基于混合分布的輪式裝載機半軸載荷譜編制

翟新婷，張曉晨，江柱錦，李鶯鶯，張 強，王繼新※

（1. 吉林大學機械科學與工程學院，長春 130025；2. 天津工程機械研究院，天津 300384；3. 廣西柳工機械股份有限公司，柳州 545000）

0 引 言

載荷譜是零部件疲勞分析的基礎[1-3]。由于載荷譜測試耗時耗力，只能通過外推的方法將有限時間內的測試載荷譜外推至全壽命周期載荷譜[4-5]。傳統(tǒng)的載荷譜編制方法采用雨流計數(shù)[6-7]對測得的載荷-時間歷程進行處理，得到均、幅值載荷及其循環(huán)頻次，進行頻次外推和合成等統(tǒng)計學處理。

在編制過程中，通常采用正態(tài)分布對均值載荷及其作業(yè)頻次進行擬合，威布爾分布對幅值載荷及其作業(yè)頻次進行擬合?；谏鲜鰡畏植?，陳東升等[8]建立了軍用車輛傳動系零件載荷譜；劉永臣等[9]建立了裝載機傳動系載荷譜；張英爽等[10]建立了工程車輛傳動系后法蘭載荷譜；高云凱等[11]提出了簡化加速車身臺架疲勞試驗程序載荷譜的編譜方法。上述文獻中的載荷數(shù)據(jù)均通過對應分布的擬合檢驗，對具有單峰載荷特征的載荷譜編制具有重要意義。而農用拖拉機、裝載機等非道路車輛的作業(yè)工況是復雜多變的，導致其承受的載荷隨機多變，并呈現(xiàn)單峰、多峰等形式?；趩畏植嫉妮d荷譜編制時，當載荷呈單峰分布時，可能存在擬合檢驗不通過的現(xiàn)象；而呈多峰分布時，很難充分反映多峰分布的特征，影響載荷數(shù)據(jù)的擬合效果，上述問題的存在直接影響載荷的外推和合成。為解決上述問題，獲得更加符合實際作業(yè)工況的載荷譜，其關鍵在于載荷分布的確定?；旌戏植季邆涠鄠€分布組合的優(yōu)勢，能夠有效提升載荷分布的擬合效果，從而彌補單分布擬合上的不足。

本文以輪式裝載機為例，研究其測試及作業(yè)段劃分方法，在傳統(tǒng)編制方法的基礎上提出一種基于混合分布的載荷譜編制方法，可為疲勞設計提供數(shù)據(jù)參考。

1 函數(shù)擬合模型介紹

假設混合總體的樣本來自 c個不同統(tǒng)計特性的分布函數(shù)，則其概率密度函數(shù)表達式為[12-13]

式中 f(x|c,λ,θ)為混合概率密度函數(shù)；fj(x|θj)為第 j個子分布函數(shù)的概率密度函數(shù)；c為子分布函數(shù)的個數(shù)；θ為各分布函數(shù)的參數(shù)集合；λj為各子分布函數(shù)的權重系數(shù)，且滿足

對應的累積分布函數(shù)為：

當c=1時，上述分布函數(shù)即為單分布函數(shù)的表達式。

2 測試半軸載荷數(shù)據(jù)分段

本試驗選取 ZL50CN型輪式裝載機，選定特性一致的石子為物料操作對象，采用“V”型作業(yè)模式，每一斗的工作循環(huán)由“空載前進”、“鏟掘”、“滿載后退”、“滿載前進”、“卸料”、“空載倒退”6個作業(yè)段組成[14]，如圖1所示，裝載機的行走路線呈“V”型。此外，在作業(yè)過程中，盡量保證料堆高度、寬度以及“V”型路線的統(tǒng)一。

