非對稱三參數(shù)Weibull分布的統(tǒng)計分析及其應用

胡銀花 徐曉嶺

摘要：

在兩參數(shù)Weibull分布的基礎(chǔ)上，提出了一種取值于（-∞，+∞）上的非對稱三參數(shù)Weibull分布，研究了其密度函數(shù)的圖形特征，給出了該分布的數(shù)字特征，在全樣本場合下給出了參數(shù)的兩種矩估計和極大似然估計，并通過Monte-Carlo模擬考察了估計的精度.最后選取2016年1月4日至2016年5月6日上證綜指和深圳成指的數(shù)據(jù)，應用非對稱三參數(shù)Weibull分布對中國股市大盤進行實證分析，結(jié)果表明非對稱三參數(shù)Weibull分布模型能夠較好地擬合中國股市大盤的日收益率，同時還得到了相應參數(shù)的點估計.

關(guān)鍵詞：

非對稱三參數(shù)Weibull分布; 形狀參數(shù); 刻度參數(shù); 矩估計; 極大似然估計; 股指收益率; KS檢驗

中圖分類號： O 29文獻標志碼： A文章編號： 1000-5137（2018）01-0011-11

The statistical analysis and application of asymmetric

three-parameter weibull distribution

Hu Yinhua， Xu Xiaoling*

（School of Statistics and Information，Shanghai University of International Business and Economics，Shanghai 201620，China）

Abstract：

On the basis of two-parameter Weibull distribution，we propose asymmetric three-parameter Weibull distribution which takes values in （-∞，+∞），and study its graphic features of the density function as well as the numerical characteristics of this distribution. In the full sample cases，we offer two moment estimation methods and MLE method to estimate the parameters of the distribution，and study the accuracy of our estimation by using the Monte-Carlo simulation.We choose data of Shanghai Composite Index and Shenzhen Component Index from Jan.4th，2016 to May 6th，2016，and apply the asymmetric three-parameter Weibull distribution model to carry out the empirical analysis on these two market indices of China.We show that the asymmetric three-parameter Weibull distribution model fits well the daily return of Chinese stock market index，and also get the point estimation for relevant parameters at the same time.

Key words：

asymmetric three-parameter Weibull distribution; shape parameter; scale parameter; moment estimation; MLE; index return; KS test

收稿日期： 2017-06-14

基金項目： 國家自然科學基金（11671264）

作者簡介： 胡銀花（1992-），女，碩士研究生，主要從事數(shù)理金融統(tǒng)計方面的研究.E-mail：huyinhua_betty@163.com

*通信作者： 徐曉嶺（1965-），男，教授，主要從事應用統(tǒng)計方面的研究.E-mail：xlxu@suibe.edu.cn

引用格式： 胡銀花，徐曉嶺.非對稱三參數(shù)Weibull分布的統(tǒng)計分析及其應用 [J].上海師范大學學報（自然科學版），2018，47（1）：11-21.

Citation format： Hu Y H，Xu X L.The statistical analysis and application of asymmetric three-parameter weibull distribution [J].Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences），2018，47（1）：11-21.

0引言

兩參數(shù)Weibull分布最早是由瑞典科學家、工程師威布爾于1939年在對材料斷裂強度進行概率特性的描述時提出的，由于Weibull分布具備良好的性質(zhì)，它已經(jīng)和正態(tài)分布、指數(shù)分布和t分布等常用分布一樣，成為現(xiàn)代統(tǒng)計領(lǐng)域應用最多的統(tǒng)計分布之一，并廣泛地應用于產(chǎn)品可靠性、金融和保險等領(lǐng)域.但是隨著科技發(fā)展和數(shù)據(jù)類型的豐富，經(jīng)典的Weibull分布不能很好地擬合非單調(diào)風險率模型.鑒于此，有學者在Weibull分布的基礎(chǔ)上進行了一系列拓展分析，例如2000年，Sornette在文獻[1]中通過正態(tài)分布導出了一種修正的Weibull分布，并在文獻[2]中詳細地研究了該修正的Weibull分布的性質(zhì)，同時也指出了其在金融領(lǐng)域中的應用.

