微專題在新時期復(fù)習(xí)課數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中的應(yīng)用

徐俊峰

[摘 要] 微專題能夠結(jié)合學(xué)情進行問題的專門性手段設(shè)計與推進，微專題因自身所具備的時效性、針對性、靈活性以及細致性在新時期復(fù)習(xí)課的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中成了必不可少的有效手段. 教師應(yīng)在微專題的理論指引下精心設(shè)計課堂教學(xué)的形式并有效整合教學(xué)內(nèi)容為思維訓(xùn)練的實施與實現(xiàn)保駕護航.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；微專題；優(yōu)勢；思維訓(xùn)練

■概述

1. 微專題

圍繞一到兩個緊密相關(guān)的知識或者思想方法而進行專門性的研究我們一般稱之為“微專題”. 相對來說，微專題更具針對性，它能夠結(jié)合學(xué)情進行問題的專門性手段設(shè)計與推進，時效性、針對性、靈活性以及細致性等顯著特征集于微專題一身. 比如，教師在結(jié)合微專題進行數(shù)形結(jié)合大專題下直線與圓問題的相關(guān)設(shè)計時，應(yīng)該將問題的條理性、問題結(jié)構(gòu)的簡潔與深度一一考慮進來，使得問題得到專門性的、有深度的研討. 著名特級教師李金姣教授對于微專題就有“切口小，但能在尺寸之內(nèi)做文章”這樣的高度評價.

2. 數(shù)學(xué)思維與訓(xùn)練

數(shù)學(xué)思維是人的大腦與數(shù)學(xué)對象在數(shù)量關(guān)系、空間形式以及結(jié)構(gòu)關(guān)系等方面的相互作用，它是一種理性的內(nèi)在活動，這種內(nèi)在理性活動一般會按照思維規(guī)律對數(shù)學(xué)內(nèi)容建立認識，相對于靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識來說，思維活動則是動態(tài)的呈現(xiàn).

數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心這一點是毋庸置疑的，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)也因此成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個尤為重要的任務(wù). 思維訓(xùn)練是比數(shù)學(xué)知識與解題技能的獲得更為重要的環(huán)節(jié)，學(xué)生在科學(xué)合理的思維訓(xùn)練中能夠使自身的分析與綜合、抽象與概括、具體化與系統(tǒng)化等思維操作逐步得到針對性的有效鍛煉，邏輯、形象以及直覺等各思維能力均能在此鍛煉中得到培養(yǎng)與提高.

現(xiàn)代教學(xué)論的觀點一直認定數(shù)學(xué)思維的教學(xué)才是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì). 新課改中對于過程教學(xué)的強調(diào)也正因此而提出的. 實現(xiàn)思維訓(xùn)練的主陣地當然是課堂教學(xué)，因此，教師必須精心設(shè)計課堂教學(xué)的形式并有效整合教學(xué)內(nèi)容為思維訓(xùn)練的實施與實現(xiàn)保駕護航. 微專題因其自身所具備的優(yōu)勢在課堂教學(xué)中顯得更加不可替代.

■微專題在新時期復(fù)習(xí)課中使用的優(yōu)勢分析

從中學(xué)生思維發(fā)展來看，利用微專題進行思維訓(xùn)練也是極為合適的. 在大的知識框架之下對所學(xué)細節(jié)進行鞏固與深化正是微專題的優(yōu)勢. 大的知識框架下對知識細節(jié)進行處理與分解并靈活運用與轉(zhuǎn)化是學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求.

1. 定位精準

微專題所關(guān)注的問題相對集中，且其研究過程中所用的語言、符號、圖像以及方法會不斷重復(fù)地被使用，知識準確度高，方法運用上更熟練. 例如，很多學(xué)生談及數(shù)形結(jié)合就會想到畫圖，不過，即使在解題中明確告訴學(xué)生此題可用數(shù)形結(jié)合的方法解決，學(xué)生也不一定能畫出符合題意或者解題需要的圖形. 事實上，即使問題已經(jīng)被局限于解析幾何的范疇內(nèi)，學(xué)生有效作圖的情況很多時候也不理想. 但是，微專題卻能將研究的范圍縮小得更為精簡和準確. 例如，筆者曾在高三學(xué)生中開設(shè)過“數(shù)形結(jié)合中的直線與圓”這一微專題，將直線與圓問題的作圖共性作為專門性的問題進行了探究，使學(xué)生在探究中清醒而深刻地認識到了作圖的共同策略——作圓心到直線的距離.

