初中數(shù)學(xué)教育中模型思想融入策略研究

張俊忠

[摘 要] 通過(guò)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，能夠促進(jìn)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，自覺(jué)地從數(shù)量關(guān)系和空間形式上進(jìn)行思考，形成嚴(yán)密的邏輯推理意識(shí)，逐步形成全面考慮問(wèn)題的整體意識(shí)，不斷培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維等。從初中數(shù)學(xué)教育中模型思想融入的意義、理論基礎(chǔ)和策略等三方面進(jìn)行闡述。

[關(guān) 鍵 詞] 模型思想；創(chuàng)造性思維；策略；教育技術(shù)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）28-0030-02

數(shù)學(xué)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要任務(wù)，隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，提高全民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)已成為教育工作者的重任。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！蹦Ｐ退枷氲慕⑹菍W(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。模型思想的歷史可以追溯到人類開(kāi)始使用數(shù)字，當(dāng)人類使用數(shù)字時(shí)，就不斷地建立一些數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

一、初中數(shù)學(xué)教育中模型思想融入的意義

（一）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化思考意識(shí)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化，如數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說(shuō)“與其說(shuō)學(xué)數(shù)學(xué)，倒不如說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)化的本質(zhì)在于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化、數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實(shí)化。數(shù)學(xué)化思考就是指在具體的情境中抽象出事物的本質(zhì)，概括出事物之間的共同特征和普適規(guī)律，即抽象概念、建立數(shù)學(xué)模型。通過(guò)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，能夠促進(jìn)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，自覺(jué)地從數(shù)量關(guān)系和空間形式上進(jìn)行思考，形成嚴(yán)密的邏輯推理意識(shí)，逐步形成全面考慮問(wèn)題的整體意識(shí)等。

（二）培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力

創(chuàng)造性思維是人類最高層次的思維活動(dòng)，其實(shí)質(zhì)是合理、協(xié)調(diào)地用邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維等多種思維形式，使有關(guān)信息有序化，從而產(chǎn)生積極的效果。如教育家劉佛年指出：“只要有點(diǎn)新意思、新思想、新觀念、新設(shè)計(jì)、新意圖、新做法、新方法，就稱得上創(chuàng)造?！睌?shù)學(xué)建?；顒?dòng)需要進(jìn)行較復(fù)雜的綜合思維過(guò)程，必須把邏輯思維和直覺(jué)思維結(jié)合起來(lái)，由于問(wèn)題本身具有“障礙性”，不可能直接利用公式或性質(zhì)得出結(jié)果，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。創(chuàng)建模型，本身就是學(xué)生創(chuàng)造性活動(dòng)的過(guò)程。在初中階段，在教學(xué)中融入模型思想，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

二、初中數(shù)學(xué)教育中模型思想融入的理論基礎(chǔ)

（一）建構(gòu)主義理論

建構(gòu)主義也稱為結(jié)構(gòu)主義，屬于認(rèn)知心理學(xué)派。建構(gòu)主義理論的核心概念是圖式，圖式是指?jìng)€(gè)體對(duì)外部世界的認(rèn)識(shí)和理解方式。認(rèn)知發(fā)展受三個(gè)過(guò)程的影響：即同化、順化和平衡。同化是指?jìng)€(gè)體對(duì)外部刺激的吸收或過(guò)濾的過(guò)程。順應(yīng)是指原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無(wú)法同化外部刺激提供的信息時(shí)，所導(dǎo)致的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生改造與重組的過(guò)程。平衡是指?jìng)€(gè)體通過(guò)調(diào)節(jié)機(jī)制使認(rèn)知過(guò)程從一種平衡狀態(tài)向另一種平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過(guò)程。建構(gòu)主義倡導(dǎo)以學(xué)習(xí)者為中心的教師指導(dǎo)下的學(xué)習(xí)，也就是既強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知主體作用，又不忽視教師的指導(dǎo)作用。