股票投資已成為人們投資的重要渠道之一，而收益率和波動率是股票投資的兩個重要衡量標準，研究收益率的分布特征是當今學界的熱點.通常人們認為股指收益率的分布服從“尖峰、厚尾、非正態(tài)”，但具體服從哪一種或者哪幾種分布，學界尚無統(tǒng)一定論.1962年，Mandelbrot在文獻[3]中對包含“異常值” 的經(jīng)驗數(shù)據(jù)集進行了研究，提出穩(wěn)定Paretian 分布模型，即股市收益率服從特征指數(shù)小于2的Paretian分布，并證明正態(tài)分布只是該模型的一個特例.2001年Therse在文獻[4]中，通過對極端股價運動的分析，發(fā)現(xiàn)極值收益率服從Gumbel分布.2008年Chen在文獻[5]中引進了半?yún)?shù)混合數(shù)據(jù)回歸模型，研究結(jié)果表明，市場消息和行業(yè)消息交互影響收益率的波動.2005年盧方元在文獻[6]中把修正Weibull分布模型應用于中國股市，上證綜指和深圳成指的日收益率均能被較好地刻畫.2004年，余衛(wèi)軍和張新生在文獻[7]中提出了一種類似Weibull分布的函數(shù)并用來擬合上證指數(shù)收益率分布.2010年徐曉嶺等在文獻[8]中對上海股票市場進行分析，采用幾種方法對股指對數(shù)收益率進行正態(tài)分布檢驗，發(fā)現(xiàn)收益率更接近于一種混合正態(tài)分布.2012年曾五一和劉飛在文獻[9]中，應用非對稱拉普拉斯分布擬合滬深兩市股指日和周收益率數(shù)據(jù)，其研究結(jié)果表明：非對稱拉普拉斯分布能夠比正態(tài)分布更好地反映兩市股指的日、周收益率數(shù)據(jù)的尖峰、厚尾和偏態(tài)特征.2015年童光榮和李思維在文獻[10]中用P范分布對上證指數(shù)的日收益率進行擬合.擬合結(jié)果表明P范分布能夠較好地刻畫收益率分布，為股市風險度提供了新的數(shù)據(jù)描述方法.

本文作者在兩參數(shù)Weibull分布的基礎(chǔ)上，提出了一種取值于（-∞，+∞）上的非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），研究其密度函數(shù)的圖形特征，給出該分布的數(shù)字特征，在全樣本場合下給出了參數(shù)的兩種矩估計和極大似然估計，通過Monte-Carlo模擬考察了估計的精度，認為針對參數(shù)m，β2，推薦使用極大似然估計，而針對β1推薦使用第二種矩估計，結(jié)果比較精確.并選取2016年1月4日至2016年5月6日上證綜指和深圳成指的數(shù)據(jù)，應用非對稱三參數(shù)Weibull分布對中國股市大盤進行實證分析，結(jié)果表明非對稱三參數(shù)Weibull分布模型能夠較好地擬合中國股市大盤日收益率，同時還得到了相應參數(shù)的點估計.

1非對稱三參數(shù)Weibull分布及其特征

通常兩參數(shù)Weibull分布針對的是非負連續(xù)型隨機變量，如果將其延拓至（-∞，+∞），則稱之為非對稱三參數(shù)Weibull分布.

定義1

設連續(xù)型隨機變量X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布，記為X～AW（β1，β2，m），其密度函數(shù)f（x）與分布函數(shù)F（x）分別為：

f（x）=

m（-x）m-1βm1+βm2e--xβ1m，x<0

mxm-1βm1+βm2e-xβ2m，x≥0

，F(xiàn)（x）=

βm1βm1+βm2exp--xβ1m，x<0

1-βm2βm1+βm2exp-xβ2m，x≥0

.

其中：m>0，為形狀參數(shù);β1>0，為第一刻度參數(shù);β2>0，為第二刻度參數(shù).

定理1

設連續(xù)型隨機變量X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布，即X～AW（β1，β2，m），則：

1） 當m≤1時，f（x）在x<0上嚴格單調(diào)增加，在x>0上嚴格單調(diào)下降;

2） 當m>1時，若x<-β1m-1m1/m時，f（x）嚴格單調(diào)增加;若-β1m-1m1/mβ2m-1m1/m時，f（x）嚴格單調(diào)下降.

證明

易見limx→-∞f（x）=limx→+∞f（x）=0，limx→0f（x）=+∞，m<1

1β1+β2，m=1

0，m>1，

f′（x）=

mβm1+βm2（-x）m-2exp--xβ1m1-m+m-xβ1m，x<0

mβm1+βm2xm-2exp-xβ1mm-1-mxβ2m，x≥0

.

