情境，使學(xué)生體驗(yàn)由生活情境中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模、解模、釋模的思想方法，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3]。

建模、解模、釋模是從實(shí)際問(wèn)題情境開(kāi)始，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，最后回到實(shí)際問(wèn)題的螺旋式上升過(guò)程。如果我們把數(shù)學(xué)比喻成一艘船，那么船頭就是數(shù)學(xué)的源頭，是生活情境；數(shù)學(xué)解決就是船身，是知識(shí)方法；數(shù)學(xué)應(yīng)用就是船尾，其實(shí)船尾對(duì)船是很重要的，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，教師給學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)該是整艘船，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有生命力的，數(shù)學(xué)的教育是鮮活的。

在解決數(shù)學(xué)情境實(shí)例題目的過(guò)程中，通過(guò)體驗(yàn)、感受、探究、應(yīng)用等過(guò)程，提高數(shù)學(xué)建模、解模和釋模的能力，針對(duì)源于生活實(shí)際的情境，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)交流和合作的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容所蘊(yùn)涵的基本數(shù)學(xué)思想、方法，培養(yǎng)學(xué)生未來(lái)發(fā)展所需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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