小學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理的教育價(jià)值及其內(nèi)涵剖析

閆龍敏

[摘要]縱觀當(dāng)今的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，不少數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練活動(dòng)淺嘗輒止，因忽視“學(xué)生合情推理能力的發(fā)展”而缺乏推理教學(xué)的可操作性?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出了發(fā)展合情推理能力的培養(yǎng)目標(biāo)，但在實(shí)際教學(xué)中，合情推理卻是小學(xué)數(shù)學(xué)的“瓶頸”，合情推理能力的滯緩發(fā)展有礙于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的全面提高。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)深度解讀合情推理的內(nèi)涵，明晰合情推理的教育價(jià)值，以學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)為依托、以合情推理過(guò)程為抓手、以類比和不完全歸納推理為手段，深度啟發(fā)學(xué)生的推理思維，使合情推理站在小學(xué)數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的“隊(duì)列”中。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)生； 數(shù)學(xué)能力； 合情推理

[中圖分類號(hào)] G420[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)]1005-5843（2018）04-0075-05

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201804015新一輪數(shù)學(xué)課程改革將合情推理作為培養(yǎng)目標(biāo)呈現(xiàn)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中?！稑?biāo)準(zhǔn)》中指出， “在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果”?！巴评砟芰κ菙?shù)學(xué)的基本思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理”[1]。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師，尤其是大部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師，他們對(duì)合情推理的涵義一無(wú)所知，雖然有些教師知道合情推理，也將合情推理寫(xiě)在教學(xué)目標(biāo)中，但這種認(rèn)識(shí)僅限于概念的淺層認(rèn)識(shí)和蜻蜓點(diǎn)水式的課堂提問(wèn)。因此，看似結(jié)構(gòu)完整、條理清晰的目標(biāo)設(shè)定和實(shí)施過(guò)程，由于缺乏對(duì)合情推理本身的準(zhǔn)確把握和恰當(dāng)執(zhí)行，致使學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果呈現(xiàn)出令人擔(dān)憂的局面，發(fā)展合情推理能力的教學(xué)目標(biāo)流于形式。在大力發(fā)展學(xué)生各項(xiàng)數(shù)學(xué)技能時(shí)期，《標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出的合情推理卻被擱置，究其原因，離不開(kāi)人們對(duì)數(shù)學(xué)推理本身認(rèn)識(shí)的規(guī)限性。嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性一直以來(lái)都是數(shù)學(xué)教育的主旋律。從概念表面分析，“合情”與數(shù)學(xué)一貫秉承的嚴(yán)密性相悖，因此，“合情推理”一詞的問(wèn)世受到教育研究者的否定。他們認(rèn)為，合情推理只是各種數(shù)學(xué)推理的大雜燴，本身沒(méi)有現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育意義。然而，不容忽視的是合情推理是響當(dāng)當(dāng)?shù)乇涣腥胄乱惠啍?shù)學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)的，必然有其重要的教育價(jià)值。

數(shù)學(xué)合情推理之所以能被納入《標(biāo)準(zhǔn)》中，意在糾正過(guò)去數(shù)學(xué)推理一貫只重視嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性的局面。一直以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯性被僵化或虛化，小學(xué)生自身的認(rèn)知能力不強(qiáng)，發(fā)展較強(qiáng)邏輯性的論證推理知識(shí)得不到內(nèi)化，對(duì)嚴(yán)密邏輯性的推理只是浮于表面的記憶?？v觀各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)或教輔書(shū)的教學(xué)目標(biāo)，都是將合情推理能力作為小學(xué)生主要發(fā)展的數(shù)學(xué)思維能力，而演繹推理則是更高學(xué)段的主要教學(xué)目標(biāo)。本文擬針對(duì)研究者對(duì)合情推理含義的誤解和教育價(jià)值的不確定性，分析合情推理的內(nèi)涵、教育價(jià)值，以及合情推理的推理過(guò)程。

一、合情推理的內(nèi)涵

（一）合情推理的“前世今生”

20世紀(jì)80年代初，美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家G·波利亞撰寫(xiě)的“Mathematics and Plausible Reasoning”的譯本——《數(shù)學(xué)與猜想》面世。其中，第一卷“Induction and Analogy in Mathematics”被譯為“數(shù)學(xué)中的歸納和類比推理”；第二卷“Patterns of Plausible Inference”被譯為“合情推理模式”。也有譯本將 “Mathematics and Plausible Reasoning”譯為“數(shù)學(xué)與似真推理”，將第二卷譯為“似真推理的模式”[2]，但這種譯法并沒(méi)有被流傳下來(lái)。至此，“合情推理”一詞在我國(guó)開(kāi)始流傳，但波利亞并沒(méi)有明確地界定合情推理的涵義，僅將歸納推理和類比推理作為合情推理的方法進(jìn)行了分析[3]。

