任務(wù)驅(qū)動法在函數(shù)的微分教學(xué)中的應(yīng)用

秦琳，張恩路

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?以建構(gòu)主義為背景，在課堂教學(xué)中采用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)模式，按照任務(wù)驅(qū)動教學(xué)模式的建構(gòu)過程，對《函數(shù)的微分》這一課題進(jìn)行課堂設(shè)計。圍繞一個中心任務(wù)——緊固件噴涂量計算，將知識點(diǎn)巧妙穿插串聯(lián)。這是對教學(xué)模式和教學(xué)方法一次改革的嘗試。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?任務(wù)驅(qū)動; 函數(shù)微分;建構(gòu)主義

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2018）27-0180-02

一、背景

任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)模式是建構(gòu)主義理論和信息技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，是由教師將所要學(xué)習(xí)的新知識轉(zhuǎn)化成一個或幾個具體的任務(wù)。學(xué)生在強(qiáng)烈的問題動機(jī)驅(qū)動下，通過有效地查找和使用各種學(xué)習(xí)資源，對所提的任務(wù)進(jìn)行分析、討論，明確新舊知識間的聯(lián)系，再在教師的指導(dǎo)幫助下找出解決問題的方法，最后通過任務(wù)的完成實現(xiàn)對所學(xué)知識的意義建構(gòu)，從而培養(yǎng)出獨(dú)立探索、勇于開拓進(jìn)取的自學(xué)能力和解決實際問題的能力。

本文應(yīng)用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法，按照任務(wù)驅(qū)動教學(xué)模式的實施過程，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，對《函數(shù)的微分》這一課題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，與專業(yè)課相銜接，實施高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的嘗試。

二、教學(xué)實踐

【設(shè)計任務(wù)】備課環(huán)節(jié)中，在分析課程目標(biāo)和學(xué)生特征的基礎(chǔ)上遵循吸引學(xué)生、分層設(shè)計和系統(tǒng)達(dá)標(biāo)等原則設(shè)計任務(wù)。

本課題的教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握微分的概念;領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想;提升兩種能力。

教學(xué)方法：任務(wù)驅(qū)動、情境教學(xué)。圍繞一個中心任務(wù)——緊固件噴涂量計算，將知識點(diǎn)巧妙穿插串聯(lián)。

【實踐任務(wù)】現(xiàn)有一批定量的機(jī)械零件，要對其表面進(jìn)行噴涂，以延長使用壽命，需要多少涂料呢？

【分析任務(wù)】這是對機(jī)械零件噴涂的涂料用量的預(yù)算問題，通過對涂料用量的科學(xué)計算，可以降低成本，減少浪費(fèi)，提高效率。此任務(wù)貼近機(jī)械專業(yè)，學(xué)生對機(jī)械零件比較熟悉，能很快進(jìn)入情境，具有直觀性和形象化的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望。接下來引導(dǎo)學(xué)生對該任務(wù)進(jìn)行分析、建模。

機(jī)械零件種類繁多，在這里我們以常見的柱狀零件——螺栓、螺柱、圓柱銷為例。

引導(dǎo)學(xué)生分組討論，要完成此任務(wù)，需要做什么模型假設(shè)，需要解決哪些問題，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的解決任務(wù)的思路和計劃。

【假定】要噴涂的零件是圓柱銷，且只噴涂圓柱銷的側(cè)面，涂層均勻。要計算涂料的用量，根據(jù)m=ρv，涂料的密度ρ是一個常數(shù)，只需要計算涂層體積就可以。

【問題建?！恳阎粓A柱體底半徑為r0，高為h。當(dāng)?shù)装霃皆黾应時，試計算體積的改變量（用ΔV表示）。

此時適時提問學(xué)生，怎么計算涂層體積的精確值呢？有學(xué)生積極回答：用圓柱的側(cè)面積乘以涂層的厚度。教師再次引導(dǎo)，這樣計算得到的是涂層體積的精確值嗎？學(xué)生在教師的提示下恍然大悟，這樣計算并不是精確值。

那么ΔV的精確值該如何計算呢？有的學(xué)生馬上想到用體積差來計算。即

ΔV=π（r0+Δr）2h-πr02h=2πr0h·Δr+πr（Δr）2=2πr0hΔr+πh（Δr）2

我們用了7次乘法，1次加法，得到了涂層體積的精確值。但是這樣計算計算量比較大，如何能夠減少計算量呢？在計算機(jī)科學(xué)中，有一個重要的思想，那就是在精度要求不是非常高的情況下，我們考慮用精度換速度，那么

ΔV=2πr0hΔr+πh（Δr）2 ? （1）

在完成任務(wù)的過程中，再次對學(xué)生提出問題：（1）式中如果只保留一項，計算量能減少，但是精度能保證嗎？有兩個相關(guān)聯(lián)的問題需要解決：（1）式中如果只保留一項，該保留哪一項？保留下來的這一項作為ΔV的近似值，精度高不高？為回答這兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生從立體幾何的角度進(jìn)行剖析。

