淺談極限概念的講解與求解極限的幾種方法

劉鐵宏

[摘 要] 極限的概念是為求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解而產(chǎn)生的。很多實(shí)際問(wèn)題的精確解僅通過(guò)有限次的運(yùn)算是求不出的，而需要一個(gè)無(wú)限變化過(guò)程，由此產(chǎn)生了極限的理論與方法。極限是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念，理解好極限概念是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)，只有掌握好函數(shù)與極限的基本知識(shí)，才能學(xué)好函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容。主要討論極限概念的講解以及求極限的常用方法。

[關(guān) 鍵 詞] 極限概念；極限思想：極限求解

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）06-0149-01

極限理論和方法是研究微積分學(xué)的基本理論和方法，它是把無(wú)限與有限，運(yùn)動(dòng)與靜止，量變與質(zhì)變聯(lián)系起來(lái)的一種數(shù)學(xué)方法，掌握好極限的思想方法是學(xué)好微積分學(xué)必備的基本功。因此，極限概念是一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)概念，也是一個(gè)不太好理解的數(shù)學(xué)概念，因?yàn)橐环矫媸瞧涠x用語(yǔ)抽象，另一方面，極限是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)研究事物變化狀態(tài)的。這對(duì)于習(xí)慣用靜止的和孤立的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)可能感到困難。因此在教學(xué)中應(yīng)注意把極限的概念具體化，把求解極限的方法進(jìn)行歸類。

一、利用極限思想的廣泛應(yīng)用激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

極限思想在我國(guó)有著悠久的歷史和十分廣泛的應(yīng)用。早在魏晉時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽建立了“割圓術(shù)”，用已知的可求的正多邊形的面積來(lái)無(wú)限逼近未知的、要求的圓的面積，使“有限”轉(zhuǎn)化為“無(wú)窮”，這就是極限思想的產(chǎn)生。極限思想的產(chǎn)生在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，極限思想被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域中。積分學(xué)中的定積分、廣義積分；繪圖中的函數(shù)曲線的漸近線；物理學(xué)中的變力做功、液體壓力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等；經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的市場(chǎng)學(xué)，如商品（不做廣告）銷售額衰減的規(guī)律是隨時(shí)間t→∞，單位時(shí)間內(nèi)的銷售額R（t）→0，這是個(gè)嚴(yán)酷的事實(shí)，如儲(chǔ)蓄問(wèn)題中的復(fù)利計(jì)算、人口增長(zhǎng)、林木的生長(zhǎng)、固定資產(chǎn)的折舊、菌類的繁殖等都是遵循某個(gè)極限規(guī)律的。通過(guò)對(duì)這些應(yīng)用的介紹，一定程度上激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

二、對(duì)極限概念的講解盡量做到具體化

極限的定義很不好理解，畢竟這是學(xué)生第一次接觸抽象的運(yùn)動(dòng)理論，因此利用貼近學(xué)生生活的案例來(lái)講解會(huì)更能讓他們理解。如美國(guó)影片《生死時(shí)速》中，當(dāng)汽車(chē)的速度越接近50千米每小時(shí)，汽車(chē)上的乘客離死亡越近。對(duì)于這個(gè)內(nèi)容，學(xué)生還是相當(dāng)能夠理解的，在此基礎(chǔ)上我們?cè)俳o出極限的定義以及極限中

兩個(gè)變量的關(guān)系。另一方面也可以采取從個(gè)別到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的歸納法講述極限定義：（1）按字意做正面分析，如“無(wú)限增大”，“無(wú)限接近”，“確定的常數(shù)”等都要分別解釋清楚；（2）做幾何圖直觀解釋，即通過(guò)數(shù)軸和圖像來(lái)解釋極限的含義；（3）做反面剖析，舉一兩個(gè)極限不存在的例子，然后緊扣極限的定義進(jìn)行分析，以進(jìn)一步理解極限的實(shí)質(zhì)。這三個(gè)層次的講解是相互協(xié)調(diào)的，不能機(jī)械地進(jìn)行。通過(guò)這些現(xiàn)實(shí)和集合直觀性幫助理解和分析，使學(xué)生對(duì)極限的概念有了深刻的理解和認(rèn)識(shí)，也解決了這次課的教學(xué)難點(diǎn)。

三、歸納求解極限的方法使之系統(tǒng)化

（一）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

如果一個(gè)函數(shù)是連續(xù)的，那么這個(gè)函數(shù)的極限值就等于它在那一點(diǎn)處的函數(shù)值。

例1.■（■x2-2x+1）

解：∵函數(shù)y=■x2-2x+1是連續(xù)的

∴■（■x2-2x-1）=■×52-2×5+1=-4

（二）利用極限的四則運(yùn)算法則求極限

例2.■■

解：■■=■■=■（x-1）=2

（三）利用無(wú)窮小的性質(zhì)（無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小）求極限

例3.■xsin■=0（因?yàn)椤鰔=0，sin■≤1）。

（四）利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的倒數(shù)關(guān)系求極限

1.■■=■■=■=■=0

2.求■■

因?yàn)椤觥?0

所以■■=∞

四、結(jié)語(yǔ)

本文從極限概念的講解入手，利用函數(shù)的連續(xù)性、極限的四則運(yùn)算法則、無(wú)窮小和無(wú)窮大的性質(zhì)以及變量代換的方法給出幾種求極限的方法，對(duì)學(xué)生掌握極限的求法有一定的幫助。

參考文獻(xiàn)：

李娜.高等數(shù)學(xué)極限概念引入探究及極限求解方法[J].大學(xué)教育，2014（4）：60-63.