金融工程中具有半方差的幾何投資組合優(yōu)化問(wèn)題

許新宇

摘 要：在本文中，我們考慮了一個(gè)投資組合優(yōu)化問(wèn)題，即在金融工程中將幾何平均收益最小化作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的對(duì)象，而這個(gè)最小回報(bào)受較低半變異影響。給出了它的最優(yōu)條件和蒙特卡羅模擬的求解方法，并給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn)以證明該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：金融工程； 組合優(yōu)化； 蒙特卡羅；模擬； 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

一、介紹

幾何平均投資策略[1]，引入最近在學(xué)術(shù)界金融和經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中收到的一些注意事項(xiàng)。以收益率方差[2]作為風(fēng)險(xiǎn)度量來(lái)考慮投資組合的幾何平均收益。然而，方差是一個(gè)值得懷疑的風(fēng)險(xiǎn)度量，至少有兩個(gè)原因：第一，只有當(dāng)回報(bào)的基本分布是對(duì)稱的時(shí)，它才是適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)度量。其次，它可以應(yīng)用于直接地作為一種風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量，只有返回底層的分布是正常的。然而，股票回報(bào)的對(duì)稱性和常態(tài)性都受到有關(guān)這個(gè)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)的嚴(yán)重質(zhì)疑，從而得到收益較低的半方差函數(shù)，另一方面，是有幾個(gè)原因的風(fēng)險(xiǎn)，一個(gè)更合理的措施：首先，投資者顯然不喜歡波動(dòng)性；他們只厭惡自己的側(cè)面波動(dòng)。第二，下半方差比方差，當(dāng)返回底層的分布是不對(duì)稱的，就像有用當(dāng)?shù)讓拥姆植际菍?duì)稱的更有用的；換句話說(shuō)，下半方差函數(shù)至少是有用的衡量風(fēng)險(xiǎn)的方差。第三，下半方差測(cè)度統(tǒng)計(jì)提供的信息—方差偏度，從而可以使用單因素模型來(lái)估計(jì)所需的回報(bào)。因此，我們將考慮下半方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量最大化投資組合的幾何平均收益。論文的組織如下。第2節(jié)開發(fā)了我們的投資組合優(yōu)化模型及其最優(yōu)條件。在第3節(jié)中，提出了一種求解該模型的蒙特卡洛方法，并用數(shù)值例子說(shuō)明了該模型的有效性。第4節(jié)給出結(jié)論。

二、模型

考慮一個(gè)時(shí)期的金融投資問(wèn)題。假設(shè)投資者（個(gè)人或公司）在資本市場(chǎng)上投資有限資產(chǎn)的單位資本。如果xi表示投資者投資與資產(chǎn)i的財(cái)富比例，并且。ηi>0表示資產(chǎn)i提供的定期支付，包括本金回報(bào)，i=1，2，3，……，n。另x=（xi，……，xn）為投資組合向量，且η=（ηi，……，ηn）T為定義在概率上的隨機(jī)向量，空間（Ω，F(xiàn)，P）具有連續(xù)分布函數(shù)F[*]，很容易得出公式：

三、蒙特卡羅方法與數(shù)值實(shí)驗(yàn)

根據(jù)概率密度函數(shù)p（η），我們使用蒙特卡羅方法[3]生成一個(gè)樣本，N是數(shù)字樣本，k是模擬的時(shí)間。因此問(wèn)題近似于下面的確定的優(yōu)化問(wèn)題：

四、結(jié)論

我們研究了一個(gè)金融優(yōu)化問(wèn)題，最大限度地提高了幾何平均收益受制于較低的半方差約束，事實(shí)上這是一個(gè)特定的凸隨機(jī)優(yōu)化。給出了最佳條件。為了解決這一問(wèn)題，提出了一種基于蒙特卡羅模擬的框架求解方法，使該問(wèn)題等價(jià)于近似優(yōu)化問(wèn)題。在給定的參數(shù)下，用matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)：

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