隨著國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)合情推理研究的深入，合情推理的概念、模式都得到了細(xì)化的解析。為了能夠幫助數(shù)學(xué)教師找到以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力的抓手，研究者將推理類型進(jìn)一步細(xì)分。因此，具有嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性的演繹推理、完全歸納推理被小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)拒之門外，邏輯性較為松散的類比推理和不完全歸納推理得到了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的熱烈歡迎，而后又將后者靈活地整合為合情推理?！稑?biāo)準(zhǔn)》中對(duì)合情推理進(jìn)行了界定：從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等思維方式猜測(cè)或推斷出某些結(jié)果的過(guò)程。

（二）“合情”與“合理”

多數(shù)研究者之所以否定合情推理，主要是由于合情推理概念的含糊性，認(rèn)為合情推理不具有合理性，即合情推理只是符合感性認(rèn)識(shí)的“差不多”或者“可能”的合乎規(guī)范。

合情推理的過(guò)程必定是合理的。從建構(gòu)主義的角度來(lái)看，合情推理的過(guò)程是學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)儲(chǔ)備，在認(rèn)知觀念的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)重構(gòu)或者推出新知識(shí)的過(guò)程，是建構(gòu)活動(dòng)的產(chǎn)物，從而都有其一定的合理性。從合情推理的概念可以看出，學(xué)生已有的事實(shí)確定為正確，歸納就是根據(jù)一類事物的部分對(duì)象所具有的某種性質(zhì)，得出這類事物所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理；類比就是由一類事物所具有的某種屬性，推測(cè)出與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性。類比和歸納的過(guò)程都是有既定學(xué)生的已存知識(shí)依據(jù)的。因此，合情推理的過(guò)程根據(jù)已有事實(shí)來(lái)進(jìn)行是合理的。依據(jù)類比和歸納猜想出結(jié)論，主要基礎(chǔ)就是已有的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，因此合情推理的過(guò)程是合理的。合情推理的結(jié)論是或然的，不是絕對(duì)正確的，這與合情推理的合理性表面看起來(lái)存在矛盾，實(shí)則不然。在波利亞對(duì)合情推理的闡述中，將得出命題的“真”與“假”改為“可靠”，就是說(shuō)經(jīng)過(guò)合情推理得出的結(jié)論是可靠的、可信的。不一定為真只是在歸納的過(guò)程中還未出現(xiàn)反例或者在類比的過(guò)程中還沒(méi)有出現(xiàn)屬性的不同個(gè)例，但是推理的過(guò)程是合理的。因此，綜合合情推理過(guò)程和結(jié)果分析，合情推理是合理的。

（三）“合情”與“邏輯”

從字面上來(lái)看，合情推理中的“合情”總帶著感性的色彩，與數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性相悖。因此，很多學(xué)者就會(huì)對(duì)合情推理的數(shù)學(xué)邏輯性產(chǎn)生質(zhì)疑，認(rèn)為合情推理的邏輯性不強(qiáng)，不能稱其為數(shù)學(xué)推理，合情推理只是一些推理的大雜燴。筆者認(rèn)為，這種說(shuō)法有失偏頗，沒(méi)有真正地認(rèn)識(shí)合情推理。