在x<0場合，當m≤1時，f′（x）>0，則f（x）嚴格單調(diào)增加;當m>1時，若x<-β1m-1m1/m時，f′（x）>0，則f（x）嚴格單調(diào)增加;而若-β1m-1m1/m

在x>0場合，當m≤1時，f′（x）<0，則f（x）嚴格單調(diào)下降;當m>1時，若00，則f（x）嚴格單調(diào)增加;若x>β2m-1m1/m時，f′（x）<0，則f（x）嚴格單調(diào)下降.

定理2

設連續(xù)型隨機變量X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布，即X～AW（β1，β2，m），則：

1） E（Xk）=βm+k2+（-1）kβm+k1βm2+βm1Γ1+km，k=1，2，…;

2） 記Y=X，對y≥0有：

FY（y）=1-βm2βm1+βm2exp-yβ2m-βm1βm1+βm2exp-yβ1m，

fY（y）=mym-1βm1+βm2exp-yβ2m+mym-1βm1+βm2exp-yβ1m，

E（Xk）=βm+k2+βm+k1βm2+βm1Γ1+km，k=1，2，….

證明

1） 對k=1，2，…，有：

E（Xk）=∫0-∞xkm（-x）m-1βm1+βm2exp--xβ1mdx+∫+∞0xkmxm-1βm1+βm2exp-xβ2mdx

=（-1）kβm+k1βm1+βm2Γ1+km+βm+k2βm1+βm2Γ1+km=βm+k2+（-1）kβm+k1βm2+βm1Γ1+km.

2）記Y=X，對y≥0，

FY（y）=P（X≤y）=F（y）-F（-y）=1-βm2βm1+βm2exp-yβ2m-βm1βm1+βm2exp-yβ1m.

fY（y）=mym-1βm1+βm2exp-yβ2m+mym-1βm1+βm2exp-yβ1m.

E（Xk）=∫+∞0ykmym-1βm1+βm2exp-yβ2mdy+∫+∞0ykmym-1βm1+βm2exp-yβ1mdy

=βm+k2+βm+k1βm1+βm2Γ1+km.

特別地，

E（X）=βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m，E（X）=βm+12+βm+11βm2+βm1Γ1+1m，

E（X2）=E（X2）=βm+22+βm+21βm2+βm1Γ1+2m，

E（X3）=βm+32-βm+31βm2+βm1Γ1+3m，E（X3）=βm+32+βm+31βm2+βm1Γ1+3m.

2非對稱三參數(shù)Weibull分布參數(shù)的點估計

2.1參數(shù)的矩估計（方法一）

設X1，X2，…，Xn是來自總體X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m）的一個容量為n的簡單隨機樣本，其對應的樣本觀察值為x1，x2，…，xn.

記X—=1n∑ni=1Xi，X2=1n∑ni=1X2i，X3=1n∑ni=1X3i，X=1n∑ni=1Xi|，X3=1n∑ni=1Xi3，由矩估計思想可建立如下3個方程：

βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X—，

βm+22+βm+21βm2+βm1Γ1+2m=X2，

βm+32-βm+31βm2+βm1Γ1+3m=X3，

上述涉及到一個三元的超越方程組，求其根是相當困難的.

考慮到X的一階絕對矩，結(jié)合X的一階、二階矩，可建立如下3個方程：

βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X—，βm+12+βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X，βm+22+βm+21βm2+βm1Γ1+2m=X2，

記a=β2/β1，則上述方程變形為：

am+1-1am+1β1Γ1+1m=X—，am+1+1am+1β1Γ1+1m=X，am+2+1am+1β21Γ1+2m=X2，

化簡得：

am+1-1am+1+1=X，am+1=X+X—X-X—，

（am+1-1）2（am+1）（am+2+1）Γ1+1m2Γ1+2m=X—2X2，Γ1+1m2Γ1+2m=X—2X2（am+1）（am+2+1）（am+1-1）2，

則

Γ1+1m2Γ1+2m-X—2X2X+X—X-X—m/（m+1）+1X+X—X-X—（m+2）/（m+1）+1X+X—X-X—-12=0，（1）

方程（1）為僅含形狀參數(shù)m的超越方程，從中可解得參數(shù)m的矩估計m^1，進而得a的點估計為：a^1=X+X—X-X—1/（m^1+1），由此可得兩個刻度參數(shù)β1，β2的矩估計如下：

β^11=a^m^11+1a^m^1+11-1Γ1+1m^1-1X—=X-X—2（a^m^11+1）Γ1+1m^1-1，

β^21=X-X—2a^1（a^m^11+1）Γ1+1m^1-1.

