星載微推進(jìn)器推力測量中電容位移傳感器極板不平行誤差分析

王大鵬，金星，周偉靜，李南雷

(1.航天工程大學(xué) 激光推進(jìn)及其應(yīng)用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 101416；2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西 西安 710043)

0 引言

微小衛(wèi)星具有研制周期短、質(zhì)量小、發(fā)射方式靈活、成本低等優(yōu)點(diǎn)[1]，是未來衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展的趨勢之一[2]。滿足微小衛(wèi)星指向與定位精度的推力通常在微牛至毫牛量級(jí)[3]，精確測量微小推力是星載推進(jìn)器進(jìn)入工程應(yīng)用的前提[4]。目前，國內(nèi)外較通用的測量方法多是基于力的動(dòng)力效應(yīng)，將推力轉(zhuǎn)化為推力測量臺(tái)架的力學(xué)行為，如振動(dòng)幅值或轉(zhuǎn)動(dòng)位移，間接地測量推力[5]，測量精度通常在1～10 μN(yùn)量級(jí)，有的甚至達(dá)到10 nN量級(jí)[6]。

在已有的測量結(jié)構(gòu)中，扭擺結(jié)構(gòu)可消除星載推進(jìn)器重力的影響，承重能力強(qiáng)、精度高，是普遍采用的測量系統(tǒng)[7-8]。測量時(shí)，推力通過扭擺系統(tǒng)橫梁的穩(wěn)態(tài)位移(轉(zhuǎn)角)與力(或力矩)和位移(轉(zhuǎn)角)的函數(shù)關(guān)系來計(jì)算。作為測量系統(tǒng)最關(guān)鍵的直接輸出量，位移的測量誤差直接影響到推力的測量誤差。電容式位移傳感器具有結(jié)構(gòu)簡單、靈敏度高、信噪比大、響應(yīng)快、非接觸等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)精度可達(dá)到納米水平，是常用的位移傳感器之一[9]。電容式位移傳感器依據(jù)理想化平板式變極距電容原理設(shè)計(jì)，工作時(shí)探頭作為一個(gè)電極，被測導(dǎo)電對(duì)象作為另一個(gè)相對(duì)電極[10]。測量時(shí)由于橫梁的轉(zhuǎn)動(dòng)，橫梁與探頭之間存在一定的夾角，由此會(huì)產(chǎn)生極板不平行位移測量誤差，進(jìn)而導(dǎo)致推力測量誤差。為提高推力測量的精度，需要對(duì)極板不平行誤差進(jìn)行分析研究。目前已有的文獻(xiàn)主要研究電容位移傳感器的線性度、重復(fù)性、分辨率等參數(shù)的標(biāo)定方法[11-12]，缺少對(duì)極板不平行誤差分析及標(biāo)定方法的相關(guān)研究。

本文針對(duì)以上問題，首先基于電容位移傳感器的工作原理，從理論上分析了不同極板間距及夾角下傳感器的輸出特性。然后分析了橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)極板不平行誤差隨扭轉(zhuǎn)角變化的規(guī)律，確定了標(biāo)定原理。最后進(jìn)行了標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，對(duì)極板不平行誤差標(biāo)定結(jié)果與推力測量誤差的關(guān)系進(jìn)行了分析。

1 扭擺系統(tǒng)推力測量原理

典型扭擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示[13]。圖1中，橫梁為執(zhí)行部件，通過撓性樞軸(用于提供回復(fù)力)與支撐梁相連。當(dāng)推力作用于橫梁上時(shí)，橫梁在水平面由初始平衡位置開始轉(zhuǎn)動(dòng)，推力轉(zhuǎn)化為橫梁的位移(轉(zhuǎn)角)，隨著位移(轉(zhuǎn)角)的增大，推力與橫梁力逐漸趨于平衡。因此，通過測量穩(wěn)態(tài)位移(轉(zhuǎn)角)，由力(或力矩)與位移(轉(zhuǎn)角)的函數(shù)關(guān)系來計(jì)算推力。

扭擺系統(tǒng)是典型的2階質(zhì)量- 彈簧- 阻尼系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)推力與樞軸回復(fù)力實(shí)現(xiàn)力矩平衡，穩(wěn)態(tài)扭轉(zhuǎn)角均值α與平均推力F呈如下線性關(guān)系[5,14]：

(1)

式中：k為樞軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；l為推力的作用力臂。由于α的大小通常為微弧度至毫弧度量級(jí)，實(shí)際中通常以穩(wěn)態(tài)線位移ΔD與位移測量臂長L的比值ΔD/L來間接計(jì)算α(由此產(chǎn)生的相對(duì)誤差在10-13～10-7量級(jí)，大小可忽略不計(jì))：