圖1 輪式裝載機“V”型作業(yè)模式Fig.1 V-shaped operation modes of wheel loader

輪式裝載機循環(huán)作業(yè)過程為非平穩(wěn)隨機過程，通常認為相同作業(yè)段滿足平穩(wěn)性假設[10]，因此，有必要對裝載機的作業(yè)載荷進行作業(yè)段劃分。裝載機載荷作業(yè)段劃分的關鍵是明確各作業(yè)段裝載機的動作特征、確定相鄰作業(yè)段之間的分界點。半軸是輪式裝載機行走系統(tǒng)的重要組成部分，其疲勞失效影響整機的可靠性[15]。本文基于車速、鏟斗缸位移數(shù)據(jù)，對半軸扭矩載荷進行作業(yè)段劃分。由于裝載機在V6、V1段之間，以及V3、V4段之間的轉換是倒退-前進的動作，裝載機行駛方向發(fā)生變化，車速表現(xiàn)為先減速再增速的變化過程，因此根據(jù)車速得到V6、V1和V3、V4的分界點。然后，依據(jù)鏟斗缸位移變化數(shù)據(jù)對應得到V5段，這是因為執(zhí)行V5段時，鏟斗缸從最大位移處收縮至最小位移處。最后，由于裝載機鏟掘作業(yè)時所受載荷大且波動劇烈，因此將半軸扭矩波動較大且密集的數(shù)據(jù)段作為V2段。作業(yè)段劃分示意圖見圖2。

根據(jù)作業(yè)段劃分需求，確定半軸扭矩、鏟斗缸位移及車速為待測數(shù)據(jù)，圖3為待測件及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

試驗中采用SoMat eDAQ多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)同步采集，采用BF350-5HA型應變片組成全橋電路，利用 285系列數(shù)碼遙測系統(tǒng)的發(fā)射器與接收器共同作用實現(xiàn)半軸扭矩信號的發(fā)射和接收。針對油缸數(shù)據(jù)，通過HPS-L1-30-V5傳感器測得位移數(shù)據(jù)。此次測試系統(tǒng)采用GPS定位實現(xiàn)裝載機路徑監(jiān)控，從而得到裝載機的行駛車速數(shù)據(jù)?？紤]到裝載機的作業(yè)模式和載荷特點，連續(xù)完成100個工作循環(huán)并進行試驗數(shù)據(jù)記錄。

圖2 作業(yè)段劃分示意圖Fig.2 Schematic of section division

圖3 待測件及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Fig.3 Measured components and acquisition system

將測得的數(shù)據(jù)經過濾波、降噪處理。選用“db3”小波基函數(shù)，小波分解層數(shù)為 3，Penalty閾值對裝載機的右后半軸扭矩載荷數(shù)據(jù)進行降噪處理[16-17]，圖 4為處理后的扭矩數(shù)據(jù)。

圖4 濾波降噪后的扭矩數(shù)據(jù)Fig.4 Torque data after filtering and noise reduction

3 半軸實測載荷參數(shù)法外推

在測試過程中，測得的是扭矩信號，此處根據(jù)應力扭矩轉換公式（4），將扭矩載荷轉換為應力載荷

式中Wp=16為抗扭截面系數(shù)；ds=54 mm為半軸直徑；M為半軸所受扭矩，Nm。

3.1 均幅值載荷獨立性檢驗

將分段后的數(shù)據(jù)進行轉折點提取，采用雙參數(shù)雨流計數(shù)法，將數(shù)值小于隨機載荷歷程極差 10%的小載荷進行刪除，得到載荷的均、幅值及其頻次信息。

均、幅值載荷分布估計的目的是為了進行極值和頻次外推。首先要對載荷的均、幅值的獨立性進行檢驗[18]。根據(jù) Fisher定理，若均、幅值相互獨立，則服從自由度為(r-1)(s-1)的 χ2分布[11,19]，見式（5）。

式中 k為各作業(yè)段樣本長度；r、s為幅值和均值劃分的等級數(shù)，構成s×r階向量，即雨流矩陣向量；ki為幅值在第i級的頻次數(shù)；kj為均值在第j級的頻次數(shù)；kij為載荷循環(huán)落在第i級幅值，第j級均值的頻次數(shù)。