（二）元認(rèn)知理論

“元認(rèn)知”是繼識(shí)別、記憶、注意、思維之后的一個(gè)新名詞，美國(guó)心理學(xué)家弗拉維爾首先使用該名詞，一般都認(rèn)為元認(rèn)知就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知，其本質(zhì)是個(gè)體對(duì)認(rèn)知過(guò)程的自我調(diào)節(jié)和自我意識(shí)。元認(rèn)知包括三部分：元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)、元認(rèn)知監(jiān)控。元認(rèn)知監(jiān)控是元認(rèn)知的主體，體現(xiàn)在主體根據(jù)知識(shí)特點(diǎn)、自身認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)等制訂計(jì)劃、確定策略、評(píng)價(jià)有效性、做出補(bǔ)救措施等。在基礎(chǔ)教育階段，元認(rèn)知教育是促進(jìn)學(xué)生由他主學(xué)習(xí)到自主學(xué)習(xí)的一個(gè)過(guò)渡過(guò)程，本階段的順利開(kāi)展對(duì)認(rèn)知個(gè)體形成一定的方法和價(jià)值體系起著關(guān)鍵的作用。

三、初中數(shù)學(xué)教育中模型思想融入的策略

（一）從數(shù)學(xué)教材出發(fā)，關(guān)注教材原題的改變

對(duì)教材中的例題和習(xí)題，可以通過(guò)改變題設(shè)和互換題設(shè)結(jié)論，形成新的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題；對(duì)教材中的純數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)性、趣味性、可行性等原則，改編出具有實(shí)際生活背景的建模問(wèn)題。

例1 如圖，△ABC的外角∠CBF的平分線BD與外角∠GCB的平分線CE相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。

分析：顯然此題利用角平分線的性質(zhì)就可以解決。先過(guò)點(diǎn)P分別作直線AB、BC、AC的垂線段，利用角平分線的性質(zhì)，通過(guò)等量代換，可以證明這三條垂線段相等，因此點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。

此題做完之后，可以讓學(xué)生思考點(diǎn)P只要是哪兩個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)就可以得到題目的結(jié)論。通過(guò)討論，可以得出點(diǎn)P只要是三個(gè)角∠A、∠GCB、∠FBC中的任意兩個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，就可以得到點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。還可以讓學(xué)生研究∠A與∠BPC的數(shù)量關(guān)系，那就是∠A+∠BPC=90°。

此題是人教版八年級(jí)上冊(cè)中的練習(xí)題。這樣以一個(gè)數(shù)學(xué)模型為樣本，深挖其中線段、角所隱含的關(guān)系，能夠充分培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，從而提高學(xué)生的創(chuàng)造能力。

（二）從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的主要源泉，生活中的許多問(wèn)題可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型協(xié)助解決，如家庭電費(fèi)水費(fèi)的計(jì)算、運(yùn)輸費(fèi)用問(wèn)題、統(tǒng)籌安排問(wèn)題、資源分配問(wèn)題等，都可以通過(guò)建立初等教學(xué)模型，理順其中的數(shù)量關(guān)系。教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)教材的實(shí)際內(nèi)容，適時(shí)指導(dǎo)學(xué)生探究生活中的數(shù)學(xué)，這樣不僅能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，而且能夠提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

例2 南海地質(zhì)勘探隊(duì)在南沙群島的一小島發(fā)現(xiàn)很有價(jià)值的A，B兩種礦石，A礦石大約565噸，B礦石大約500噸，上報(bào)公司，要一次性將兩種礦石運(yùn)往冶煉廠，需要不同型號(hào)的甲、乙兩種貨船共30艘，甲貨船每艘運(yùn)費(fèi)1000元，乙貨船每艘運(yùn)費(fèi)1200元。

（1）設(shè)運(yùn)送這些礦石的總費(fèi)用為y元，若使用甲貨船x艘，請(qǐng)寫出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果甲貨船最多可裝A礦石20噸和B礦石15噸，乙貨船最多可裝A礦石15噸和B礦石25噸，裝礦石時(shí)按此要求安排甲、乙兩種貨船，共有幾種安排方案？哪種安排方案運(yùn)費(fèi)最低并求出最低運(yùn)費(fèi)。

解：（1）∵y=1000x+1200（30-x）

∴y=36000-200x

（2）設(shè)安排甲貨船x艘，則安排乙貨船（30-x）艘，根據(jù)題意得：

20x+15（30-x）≥56515x+25（30-x）≥500

∴23≤x≤25.

∵x為整數(shù)，

∴x=23，24，25.