其實(shí)，合情推理是有邏輯可循的，但不是完全具有邏輯性的。在整個(gè)科學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)學(xué)是邏輯性最強(qiáng)的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)與邏輯總是密不可分地一同發(fā)展。當(dāng)然，數(shù)學(xué)與邏輯結(jié)合的程度并不總是一樣的，有時(shí)十分緊密，有時(shí)相對(duì)松散，合情推理與邏輯結(jié)合的程度則是相對(duì)的松散[4]。合情推理培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想的能力，而邏輯思維對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)提供必要的啟示和引導(dǎo)，在一定意義上成為數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。具體來(lái)說(shuō)，合情推理的過(guò)程不是完全憑借經(jīng)驗(yàn)或者直覺(jué)進(jìn)行的推理，需要數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)進(jìn)行類比或者歸納。這就需要進(jìn)行一定邏輯思維的支撐，只有經(jīng)過(guò)邏輯的思考，才能找到已有知識(shí)與問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，從而找到歸納點(diǎn)或類比點(diǎn)。然而，合情推理的過(guò)程又不是完全具有邏輯性的，這取決于合情推理的過(guò)程中有經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的參與。合情推理有依據(jù)經(jīng)驗(yàn)猜想的環(huán)節(jié)，此處的經(jīng)驗(yàn)不僅僅是已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，還有生活的經(jīng)驗(yàn)，生活經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)沒(méi)有完全的邏輯思維，是憑借自身的感性認(rèn)識(shí)進(jìn)行的知識(shí)建構(gòu)，感性因素占有相當(dāng)重要的地位。因此，合情推理的過(guò)程是有邏輯的，但不是完全等同于數(shù)學(xué)知識(shí)與知識(shí)之間絕對(duì)嚴(yán)密的邏輯。

二、合情推理的教育價(jià)值

（一）合情推理能力是知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代創(chuàng)新型人才的必備素質(zhì)

20世紀(jì)中期以來(lái)，知識(shí)經(jīng)濟(jì)逐漸取代工業(yè)經(jīng)濟(jì)，成為國(guó)家經(jīng)濟(jì)體系中占有主導(dǎo)地位的經(jīng)濟(jì)形態(tài)。知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代相比工業(yè)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，最大的區(qū)別就是對(duì)創(chuàng)新型人才的需求格外迫切，創(chuàng)新已然成為一個(gè)民族的靈魂，支撐著整個(gè)民族的發(fā)展。信息化時(shí)代，需要更多的創(chuàng)新型人才為祖國(guó)發(fā)展注入新鮮 血液，而創(chuàng)新型人才的核心素質(zhì)就是創(chuàng)造能力。什么叫做創(chuàng)造或者創(chuàng)新？按照嚴(yán)密的邏輯性，對(duì)已有的事物進(jìn)行論證的過(guò)程都不叫創(chuàng)造或者創(chuàng)新，只有由已有事物、已有認(rèn)知推出新事物、新發(fā)現(xiàn)的過(guò)程才叫創(chuàng)新。合情推理的過(guò)程與創(chuàng)新的過(guò)程相契合。因此，提升合情推理能力是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要路徑。

從數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)新的角度來(lái)講，周圍世界中新知識(shí)的產(chǎn)生幾乎都與合情推理有著緊密的聯(lián)系，新知識(shí)形成的思辨過(guò)程往往都是按照合情推理的方式進(jìn)行的[5]。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，不僅要發(fā)展學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，更要注重發(fā)展學(xué)生的探索性思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性。探索性思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都離不開(kāi)合情推理能力的提升。

史寧中教授特別指出：“從學(xué)理上說(shuō)，人的創(chuàng)新能力的形成依賴于知識(shí)的掌握、思維的訓(xùn)練和經(jīng)驗(yàn)的積累。其中，最核心的是思維訓(xùn)練……多年來(lái)，我國(guó)基礎(chǔ)教育在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)中，主要弱在了合情推理能力的培養(yǎng)上，給創(chuàng)新性人才的成長(zhǎng)帶來(lái)了嚴(yán)重的阻礙。[6]”合情推理的過(guò)程不是對(duì)已有結(jié)論的證實(shí)過(guò)程，而是對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析，得出新事物的過(guò)程。因此，在知識(shí)經(jīng)濟(jì)背景下，合情推理能力是創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的源泉，是創(chuàng)新型人才的必備素質(zhì)。