下面討論方程（1）是否有唯一正根.

引理1

[10-11]Γ-函數(shù)具有如下性質(zhì)：

1） πΓ（2s）=22s-1Γ（s）Γs+12，s>0;

2） 當s>τ0時，Γ（1+s）嚴格單調(diào)增加;當s<τ0時，Γ（s）嚴格單調(diào)下降.其中τ0=0.4616321…;

3） [Γ（1+x）]2Γ（1+2x）是x的嚴格單調(diào)減函數(shù).

引理2

方程（1）左邊為參數(shù)m>0的函數(shù)，記為g1（m），則：

limm→+∞g1（m）=1-X2X2，limm→0+g1（m）=-X2+X—2X2.

證明

易得：

limm→+∞g1（m）=[Γ（1）]2Γ（1）-X—2X2X+X—X-X—+1X+X—X-X—+1X+X—X-X—-12=1-X2X2，

而

limm→0+X—2X2X+X—X-X—m/（m+1）+1X+X—X-X—（m+2）/（m+1）+1X+X—X-X—-12=X2+X—2X2.

由引理1可知：Γ1+1m2Γ1+2m=1m2Γ1m22mΓ2m=12mΓ1m21π22/m-1Γ1mΓ1m+12=π41/mm·Γ1mΓ1m+12，而當m很小時，Γ1m是m的減函數(shù)，進而有Γ1mΓ1m+12<1，由此Γ1+1m2Γ1+2m<π41/mm，而limm→0+π41/mm=πl(wèi)imx→+∞x4x=0，于是limm→0+g1（m）=-X2+X—2X2.

下面通過Monte-Carlo模擬考察函數(shù)g1（m）的單調(diào)性.

例1

給定樣本容量n=50，參數(shù)真值取為m=1，β1=1，β2=2，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生50個服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），其隨機數(shù)如下：

-1.63，-1.50，-1.37，-1.09，-1.01，-0.95，-0.86，-0.74，-0.66，-0.63，

-0.58，-0.44，-0.27，-0.19，-0.12，-0.07，-0.03，0.046，0.110，0.110，0.169，0.190，

0.210，0.440，0.545，0.610，0.840，0.860，0.870，0.930，0.930，1.129，1.190，1.210，1.330，1.390，

1.460，1.720，2.070，2.440，2.890，3.110，3.350，4.000，4.200，7.310，7.840，8.000，8.580，11.80.

易見x—=1.395，x—2=9.909，x=1.880，及l(fā)imm→0+g1（m）=-0.5527，limm→+∞g1（m）=0.6435，函數(shù)g1（m）的圖像如圖1所示，從中可以發(fā)現(xiàn)g1（m）是嚴格單調(diào)增函數(shù)，進而方程g1（m）=0有唯一正實根，其根即為m的矩估計：m^=0.8300，于是可得參數(shù)β1，β2的矩估計分別為：β^11=0.7415，β^21=2.106.

圖1例1中函數(shù)g1（m）的圖像

注：針對不同的參數(shù)值與樣本容量，模擬產(chǎn)生服從非對稱三參數(shù)Weibull分布的隨機數(shù)，通過作圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)g1（m）是m的嚴格單調(diào)增函數(shù)，且方程（1）有唯一正實根.