案例1：已知一直線l，經(jīng)過點P（-3，0）與單位圓O.

（1）分別求l與圓相交、相切與相離時的斜率取值范圍.

（2）若l與O相切于A點，該直線方程與線段PA的長如何？

（3）若l與O相交于A，B兩點，△OAB的面積最大為多少？

（4）若l與O相交于A，B兩點，且滿足■=■+■，點C也在該圓上，l斜率怎樣？

（5）若l上最少存在一點，使得以該點為圓心、■為半徑的圓與O有公共點，l的斜率最大值為多少？

（6）若圓O上有3個到l的距離為■的點，l的斜率取值范圍如何？若這樣的點有0，1，2，3，4個，各自對應(yīng)的斜率取值范圍怎樣？

（7）若l的斜率是4，圓方程改成x2+y2=r2，則圓上有3個到l的距離為■的點，r的取值范圍如何？若這樣的點有0，1，2，3，4個，各自對應(yīng)的r取值范圍怎樣？

學(xué)生的思維經(jīng)過這種準確定位的訓(xùn)練從怎樣解題有效地轉(zhuǎn)變成了怎樣將解題與點線距離相關(guān)聯(lián)，在解決接下來的兩道難題時也相對更加游刃有余.

（1）已知圓C：x2+y2-（6-2m）x-4my+5m2-6m=0，直線l經(jīng)過點P（1，0），對任意實數(shù)m，l被圓所截弦長是定值，求直線l的方程.

（2）已知圓O：x2+y2=4，點M（1，■），AC，BD是過點M的圓的弦，這兩條弦互相垂直，則AC+BD的最大值是多少？

準確在思維訓(xùn)練中意味著高效，學(xué)生對方法的概括與抽象也因此能夠更快地實現(xiàn).

2. 展示細節(jié)

微專題很多時候是教師在教學(xué)過程中臨時追加的，一般發(fā)生在學(xué)生出現(xiàn)群體性的問題之后，所以，很多時候微專題解決的只是問題中的某一個步驟，因此，專注于這個步驟的處理時相對就會更加詳盡. 例如，高三數(shù)學(xué)中有函數(shù)的“能成立”與“恒成立”這一常見題型，學(xué)生在分析題意時往往會出現(xiàn)表述方式上的一些不足，問題的后續(xù)解決正因為這些不足往往會面臨失敗，有時候還會出現(xiàn)錯誤觀念被強化的現(xiàn)象. 這類綜合性的題目往往需要多個知識技能共同參與解決，教師在常規(guī)題的題意分析之后往往會繼續(xù)后續(xù)問題的分析與解決，不過，很多學(xué)生在分析題意這一環(huán)節(jié)往往就會產(chǎn)生一些問題，題意分析中的一點思維訓(xùn)練對于這些學(xué)生來說是遠遠不夠的，仍然有一部分學(xué)生還是不能真正理解題意的最終意圖，更別提問題是否能夠產(chǎn)生正遷移了. 筆者針對學(xué)生實際水平進行了“任意還是存在，最大還是最小”的微專題開發(fā)與探究，大量類似的問題被一一羅列了出來.

案例2：（1）恒成立：a>f（x）恒成立？圯a>f（x）max，a

能成立：a>f（x）能成立？圯a>f（x）min，a

（2）不等式f（x）>g（x）在區(qū)間D上恒成立？圯_______.

（3）設(shè)函數(shù)f（x），x∈D1，g（x），x∈D2.

①？坌x1∈D1，？坌x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

②？堝x1∈D1，？坌x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

③？堝x1∈D1，？堝x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

④？坌x1∈D1，？堝x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____.