(2)

式中：ΔD=DⅡ-DⅠ，DⅠ、DⅡ分別為傳感器在橫梁初始平衡位置Ⅰ、穩(wěn)態(tài)位置Ⅱ的輸出值。由此可見，位移的測量誤差大小直接影響推力的測量誤差大小。

2 極板不平行誤差產(chǎn)生及特性分析

測量位移時(shí)，傳感器探頭作為一個(gè)電極，橫梁作為另一個(gè)電極。橫梁在推力作用下產(chǎn)生角位移，引起傳感器極板間距及水平夾角的變化，進(jìn)而產(chǎn)生極板不平行誤差。下面具體分析極板不平行誤差的產(chǎn)生過程。

2.1 極板不平行誤差產(chǎn)生

假設(shè)初始時(shí)刻寬為w的扭擺橫梁在平衡位置Ⅰ與傳感器探頭平行，如圖2所示，在推力作用下橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)到穩(wěn)態(tài)位置Ⅱ，此時(shí)橫梁與傳感器中軸線的交點(diǎn)c轉(zhuǎn)動(dòng)到m點(diǎn)，規(guī)定橫梁逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正方向，則圖中α>0°.

(3)

2.2 極板不平行誤差特性分析

傳感器探頭中的電場屏蔽環(huán)電極保證了測量電場具有較高的均勻穩(wěn)定性，計(jì)算時(shí)可忽略邊緣效應(yīng)的影響[11]。下面在分析電容位移傳感器工作原理的基礎(chǔ)上計(jì)算極板不平行誤差的大小。

如圖3所示，傳感器探頭的有效半徑為R，軸向中心與目標(biāo)的距離為d. 假設(shè)極板間電介質(zhì)的介電常數(shù)為ε0，S為有效面積。

首先，當(dāng)探頭與目標(biāo)平行(見圖3(a))時(shí)，極板間電容值Cd(0)為

(4)

在電容上施加一個(gè)頻率為f的交流電壓，通過穩(wěn)壓電路保持電流I恒定，電容上的電壓U與d呈線性關(guān)系：

(5)

式中：XC為電容容抗。測量得到U后，通過控制電路給U乘以一定的比例η，即可輸出數(shù)字形式位移值D(0)=d：

(6)

(6)式中，ηI/(2πf)為固定值，因此傳感器輸出值D(0)與電容值Cd(0)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

實(shí)際使用中，當(dāng)測量目標(biāo)與探頭相對(duì)夾角α≠0°時(shí)，如圖3(b)所示，此時(shí)極板間電容值Cd(α)可基于(4)式沿探頭水平方向進(jìn)行積分并作泰勒級(jí)數(shù)展開，省去高階項(xiàng)求得：

(7)

令k(d,α)=1+R2tan2α/(4d2)，(7)式可簡化表示為

Cd(α)=k(d,α)Cd(0).

(8)

(8)式中，k(d,α)>1，則Cd(α)>Cd(0)，結(jié)合(6)式可得D(α)

(9)

(9)式中，由于k(d,α)>1且為偶函數(shù)，則δ(d,α)<0且為偶函數(shù)，表明傳感器參數(shù)一定時(shí)，α引起的測量相對(duì)誤差大小由d及α決定，且相對(duì)誤差大小與α方向無關(guān)。

若以圖3(b)中的α方向?yàn)檎较颍?dāng)R=3.5 mm時(shí)，求得不同d下δ(d,α)隨α(計(jì)算步長為1′)的變化規(guī)律如圖4所示。

由圖4可見，當(dāng)d不變時(shí)，δ(d,α)隨|α|值的增大而逐步減小，且d越小，δ(d,α)減小的速度越快。表明極板間距越小，極板不平行誤差對(duì)極板夾角變化越敏感。

3 極板不平行誤差標(biāo)定方法

標(biāo)定前，首先根據(jù)標(biāo)定要求確定待標(biāo)定量。然后根據(jù)待標(biāo)定量確定標(biāo)定原理，設(shè)計(jì)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)裝置。

3.1 待標(biāo)定量

(10)

式中：w/2(1/cosα-1)為寬度余弦誤差。綜合(9)式和(10)式，DII可表示為

(11)

(12)

3.2 標(biāo)定原理

(13)

(14)

(15)

即當(dāng)L=0 mm時(shí)，保持極板間距不變，傳感器測量值的減小量與旋轉(zhuǎn)角方向無關(guān)，減小量的大小為寬度余弦誤差與極板不平行誤差之和；當(dāng)L≠0 mm時(shí)，ΔD不是α的偶函數(shù)。