2.2參數(shù)的矩估計（方法二）

設X1，X2，…，Xn是來自總體X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m）的一個容量為n的簡單隨機樣本，其對應的樣本觀察值為x1，x2，…，xn.如考慮X的一階矩與絕對矩、X的三階矩與絕對矩，則可以建立如下矩方程組：

βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X—

βm+12+βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X

，

βm+32-βm+31βm2+βm1Γ1+3m=X3

βm+32+βm+31βm2+βm1Γ1+3m=X3

，

將上述方程組變形為：am+1-1am+1β1Γ1+1m=X—

am+1+1am+1β1Γ1+1m=X，am+3-1am+1β31Γ1+3m=X3

am+3+1am+1β31Γ1+3m=X3，

化簡得：

am+1-1am+1+1=X—X，am+1=X+X—X-X—，

am+3-1am+3+1=X3X3，am+3=X3+X3X3-X3，

由此得到a的點估計：a^2=X3+X3X3-X3X-X—X+X—，進而得參數(shù)m，β1，β2的點估計：

m^2=（lna^2）-1lnX+X—X-X—-1，

β^12=a^m^22+1a^m^2+12-1Γ1+1m^2-1X—，β^22=a^2a^m^22+1a^m^2+12-1Γ1+1m^2-1X—.

需要指出的是，由于形狀參數(shù)m>0，方法二所得到的點估計m^2從理論上講不能保證m^2>0，為此取樣本容量n=10，20，50，參數(shù)m，β1，β2分別取不同的真值，通過10 000次Monte-Carlo模擬，統(tǒng)計其滿足m^2>0的次數(shù)，結(jié)果如表1所示.

表1矩估計二隨機數(shù)模擬檢驗結(jié)果

由表1可以看到，方法二得到的m估計m^2，當形狀參數(shù)m較小時，m^2很有可能小于0，也就是說方法二是不可行的;而當m較大時，m^2大于0的可能性增大，此時方法二是可行的.

例2

給定樣本容量n=50，參數(shù)真值取為m=2，β1=1，β2=2，通過Monte-Carlo模擬再產(chǎn)生50個服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），其隨機數(shù)如下：

-1.61，-1.52，-1.37，-1.23，-1.02，-0.83，-0.69，-0.47，-0.43，0.375，

0.040，0.049，0.690，0.755，0.822，0.876，0.963，0.994，1.180，1.182，

1.248，1.298，1.399，1.500，1.560，1.584，1.603，1.638，1.725，1.739，

1.739，1.779，1.921，2.002，2.021，2.072，2.122，2.135，2.300，2.363，

2.399，2.905，3.035，3.136，3.262，3.267，3.752，3.812，3.977，4.196.

易得：x—=1.365，x3=10.59，x=1.732，x3=11.16，進而可得：

m^=1.831，β^12=1.027，β^22=2.181.

2.3參數(shù)的極大似然估計（方法三）

設X1，X2，…，Xn是來自總體X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m）的一個容量為n的簡單隨機樣本，其對應的樣本觀察值為x1，x2，…，xn.次序統(tǒng)計量記為X（1），X（2），…，X（n），對應的次序觀察值記為x（1），x（2），…，x（n）.而在x（1），x（2），…，x（n）中前r個次序觀察值小于0，后n-r個不小于0.

似然函數(shù)為：

L（β1，β2，m）=n！∏ri=1mβm1+βm2（-x（i））m-1exp--x（i）β1m∏nj=r+1mβm1+βm2xm-1（j）exp-x（j）β2m

=n！mn（βm1+βm2）-n∏ri=1（-x（i））m-1exp--x（i）β1m∏nj=r+1xm-1（j）exp-x（j）β2m

對數(shù)似然函數(shù)：

lnL（β1，β2，m）=lnn！+nlnm-nln（βm1+βm2）+（m-1）∑ri=1ln（-x（i））

+（m-1）∑nj=r+1lnx（j）-∑ri=1-x（i）β1m-∑nj=r+1x（j）β2m.

令lnL（β1，β2，m）β1=0，lnL（β1，β2，m）β2=0，lnL（β1，β2，m）m=0，得3個方程：

-nmβm-11βm1+βm2+mβm+11∑ri=1（-x（i））m=0，-nmβm-12βm1+βm2+mβm+12∑nj=r+1xm（j）=0，

nm-nβm1lnβ1+βm2lnβ2βm1+βm2+∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）-∑ri=1-x（i）β1mln-x（i）β1

-∑nj=r+1x（j）β2mlnx（j）β2=0.

則有：

a2m=∑nj=r+1xm（j）∑ri=1（-x（i））m，nβm1=∑ri=1（-x（i））m+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j），

同理

nβm2=∑nj=r+1xm（j）+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j），

則：

nm-nβm1lnβ1+βm2lnβ2βm1+βm2+∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）

+1nβm1∑ri=1（-x（i））mln（-x（i））+1nβm2∑nj=r+1xm（j）lnx（j）-1m=1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j），

即

∑ri=1（-x（i））mln（-x（i））∑ri=1（-x（i））m+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）+∑nj=r+1xm（j）lnx（j）∑nj=r+1xm（j）+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）-1m

-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）=0.