根據(jù) χ2分布性質可知，當自由度 m=(r-1)(s-1)＞45，該分布近似服從N(m，2m)的正態(tài)分布。因此，可根據(jù)式（6）近似得到χ2分布的上α分位點。

式中Uα查標準正態(tài)分布表。

本文對 6個作業(yè)段載荷的均、幅值均進行劃分，按照以往經驗劃分為64級[20-22]。通過雨流計數(shù)得到64×64階雨流矩陣，即r=64，s=64，χ2分布的自由度m=3 969，因此根據(jù)式（6）可近似得到該分布下的分位點(3969)=4 115.6。根據(jù)式（5）計算得到6個作業(yè)段χ2值均小于4115.6，因此可以認為在95%的置信度下6個作業(yè)段的均幅值相互獨立。

因此，相互獨立的條件下，均幅值載荷的聯(lián)合分布函數(shù)即為二者各自分布函數(shù)的乘積。

3.2 均幅值載荷分布估計

以半軸鏟掘段雨流計數(shù)數(shù)據(jù)為例，分別采用單分布和混合分布對均值和幅值載荷進行分布估計。混合分布一般由2個、3個或者多個分布組成，并且每一個子分布可由任何單一分布組成。但是當混合分布包含多個不同子分布時，對其子分布的未知參數(shù)進行估計就比較困難。因此，為簡化求解過程并降低了參數(shù)估計難度，本文采用同類雙分布。采用極大似然估計法（maximum likelihood estimation，MLE）進行單分布估計，最大期望（expectation maximum，EM）法進行混合分布估計[23-26]。MLE法和EM法都是基于似然函數(shù)最大化的原理進行的，且似然估計值越大，估計結果越好[27]。

式（7）是混合模型的似然函數(shù)；為簡化計算，對兩邊同時取對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)，見式（8）。

決定系數(shù)R2是從擬合精度的角度定量描述理論模型與對應的測試數(shù)據(jù)之間的差異[28]，且R2越接近1表明擬合效果越好，因此采用決定系數(shù)作為擬合檢驗指標。

式中f(xi)是實測載荷的概率密度值，g(xi)為理論模型的概率密度值，( xi)為理論模型在所有采樣點的概率平均值。

以V2段均值、幅值載荷以及V4段幅值載荷為例，基于參數(shù)估計值得到數(shù)據(jù)擬合直方圖，將上述分析結果以曲線擬合的形式進行展示，如圖5所示。

表 1為單雙分布模型的參數(shù)估計值及其擬合效果檢驗值。其中V1、V2、V3、V5以及V6的均、幅值雙分布的對數(shù)似然函數(shù)值均大于對應單分布的對數(shù)似然函數(shù)值，且均值雙分布函數(shù)的 R2值比對應單分布函數(shù)的 R2值分別大32%、2.3%、25.1%、40.1%和160.8%，幅值雙分布函數(shù)的R2值比對應單分布函數(shù)的R2值分別大8.3%、6.7%、1.4%、6.2%和1.2%。分析V4段數(shù)據(jù)，均值雙分布的對數(shù)似然函數(shù)值以及R2（0.995 9）均大于單分布的對應值，而幅值雙分布的對數(shù)似然函數(shù)值以及R（20.976 2）小于單分布的對應值，因此可知V4段均值采用雙分布擬合效果較佳，幅值采用單分布擬合效果較佳。

3.3 二維外推載荷譜

實際載荷測試過程中，只能得到有限量的載荷數(shù)據(jù)。為了得到全壽命周期中可能出現(xiàn)的載荷歷程，一般根據(jù)式（10）將載荷累積頻次擴展到106次。

表1 各作業(yè)段參數(shù)估計結果Table 1 Parameter estimation results for each section

表2 V2段二維載荷譜Table 2 Two-dimensional load spectrum of V2

式中N為載荷總頻次，Ni為某作業(yè)段的載荷頻次，Ni'為擴展后的載荷頻次。因此可知各作業(yè)段擴展后的頻次數(shù)分別為：76 611、391 158、189 673、149 173、745 867和118 798。