基于以上特性，通過ΔD關(guān)于α的對(duì)稱性可調(diào)節(jié)L到零位置，從而避免了L難以精確測量的問題，同時(shí)還可以據(jù)此將極板調(diào)節(jié)到平行狀態(tài)，解決極板的初始平行問題。

3.3 實(shí)驗(yàn)裝置及實(shí)驗(yàn)步驟

設(shè)計(jì)的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示，整個(gè)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)在光學(xué)平臺(tái)上進(jìn)行。該裝置的原理為：通過調(diào)節(jié)模塊改變測量目標(biāo)與傳感器探頭之間的相對(duì)位置后，傳感器探頭與測量目標(biāo)之間的電容值便發(fā)生變化。電容信號(hào)先經(jīng)過前置放大器放大，再經(jīng)過控制器處理形成數(shù)字位移信號(hào)輸入計(jì)算機(jī)中，計(jì)算機(jī)接收、顯示并存儲(chǔ)位移數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)中計(jì)算機(jī)置于光學(xué)平臺(tái)外，以減小操作計(jì)算機(jī)引入的干擾噪聲。

調(diào)節(jié)模塊由光學(xué)調(diào)整元件組成，直線位移臺(tái)(分辨力10 μm)用于極板間距及位移測量臂長的調(diào)節(jié)，旋轉(zhuǎn)位移臺(tái)(分辨力2′)用于極板夾角的調(diào)節(jié)，傾斜位移臺(tái)(分辨力2′)用于初始俯仰角歸零調(diào)節(jié)。測量目標(biāo)(鋁塊，寬度w=20 mm)與探頭通過光學(xué)連桿固定在位移臺(tái)上。待標(biāo)定傳感器量程Dr=1 mm，動(dòng)態(tài)分辨力30 nm，極板半徑RS=5 mm(包括電場屏蔽環(huán))，有效測量半徑R=3.5 mm.

4 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

由于α的調(diào)節(jié)步長越小，得到(α,D(α))數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，標(biāo)定精度越高，但調(diào)節(jié)步長過小，α調(diào)節(jié)精度受限且調(diào)節(jié)時(shí)間較長，綜合考慮標(biāo)定精度及α調(diào)節(jié)精度后，本文選擇0.5°為調(diào)節(jié)步長。

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

細(xì)調(diào)L，最終得到如圖9所示具有對(duì)稱性的傳感器輸出值，圖中|D(α)-D(-α)|≤0.24 μm，可見D(α)=D(-α)，表明此時(shí)完成了L=0 mm的調(diào)節(jié)。

我們已經(jīng)在今年年底，把倉位提高至6成左右了，而明年1月份市場如果還繼續(xù)下探，那我們將會(huì)繼續(xù)加大投資倉位，直至我們的私募基金全部滿倉。所以，我們對(duì)股市的價(jià)值點(diǎn)位領(lǐng)悟與分析，絕對(duì)不是說說而已，而是用實(shí)際倉位、真金白銀去證明的，這樣大家應(yīng)該也知道該如何操作了。

表時(shí)傳感器極板不平行相對(duì)誤差標(biāo)定值與理論值比較Tab.1 Comparison of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for

表2 不同下極板不平行誤差標(biāo)定值與理論值的相對(duì)偏差Tab.2 Relative deviation of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for different

標(biāo)定得到η(d,α)后，即可進(jìn)行極板不平行誤差分析。

4.2 極板不平行誤差分析

(16)

根據(jù)標(biāo)定結(jié)果η(d,α)=(1±17.4%)δ(d,α)對(duì)圖11進(jìn)行修正。η(d,α)=(1+17.4%)δ(d,α)時(shí)，整個(gè)α范圍內(nèi)極板不平行誤差最大，對(duì)應(yīng)的γp值分布如圖12所示。由圖11可得，α<0時(shí)γp>0，α>0°時(shí)γp<0，表明極板不平行誤差的存在使得位移測量值在扭轉(zhuǎn)角為負(fù)向時(shí)偏大，而在扭轉(zhuǎn)角為正向時(shí)偏小。對(duì)比圖11可知：當(dāng)α接近最小值時(shí)，γp的最大值增大到3.25%，但未超過4%；當(dāng)α接近最大值時(shí)，|γp|值逐步增大到0.04%，與傳感器的線性度誤差達(dá)到相同量級(jí)[11]，表明極板不平行誤差是電容位移傳感器響應(yīng)位移測量精度的主要因素之一。

根據(jù)標(biāo)定結(jié)果得到極板不平行誤差與扭轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律后，下面進(jìn)一步分析極板不平行誤差對(duì)推力測量精度的影響。

4.3 極板不平行誤差對(duì)推力測量精度的影響

根據(jù)(2)式，位移測量誤差EΔD對(duì)應(yīng)的推力測量誤差EF為

(17)