變式：已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x2-x）.

（1）若對于x∈[1，2]，函數(shù)f（x）圖像上的任何一點處的切線的傾斜角都不大于■，實數(shù)a的取值范圍如何？

（2）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，實數(shù)a的取值范圍如何？

（3）若f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，實數(shù)a的取值范圍如何？

（4）若？堝x∈[1，e]，使得f（x）<-2成立，實數(shù)a的取值范圍如何？

（5）若f（x）的圖像與x軸有交點，實數(shù)a的取值范圍如何？

（6）若f（x）的圖像總在x軸下方，實數(shù)a的取值范圍如何？

（7）若直線y=b2與f（x）的圖像有交點，實數(shù)a的取值范圍如何？

（8）設(shè)a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，若f（x）的圖像總在g（x）下方，實數(shù)a的取值范圍如何？

（9）設(shè)a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，是否對于任意x2∈[-2，2]，都存在x1∈[-2，2]，使得g（x2）

（10）設(shè)a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，若對于f（x）上任意一點M，在g（x）上總能找到一點N，使得線段MN與x軸平行，實數(shù)a的取值范圍如何？

我們從這一系列的變式不難看出怎樣正確分析出題意正是這個微專題的目標定位，過程中問題的等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，運算上則相對要求較低. 細節(jié)上的精致探究正是這個微專題中所專注的思維訓(xùn)練之處，越是精致，方法上的掌控也就越發(fā)全面.

3. 思維深度開發(fā)

微專題的研究一般緊緊圍繞一個目標進行，因此，時間與精力全都投入在了這唯一的目標上. 而且，教師引領(lǐng)學(xué)生圍繞目標所進行的挖掘可以由教師進行調(diào)節(jié)，因此，各個層面的學(xué)生都得到了教師的分層照顧，因材施教真正得以體現(xiàn).

案例3：不等式最值問題中換元和配湊的應(yīng)用.

●一元變量

（1）x>2，x+■的最小值為______.

●二元變量

（1）已知正數(shù)x，y滿足x+2y=2，則■的最小值為_____.

（2）已知正數(shù)x，y滿足xy+2x+y=4，則x+y的最小值為_____.

（3）已知正數(shù)x，y滿足x+y=2，則■+■的最小值為_____.

（4）已知實數(shù)x，y滿足x>y>0，x+y≤2，則■+■的最小值為_____.

（5）已知實數(shù)x，y滿足x>y>0，則x2+■的最小值為_____.

●三元變量

（1）已知正數(shù)x，y，z滿足x-2y+3z=0，則■的最小值為_____.

（2）已知正數(shù)x，y，z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當■取得最大值時，■+■-■的最大值為_____.

不同思維與能力水平的學(xué)生可以結(jié)合自身的情況在上述練習(xí)中依次感受和體驗如何換元與配湊. 題目的深化使得學(xué)生的思維也隨之逐步深化，思維能力在掌控性的練習(xí)中不斷提高.

4. 師生交往真實而活躍

人類大腦所擁有的思維當然不可能是一次性的，在思維訓(xùn)練過程中呈現(xiàn)螺旋式上升的思維活動也要不斷地經(jīng)歷批判與改造的洗禮. 微專題中所要解決的問題一般只是思維訓(xùn)練中一個微小的環(huán)節(jié)，會的學(xué)生或許可以圍繞這一環(huán)節(jié)盡情抒發(fā)自己的想法與體驗，不會的學(xué)生也會因為問題的微小而能夠具體表達出自己的困惑，對于自己的錯誤也能相對輕松地重新認識，在大而多的問題面前索性一無所知、無從下手的混沌與模糊也不至于產(chǎn)生. 正確與錯誤在短時間內(nèi)得到了辨析與探究，真理在辨析與探究中也就越發(fā)顯得清明，師生之間的交流越發(fā)顯得活躍有氛圍，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)在微專題的思維訓(xùn)練中也得到了不斷的鍛煉與優(yōu)化.