由于各段均、幅值相互獨立，且滿足相應分布的擬合要求，因此求載荷的極值可轉化為求均值、幅值分布函數(shù)的最大值。擬合檢驗值決定了載荷分布函數(shù)估計值的準確性，根據(jù)3.2節(jié)的參數(shù)估計結果，以較大的R2值作為選取標準，V1、V2、V3、V5以及V6段的均、幅值分布采用雙分布，V4段均值采用雙分布，幅值采用單分布。根據(jù)各段選定的載荷分布函數(shù)以及極值發(fā)生概率P(1/總頻次)，見式（11），計算均、幅值的極值。

式中u即為P概率對應的極大值。

根據(jù)均值、幅值的極大值，用等間隔法對均值進行劃分，不等間隔法對幅值進行劃分，各分為 8級[11]。根據(jù)選定的均、幅值分布函數(shù)建立聯(lián)合概率密度函數(shù)，從而得到對應均值、幅值載荷的循環(huán)頻次，形成二維載荷譜，以V2段為例得到其二維載荷譜，見表2。

3.4 生成一維程序譜

二維載荷譜是關于均、幅值載荷及其作業(yè)頻次的譜，在實際臺架試驗中，由于其均、幅值的變動使得加載過程繁瑣，為簡化操作，通常采用一維程序譜[7,9-11]，即均值固定，幅值變動的方式，因此本文根據(jù)Goodman原理[29]將二維載荷譜進行轉換處理，使其轉換為均值為 0的一維程序譜。

式中 τij'為等效應力幅值，MPa；τaj為第 j個應力幅值，MPa；τmi為第i個應力均值，MPa；σb為材料強度極限，MPa，本文半軸材料為20CrMnTi，σb=1 080 MPa。

轉換后得到64×2階的等效應力幅值-頻次(Si-ni)的矩陣，將等效應力幅值的最大值作為最大目標幅值，根據(jù)不等間隔法對其進行劃分，得到8級目標幅值。

基于Miner疲勞累積損傷理論[30]，總損傷D=Deq，以及材料的S-N曲線關系可得一維程序譜的加載頻次。

式中Si為等效幅值，MPa；ni為Si對應頻次；Seqj為8級目標幅值，MPa；neqj為 Seqj對應的頻次；C為材料性質常數(shù)。

根據(jù)所選材料，在 95%可靠度下，參數(shù) β取值為21.886 6[31]。從而得到各作業(yè)段的一維程序譜，見表3。

表3 半軸載荷各作業(yè)段一維程序譜Table 3 One-dimensional program loading spectrum of semi-axle load in six sections

4 結 論

1）根據(jù)裝載機“V”型作業(yè)模式，結合裝載機的動作特征，確定作業(yè)段劃分方法，實現(xiàn)了測試載荷的 6作業(yè)段劃分，滿足載荷平穩(wěn)性要求。

2）利用雨流計數(shù)法，得到64×64階的雨流矩陣，結合下分位點數(shù)值4 115.6，可知在95%的置信度下6個作業(yè)段的均值、幅值相互獨立。

3）分別采用單分布和混合分布對均值、幅值載荷進行擬合，對比結果具體表現(xiàn)為：V1，V2，V3，V5和V6段均值雙分布函數(shù)的R2值比對應單分布函數(shù)的R2值分別大32%、2.3%、25.1%、40.1%和160.8%，幅值雙分布函數(shù)的R2值比對應單分布函數(shù)的R2值分別大8.3%、6.7%、1.4%、6.2%和 1.2%。V4段幅值單分布函數(shù)的 R2值為0.995 9，該值大于對應混合分布函數(shù)的R2值0.962 2。

4）提出基于混合分布的載荷譜編制方法，選取擬合較優(yōu)的分布，即V1，V2，V3，V5和V6段均值、幅值以及 V4段均值采用混合分布，V4段幅值采用參數(shù)為（8.717 1，0.887 1，9.344 1）的威布爾分布，從而實現(xiàn)頻次的合理外推和合成，得到一維程序載荷譜。

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