■

從圖形上看，要求的ΔV，實際上就是這樣一個很薄的圓環(huán)柱體的體積（如圖a），動員引導(dǎo)學(xué)生沿紅色的地方將圓環(huán)柱體剪開，然后展開，會得到一個什么樣的立體呢？通過動畫演示，可以看到展開后是一個棱柱，棱柱的截面是一個等腰梯形。將其平鋪，棱柱的相關(guān)數(shù)據(jù)可以根據(jù)圓環(huán)柱的數(shù)據(jù)得到。將棱柱做進(jìn)一步處理，沿著上邊緣線豎直向下切開，棱柱就變成了三部分，中間是一個長方體，剪下的兩部分是同等大小的三棱柱，這兩個小三棱柱可以通過重組拼接成一個小長方體。大長方體的體積等于2πr0hΔr，小長方體體積等于πr（Δr）2，ΔV=■+■，這一大一小長方體的體積，恰好對應(yīng)著（1）的兩項。

這樣，前面兩個問題就得到了解決，誰去誰留？顯然要舍棄小長方體的體積，保留大長方體的體積，得到ΔV的近似值。同時從幾何角度也得到，用大長方體的體積來近似涂層的體積，精度上可以得到保證。

因此，ΔV≈2πr0hΔr，在這個式子里，Δr即為涂層的厚度，2πr0h即為側(cè)面積，用側(cè)面積乘以涂層厚度，這正是我們最先想到的辦法。這樣我們從幾何角度證明了學(xué)生最初的想法，雖然不是精確值，但是它卻可以有效降低計算量，同時滿足一定的精度，因此不失為完成任務(wù)既快又好的方法。同時，2πr0h除了是側(cè)面積，與體積函數(shù)又有什么關(guān)系呢？如果保持h不變，2πr0h是體積函數(shù)對r的導(dǎo)數(shù)，即ΔV≈V′|■·Δr。其實，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量增量成績的形式出現(xiàn)在函數(shù)增量的近似值中并非個例，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家正是發(fā)現(xiàn)了這一特點(diǎn)，經(jīng)過艱苦努力的研究，得到函數(shù)增量近似表達(dá)式的一個重要的數(shù)學(xué)概念——函數(shù)的微分。

以上我們利用建構(gòu)主義理論，引導(dǎo)學(xué)生建立了一個新的數(shù)學(xué)概念，在這個過程中，學(xué)生可以通過不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題找到成就感，另一方面，教師可以通過交流討論、引導(dǎo)建構(gòu)等方式關(guān)注學(xué)生，以此來肯定、激勵、指導(dǎo)學(xué)生。對學(xué)生的不同結(jié)論要及時總結(jié)和分享，在不斷的反饋評價中，構(gòu)建完善的知識體系，必要時加以拓展應(yīng)用。

在本節(jié)課的教學(xué)中，我們也及時對函數(shù)微分的概念進(jìn)行實際問題的延伸，以此對知識點(diǎn)進(jìn)行拓展。

【任務(wù)延伸1】緊固件螺紋部分的噴涂計算問題，如何解決？

查閱GB/T5267.1-2002，針對規(guī)格為M10×100（直徑為10mm，長度為100mm，螺紋桿長為52mm）的螺柱，估算其側(cè)面涂層的體積（假定涂層厚度為0.05mm）。

■ ? ?■

【任務(wù)延伸2】（油路檢修）保證發(fā)動機(jī)的油路暢通是發(fā)動機(jī)日常維護(hù)的一項重要內(nèi)容。日常工作中，由于一些因素的影響，通常會使發(fā)動機(jī)的油管半徑變小，因此需要定期對油管進(jìn)行疏通。假定在固定壓力下，單位時間內(nèi)通過油管的油料體積V與油管半徑r的四次方成正比，即V=kr4。問：如果油路疏通使油管的半徑r增加3%，那么V會增加多少？

通過對上述延伸任務(wù)的解決，學(xué)生真實地感受到發(fā)動機(jī)的日常維護(hù)工作很重要。

三、效果反饋

通過在課堂中實際采用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)模式授課，提高了課堂的教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及責(zé)任感。通過與實際任務(wù)相結(jié)合的方式，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)的美。學(xué)生通過運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決一些實際生活中遇到的問題，使學(xué)生體會到解決實際問題的快樂，從而培養(yǎng)學(xué)生的興趣。

四、教學(xué)思考

教學(xué)改革是一項長期、復(fù)雜、艱巨的系統(tǒng)性工程，我院數(shù)學(xué)教師通過多次學(xué)習(xí)研究“十九大”報告精神及《教育部關(guān)于全面提高高等教育質(zhì)量的若干意見》（教高【2012】4號）等文件，發(fā)現(xiàn)校企合作、基礎(chǔ)與專業(yè)深度融合，培養(yǎng)適應(yīng)社會需要的復(fù)合型人才是高等職業(yè)教育的發(fā)展趨勢。在下一步的教學(xué)改革嘗試中，進(jìn)一步改變傳統(tǒng)教學(xué)模式為模塊化教學(xué)模式，按照若干個相對獨(dú)立的知識點(diǎn)，將“高等數(shù)學(xué)”課程內(nèi)容分為幾個模塊，各專業(yè)可依據(jù)專業(yè)課程的需求，選擇合適的若干模塊組合進(jìn)行學(xué)習(xí)。在模塊組合教學(xué)過程中，教師可依據(jù)不同內(nèi)容要求、不同專業(yè)要求，靈活運(yùn)用多種教學(xué)方法。通過教學(xué)改革，突出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力和數(shù)學(xué)遷移能力。在學(xué)習(xí)過程中用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)的思想和情感，突出數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性和數(shù)學(xué)知識專業(yè)應(yīng)用中的遷移性。在設(shè)計教學(xué)過程時，教師嘗試使用與專業(yè)技術(shù)課程、專業(yè)課程的實際應(yīng)用密切相關(guān)的基本案例。

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