結(jié)合(2)式，可得極板不平行誤差對(duì)應(yīng)的推力測量相對(duì)誤差γF為

(18)

(18)式表明，極板不平行相對(duì)誤差與其對(duì)應(yīng)的推力相對(duì)誤差大小相等，減小極板不平行誤差能夠直接提高推力測量精度。根據(jù)圖12的結(jié)果，γp在橫梁接近正向最大轉(zhuǎn)角時(shí)最小，因此在測量位移時(shí)應(yīng)選擇與圖2相同的位移測量方向，使得橫梁穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)角在遠(yuǎn)離傳感器探頭以減小γp，在該測量方向，|γp|<0.04%，結(jié)合(18)式，對(duì)應(yīng)有|γF|<0.04%.

對(duì)于標(biāo)定實(shí)驗(yàn)中的傳感器，若推力作用力臂l=300 mm、樞軸剛度系數(shù)k=0.16 N/rad，則由(2)式及圖12中的結(jié)果可得不同|γF|及對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)角α值，如表3所示(計(jì)算步長2′)。

表3 不同穩(wěn)態(tài)扭轉(zhuǎn)角下推力值及極板不平行相對(duì)誤差Tab.3 Relative errors of thrust and relative non-parallelism at different steady-state torsion angles

表3只是傳感器有效半徑R=3.5 mm時(shí)α與|γF|的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)際中常會(huì)根據(jù)測量位移的大小選擇不同R值的傳感器。在扭擺參數(shù)不變時(shí)，同樣測量689.8 μN(yùn)對(duì)應(yīng)的0.074°穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)角，不同R值的傳感器得到的|γF|理論值如表4所示。

由表4可知，傳感器R越大，|γF|越大，且|γF|的增大倍數(shù)約為R增大倍數(shù)的2倍，表明在滿足扭轉(zhuǎn)角量程的前提下，應(yīng)盡量選取R較小的傳感器。根據(jù)(18)式可進(jìn)一步推斷出：對(duì)于689.8 μN(yùn)大小的推力，若要推力測量精度達(dá)到微牛以下量級(jí)水平，要求|γF|<0.15%，R<7 mm.

表4 不同傳感器有效半徑下推力測量相對(duì)誤差對(duì)比Tab.4 Comparison of relative error of measured thrust for different active measuring radii

以上分析均基于扭擺測量系統(tǒng)，對(duì)于其他測量系統(tǒng)，測量原理基本都是由測量裝置中的彈性元件提供回復(fù)力與推力平衡，推力與彈性元件形變量也是線性關(guān)系，因此(18)式中的γF=γp仍然成立。對(duì)于部分由測量元件重力提供回復(fù)力的系統(tǒng)，如吊擺結(jié)構(gòu)，測量原理[15]為

FLF=mgLmsinα，

(19)

式中：F、LF分別為推力及推力力臂；m、g、Lm分別為測量元件質(zhì)量、重力加速度及重力力臂；α為扭轉(zhuǎn)角。由于α取值為10-3rad，sinα/α-1的數(shù)值為10-7量級(jí)，可認(rèn)為sinα=α，進(jìn)而有FLF=mgLmα，同樣有γF=γp. 綜上所述，本文關(guān)于基于扭擺系統(tǒng)的分析結(jié)果也適用于其他結(jié)構(gòu)測量。

5 結(jié)論

1)極板不平行誤差與極板夾角及極板的間距大小有關(guān)，夾角值越大，間距越小，誤差越大。極板不平行誤差實(shí)際值與理論值的相對(duì)偏差與極板間距及極板傾角無關(guān)。

2)當(dāng)橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)到接近傳感器最大角度時(shí)，極板不平行誤差顯著增大。在遠(yuǎn)離傳感器的最大角度時(shí)，極板不平行的相對(duì)誤差逐步增大，數(shù)值上比遠(yuǎn)離傳感器最大角度位置的相對(duì)誤差小2個(gè)數(shù)量級(jí)。因此測量時(shí)應(yīng)使傳感器與橫梁的穩(wěn)態(tài)位置位于初始位置的對(duì)稱位置。

3)極板不平行相對(duì)誤差與其對(duì)應(yīng)的推力相對(duì)誤差大小相等。推力相對(duì)誤差的增大倍數(shù)是有效極板面積增大倍數(shù)的2倍。因此，在滿足量程的前提下，應(yīng)選擇有效極板面積較小的傳感器。

本文的研究結(jié)果為測量結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)、傳感器參數(shù)及位移測量位置的選擇進(jìn)而提高推力測量精度提供了一定的依據(jù)。提高標(biāo)定精度并采用擬合等方法處理標(biāo)定結(jié)果，是下一步需要改進(jìn)的地方。

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