（2）

方程（2）是僅含參數(shù)m的超越方程，從中可以解得參數(shù)m極大似然估計m^3，進而有：

β^13=1n∑ri=1（-x（i））m^3+∑ri=1（-x（i））m^3∑nj=r+1xm^3（j）1/m^3，

β^23=1n∑nj=r+1xm^3（j）+∑ri=1（-x（i））m^3∑nj=r+1xm^3（j）1/m^3.

引理3

方程（2）存在正實根.

證明

方程（2）的左邊為參數(shù)m>0的函數(shù)，記為g2（m）.

不妨設x（1）

易見

limm→0+∑ri=1（-x（i））mln（-x（i））∑ri=1（-x（i））m+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）+∑nj=r+1xm（j）lnx（j）∑nj=r+1xm（j）+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）

=1r+r（n-r）∑ri=1ln（-x（i））+1n-r+r（n-r）∑nj=r+1lnx（j），

則

limm→0+g2（m）=-∞，

limm→+∞g2（m）=∑ri=1（-x（i））m（-x（1））mln（-x（i））∑ri=1（-x（i））m（-x（1））m+∑ri=1（-x（i））m（-x（1））m∑nj=r+1xm（j）（-x（1））m

+∑nj=r+1xm（j）xm（n）lnx（j）∑nj=r+1xm（j）xm（n）+∑ri=1（-x（i））mxm（n）∑nj=r+1xm（j）xm（n）-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）.

若x（n）>-x（1），則

limm→+∞g2（m）=lnx（n）-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）

=1n∑ri=1[lnx（n）-ln（-x（i））]+∑nj=r+1[lnx（n）-lnx（j）]>0，

若x（n）<-x（1），則

limm→+∞g2（m）=ln（-x（1））-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）

=1n∑ri=1[ln（-x（1））-ln（-x（i））]+∑nj=r+1[ln（-x（1））-lnx（j）]>0.

由此可知方程（2）存在正實根.

下面通過Monte-Carlo模擬算例說明方程（2）存在唯一正實根.

例3

給定樣本容量n=20，參數(shù)真值取為m=1，β1=1，β2=2，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生20個服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），其隨機數(shù)從小到大排序如下：

-3.74，-1.66，-0.78，-0.69，-0.30，0.172，0.176，0.560，0.642，0.674，

0.753，1.069，2.306，2.465，2.793，2.833，3.058，3.479，3.932，5.358.

由于r=5，x（20）>-x（1），1n[∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）]=0.2025，而limm→0g2（x）=-∞，limm→+∞g2（x）=1.473，函數(shù)g（m）的圖像如圖2所示，從中可得g2（m）為嚴格單調(diào)增函數(shù)，進而方程g2（m）=0有唯一正實根，其根即為m的極大似然估計m^=1.220，于是可得參數(shù)β1，β2的極大似然估計為：β^13=1.254，β^23=2.328.

圖2例3中函數(shù)g2（m）圖像

注：針對不同的參數(shù)值與樣本容量，模擬產(chǎn)生服從非對稱三參數(shù)Weibull分布的隨機數(shù)，通過作圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)g2（m）是m的嚴格單調(diào)增函數(shù)，而且方程（2）有唯一正實根.

2.4參數(shù)估計的模擬比較

給定樣本容量n=20，25，參數(shù)真值取為m=1，β1=1，β2=1，通過1 000次Monte-Carlo模擬，用方法一、二、三得到相應的點估計的均值與均方誤差（方法二的估計存在的情形下），結(jié)果如表2所示，從中可以看到：隨著所取樣本容量的增加，參數(shù)m，β1，β2估計的均方誤差呈下降趨勢，也即參數(shù)的估計越來越精確，在給定樣本容量下通過比較點估計的均方誤差，形狀參數(shù)m的點估計推薦使用方法三，第一刻度參數(shù)β1的點估計推薦使用方法二，而第二刻度參數(shù)β2的點估計推薦使用方法三.