方案一：當(dāng)安排甲貨船23艘時(shí)，則安排乙貨船7艘，此時(shí)36000-200×23=31400；

方案二：當(dāng)安排甲貨船24艘時(shí)，則安排乙貨船6艘，此時(shí)36000-200×24=31200；

方案三：當(dāng)安排甲貨船25艘時(shí)，則安排乙貨船5艘，此時(shí)36000-200×25=31000；

∴31000<31200<31400

∴當(dāng)安排甲貨船25艘、乙貨船5艘時(shí)，運(yùn)費(fèi)最低，是31000元。

（三）應(yīng)用教育技術(shù)，提高學(xué)生建模的能力

隨著科技的發(fā)展，現(xiàn)代教育技術(shù)不斷被引入課堂?，F(xiàn)代的多媒體、教育軟件等給現(xiàn)代教育增添了無(wú)限的可能。教師可以將一些教育軟件知識(shí)教給學(xué)生，如Mathematica、幾何畫板、超級(jí)畫板等。利用教育技術(shù)，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，而且能提高學(xué)生的直覺(jué)思維能力，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的建模能力。

例3 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD和BC上的點(diǎn)，連接FE，當(dāng)∠FAE是45°時(shí)，試確定線段BF、FE、ED之間的數(shù)量關(guān)系，且給出證明。

分析：此題可以充分利用幾何畫板的測(cè)量功能，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式，首先直覺(jué)判斷這三條線段的數(shù)量關(guān)系，再推理論證。比如當(dāng)確定一個(gè)∠FAE是45°，E、F的位置固定時(shí)，利用幾何畫板的測(cè)量功能，測(cè)量此時(shí)BF、FE、ED的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)有BF+ED=FE。改變E、F在CD、BC上的位置，利用幾何畫板的測(cè)量功能，保證∠FAE是45°，再測(cè)量BF、FE、ED的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)還是有BF+ED=FE。多做幾次這樣的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)總是有BF+ED=FE。于是可以大膽猜測(cè)BF、FE、ED之間的數(shù)量關(guān)系，即是BF+ED=FE，然后進(jìn)行推理論證。實(shí)際上此題還可以利用幾何畫板的測(cè)量功能，當(dāng)∠FAE是45°時(shí)，測(cè)量∠BFA與∠EFA，測(cè)量∠FEA與∠DEA。通過(guò)多次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以直覺(jué)判斷它們的數(shù)量關(guān)系，即∠BFA=∠EFA，∠EFA=∠EFA，再進(jìn)行推理論證。

（四）通過(guò)數(shù)學(xué)綜合和實(shí)踐活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生建模能力

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)是以問(wèn)題為載體、師生共同參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)。通過(guò)此種活動(dòng)，不僅能夠幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，也是發(fā)展學(xué)生建模能力的主要途徑。當(dāng)前經(jīng)濟(jì)生活中，模型思想在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的應(yīng)用得到了很好的體現(xiàn)。

例4 亞健康是時(shí)下社會(huì)熱門話題，進(jìn)行體育鍛煉是遠(yuǎn)離亞健康的一種重要方式，為了解某市初中學(xué)生每天進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間情況，隨機(jī)抽樣調(diào)查了100名初中學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下所示的統(tǒng)計(jì)圖表。請(qǐng)根據(jù)表中信息解答下列問(wèn)題：

（1）小王說(shuō)：“我每天的鍛煉時(shí)間是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)”，問(wèn)小王每天進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間在什么范圍內(nèi)？

（2）據(jù)了解該市大約有30萬(wàn)名初中學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該市初中學(xué)生每天進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間在1小時(shí)以上的人數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容具有非常豐富的實(shí)際背景，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用。要構(gòu)建統(tǒng)計(jì)模型，最有效的方法是投入統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程之中，提出問(wèn)題、進(jìn)行抽樣、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、做出決策。

總而言之，數(shù)學(xué)建模是實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)的聯(lián)系紐帶。雖然數(shù)學(xué)建模的結(jié)構(gòu)靈活，但是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生不斷探索、不斷創(chuàng)新的過(guò)程。在初中數(shù)學(xué)教育中融入模型思想，不僅符合新課程的理念，而且是素質(zhì)教育發(fā)展的需要。

參考文獻(xiàn)：

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[2]卜月華.中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)[M].南京：東南大學(xué)出版社，2002.