（二）合情推理能力的提升有助于數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

合情推理本質(zhì)就是運(yùn)用小學(xué)生較容易理解的類比和不完全歸納方法對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行整合，而深度學(xué)習(xí)著重強(qiáng)調(diào)的也是學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合，兩者的內(nèi)涵是相契合的。合情推理并沒(méi)有完全淡化數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，合情推理也是沿襲以既有知識(shí)為基點(diǎn)的推理。已有知識(shí)并不是所學(xué)到的全部數(shù)學(xué)知識(shí)，而是與所解決問(wèn)題相關(guān)的知識(shí)，是同一個(gè)系統(tǒng)領(lǐng)域中的知識(shí)。如，小學(xué)數(shù)學(xué)中，可以將“數(shù)的認(rèn)識(shí)”看作一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)可以分別看作“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的“子系統(tǒng)”。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)則是以數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容為載體，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體分析和統(tǒng)一規(guī)劃，提煉出知識(shí)的核心內(nèi)容[7]。學(xué)科知識(shí)的核心內(nèi)容一般是學(xué)科知識(shí)的主要內(nèi)容和關(guān)鍵部分，往往是一組內(nèi)容或一個(gè)知識(shí)群。如，可以將“數(shù)的認(rèn)識(shí)”看作是一個(gè)核心內(nèi)容群。由此可見(jiàn)，深度學(xué)習(xí)中的核心內(nèi)容和合情推理中的系統(tǒng)知識(shí)內(nèi)涵相似。數(shù)學(xué)合情推理的主要過(guò)程，就是運(yùn)用遷移的思維方式將系統(tǒng)知識(shí)群里的知識(shí)相互連接，吐故納新，不斷審視系統(tǒng)知識(shí)中已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，是推出新知識(shí)的過(guò)程，也是為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)奠定知識(shí)基礎(chǔ)的過(guò)程。

由此可見(jiàn)，合情推理的知識(shí)儲(chǔ)備過(guò)程就是深度學(xué)習(xí)將新概念、已知概念與原理聯(lián)系起來(lái)，整合到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而引起對(duì)新知識(shí)信息的理解，長(zhǎng)期保持及遷移應(yīng)用的過(guò)程。合情推理要求學(xué)習(xí)者深入理解已有知識(shí)，相對(duì)準(zhǔn)確地判斷和把握關(guān)鍵要素，在相似情境中能夠做到 舉一反三，也能在新情境中分析、判斷差異，并將原則思路遷移和運(yùn)用。因此，合情推理的過(guò)程與數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)有著緊密的聯(lián)系，學(xué)生合情推理能力的提升有助于其數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的進(jìn)行。

（三）小學(xué)階段是合情推理能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn)

合情推理能力不是與生俱來(lái)的，它具有一個(gè)發(fā)展過(guò)程，需要從小培養(yǎng)。合情推理能力的發(fā)展與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、思維水平等因素有關(guān)。因?yàn)閷W(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)不斷積累的過(guò)程，學(xué)生的思維水平也是一個(gè)不斷提升的過(guò)程，所以學(xué)生的合情推理能力也是一個(gè)不斷發(fā)展的過(guò)程。

相對(duì)于小學(xué)生，初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是以邏輯思維為主，合情推理能力已經(jīng)到達(dá)相對(duì)較高的水平。從細(xì)節(jié)上來(lái)分析，初中生經(jīng)過(guò)6年的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，基礎(chǔ)知識(shí)牢固，類比思維和歸納思維相對(duì)成熟，遷移能力和認(rèn)知風(fēng)格已經(jīng)形成一定的個(gè)體特點(diǎn)。相對(duì)于合情推理，初中生演繹推理能力的發(fā)展空間更大，可塑性更強(qiáng)?？v觀小學(xué)階段，在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)方面，低年級(jí)小學(xué)生對(duì)周圍事物的認(rèn)識(shí)還處于以自我為中心的階段，生活經(jīng)驗(yàn)不足，并且學(xué)到的知識(shí)相對(duì)淺顯；在學(xué)生思維水平方面，低年級(jí)小學(xué)生主要是以表象和形象思維為主，有一定的歸納和類比推理能力，但都是不完整的猜測(cè)或偶然的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論。因此，此階段的小學(xué)生沒(méi)有足夠的經(jīng)驗(yàn)和思維水平作支撐，合情推理能力水平較低。到了高年級(jí)，學(xué)生對(duì)周圍世界的認(rèn)識(shí)范圍逐漸擴(kuò)大，生活經(jīng)驗(yàn)得到擴(kuò)充，并且對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)不斷深入，學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)都在積累。學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)不斷積累的過(guò)程也是學(xué)生合情推理能力的基礎(chǔ)不斷加固的過(guò)程。高年級(jí)學(xué)生的思維能力在不斷增強(qiáng)，能夠從已有經(jīng)驗(yàn)中找到歸納點(diǎn)和類比物，為猜想提供依據(jù)，他們的合情推理能力水平高于低年級(jí)學(xué)生?；谝延薪?jīng)驗(yàn)和思維水平的合情推理能力發(fā)展是具有過(guò)程性的，無(wú)論是知識(shí)積累還是思維提升，都不是本來(lái)就具有的，而是需要不斷培養(yǎng)才能達(dá)到每個(gè)階段的水平。因此，合情推理能力需要從小培養(yǎng)。