表23種點估計的模擬比較

3應用（股指收益率的實證分析）

3.1數(shù)據(jù)描述及參數(shù)估計

選取的數(shù)據(jù)來自同花順軟件公布的2016年1月4日至5月6日的上證綜合指數(shù)和深圳成份指數(shù)，擬合的是日收益率，收益率采用的是對數(shù)收益率即ri=lnPi-lnPi-1，其中，ri為股指收益率，Pi為當日股票的收盤價，pi-1為前一天股票的收盤價.

3.1.1上證綜合指數(shù)參數(shù)估計（方法二的點估計不存在）

點估計方法一：由于x=0.015439，x—=-0.002345，x—2=0.000504，可解得形狀參數(shù)m的點估計為：m^1=0.95，進而得參數(shù)β1，β2的點估計為：β^11=0.0162，β^12=0.014.

點估計方法三：采用極大似然估計得到的參數(shù)m的估計為：m^3=0.66，進而得到參數(shù)β1，β2的估計為：β^13=0.016，β^23=0.007.

3.1.2深圳成分指數(shù)參數(shù)估計（方法二的點估計不存在）

點估計方法一：由于x=0.019706，x—=-0.00273，x—2=0.000758，可解得形狀參數(shù)m的點估計為：m^1=1.03，進而得參數(shù)β1，β2的點估計為：β^11=0.0212，β^12=0.0185.

點估計方法三：采用極大似然估計得到的參數(shù)m的估計為：m^3=1.05，進而得到參數(shù)β1，β2的估計為：β^13=0.021，β^23=0.019.

3.2擬合檢驗

采用柯爾莫哥洛夫—斯米爾洛夫擬合檢驗，分別對上證綜指和深圳成指的非對稱三參數(shù)Weibull分布模型進行擬合檢驗（參數(shù)估計采用方法三，即極大似然估計），針對上證指數(shù)，檢驗的p值為0.2388，而針對深圳成指，檢驗的p值為0.1183，檢驗的p值均大于0.05，即說明非對稱三參數(shù)Weibull分別模型能夠較好地擬合2016年1月4日至2016年5月6日上證綜指的深圳成指收益率的分布.

參考文獻：

[1]Sornette D，Simonetti P，Andersen J V.φ q-field theory for portfolio optimization：″fat tails″ and nonlinear correlations [J].Physics Reports，2000，335（2）：19-92.

[2]Malevergne Y，Sornette D.Value-at-Risk-efficient portfolios for a class of super-and sub-exponentially decaying assets return distributions [J].Quantitative Finance，2006，4（1）：17-36.

[3]Mandelbrot B.The stable paretian income distribution when the apparent exponent is near two [J].International Economic Review，1962，4（1）：111-115.

[4]Therse P.Using extreme value theory to value stock market returns [D].Miami：Florida International University，2001.

[5]Chen X.The semi-parametric MIDAS models and some of their applications：The impact of news on the stock volatility [D].North Carolina：University of North Carolina，2008.

[6]Lu F Y.Research for distribution characteristics of stock market returns in China [J].Chinese Journal of Management Science，2004，12（6）：18-22.

[7]Yu W J，Zhang X S.The distribution fitting for Shanghai composite index return [J].Journal of Quantitative Economics，2004，21（1）：56-63.

[8]Xu X L，Yu S，Gu B Q.Distribution research for Shanghai stock market returns [J].Mathematical Theory and Applications，2010（3）：28-31.

[9]Zeng W Y，Liu F.Empirical analysis for asymmetric Laplace distribution on Chinese stock index return [J].Statistics & Information Forum.2012，27（12）：27-31.

[10]Tong G R，Li S W.Empirical analysis for skewness P-norm distribution dipicting stock index return [J].Statistics and Decision，2015（8）：167-169.

[11]Wang Z X，Guo D R.Introduction to special function [M].Beijing：Beijing University Press，2000.

[12]Xu X L，Wang R H，F(xiàn)ei H L.Several characters of Γ-function [J].Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciencs），2000，29（2）：17-23

[13]Zhao Y R，Zhang Y H.The statistical characteristic and correlation analysis for stock market return in domestic and international [J].Modern Business Trade Industry，2015（3）：92-93.

[14]Guo X P.Comparative study of models of distribution and variability of Chinese Stock index return [D].Chengdu：Southwestern University of Finance and Economics，2007.

[15]Zhang X T.Study of stock market′s expected return [D].Shengyang：Shengyang University of Technology，2015.