神奇的念力棒

王浩輝

【摘要】念力棒是一款傳統(tǒng)的力學科學玩具，本文從念力棒的轉(zhuǎn)動原理出發(fā)，研究了其轉(zhuǎn)動特性，分析了它的力學過程，得到了轉(zhuǎn)動的基本方程，并從高頻驅(qū)動和無驅(qū)動的兩個情況下進行分析，得到了念力棒轉(zhuǎn)動角度隨時間的變化。與數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了影響念力棒轉(zhuǎn)速的因素。

【關(guān)鍵詞】念力棒 微分方程 級數(shù)解

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）11-0179-02

引言

念力棒是一款可以將振動轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動的科學玩具，其基本結(jié)構(gòu)十分簡單，由一支刻有凹槽的長條木棒和螺旋槳葉片組成，用一支棍棒用不同的速度摩擦凹槽部分即可使木棒以不同頻率振動，從而使得螺旋槳葉片發(fā)生轉(zhuǎn)動。1974年SCHNACKE利用圖畫的形式展示了該玩具的制作全過程，其專利最初于1989年由EUGENE B.CHAPMAN撰寫，專利中繪制了該玩具的基本結(jié)構(gòu)并解釋了其基本原理。迄今為止，念力棒成為了力學教學的一個工具，雖然念力棒運動的力學原理已經(jīng)明確，但是對于影響念力棒轉(zhuǎn)動的因素以及念力棒運動的精確解卻很少有人研究。念力棒的力學原理與呼啦圈的轉(zhuǎn)動原理有一定相似之處，呼啦圈的轉(zhuǎn)動主要是由轉(zhuǎn)軸的偏心引起的，其力學原理已經(jīng)基本完善，并得到了轉(zhuǎn)動方程的精確解[1]。本文從基本原理出發(fā)進行推導(dǎo)，得出念力棒運動的解析解，自主設(shè)計實驗儀器，從實驗和數(shù)值模擬兩方面探究影響念力棒轉(zhuǎn)速的因素。

力學過程分析

主軸上刻有均勻分布的凹槽，轉(zhuǎn)子固定在其頂端，水平放置的棒用于摩擦主軸。

念力棒的基本示意圖如圖 1所示，用一根棒沿著轉(zhuǎn)軸凹槽摩擦，當摩擦至每個凹槽時，螺旋槳質(zhì)量中心上會受到垂直交變驅(qū)動力。通過手指摩擦側(cè)面上的這些凹槽，也可以引入水平交變驅(qū)動力引起主軸的振動，從而帶動螺旋槳發(fā)生轉(zhuǎn)動，通過實驗觀察，螺旋槳在轉(zhuǎn)動過程中隨著摩擦速度的加快而增加其角速度，但其轉(zhuǎn)動角速度呈震蕩變化。

念力棒的模型圖如圖2所示，以轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的軌跡中心O為原點建立如上圖所示的直角坐標系。因為其研究對象主要集中在轉(zhuǎn)軸上，因此，建立以轉(zhuǎn)軸中心O'為原點的非慣性參考系，以下的計算和分析也均在非慣性系中進行。設(shè)OO'距離為l，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量為I0。

由平行軸定理得轉(zhuǎn)子繞O'轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為

I=I0+ml2 （1）

轉(zhuǎn)軸由于外力驅(qū)動在小范圍內(nèi)的運動可分解為水平和豎直兩個方向的簡諧振動，用參數(shù)方程表示有

x=Acos（ω0t+Φx）

y=Bcos（ω0t+Φy） （2）

A，B分別為兩個方向振動的振幅，而Φy-Φx是兩個方向振動的相位差。

轉(zhuǎn)子質(zhì)心受到兩個方向的非慣性力為

Fx=-max=mωAcos（ω0t+Φx）

Fy=-may=mωBcos（ω0t+Φy） （3）

設(shè)OO' 與y軸的夾角為θ，則上述兩非慣性力對于O'的力矩為

Mx=Fxlcosθ=mωAcos（ω0t+Φx）cosθ

My=Fylsinθ=mωBcos（ω0t+Φy） sinθ （4）

以念力棒轉(zhuǎn)動的角速度方向為正方向，則在豎直平面轉(zhuǎn)動時的重力矩為MG=-mglsinθ，阻力矩為Mω=-αω，正比于角速度，則轉(zhuǎn)子在非慣性系中的的轉(zhuǎn)動方程可以寫為

Iβ=Mx+My+MG+Mω （5）

其中β===是轉(zhuǎn)子的角加速度。將（4）式代入得到念力棒轉(zhuǎn)動方程

I=mωAlcos（ω0t+Φx）cosθ+mωBlcos（ω0t+Φy）sinθ-mglsinθ-α （6）

運動方程解

1.念力棒轉(zhuǎn)動的一般解

假設(shè)轉(zhuǎn)軸做圓周運動或橢圓運動，則

Φy-Φx=n+π，（n=0，1）

n=0為順時針轉(zhuǎn)動，n=1為逆時針轉(zhuǎn)動，當凹槽方向向上時做順時針轉(zhuǎn)動，凹槽方向向右時做逆時針轉(zhuǎn)動。

設(shè)A≈B，即轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動為近圓周運動，引入?yún)⒘喀?，σ=，則（6）式可化為

I+α+mglsinθ+mω[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0（7）

2.念力棒轉(zhuǎn)動的解析解

2.1阻尼系數(shù)不可忽略的情況

由于該實驗中阻尼系數(shù)較大，所以可忽略重力矩

++[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0 （8）

引入新的時間因子τ=ω0t，設(shè)γ=，κ=，ζ=

設(shè)其解的形式為θ（τ）=θ？鄢（τ）+ο（σ），其中o為高階無窮小量，θ？鄢（τ）是關(guān)于σ的級數(shù)解，精確到一階，其解為

θ？鄢（τ）=τ+θ0+σθ1（τ） （9）

取零階項時，即σ=0時，γ+κcos（θ0）=0，同時考慮阻力會減慢其轉(zhuǎn)動的速度，得

θ0=-arccos-+2kπ （10）

取一階項時，即σ=1時，（8）式化為

1+γ1-κsin（θ0）θ1+cos（θ0+2τ）=0 （11）

解得θ1為周期性的解

θ1（τ）=Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （12）

其中，C=，D=

所以，其最終解得形式為

θ（τ）=τ-arccos-+Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （13）

2.2阻尼系數(shù)較小的情況

2.2.1無驅(qū)動條件下的近似解

當阻尼系數(shù)較小，且無外力驅(qū)動時，不可忽略重力矩，轉(zhuǎn)子做阻尼轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為

I=-mglsinθ-α （14）

當轉(zhuǎn)子由水平方向釋放時，其轉(zhuǎn)動角度隨時間的變化如圖3所示。

由（17）式可知，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的角速度只與驅(qū)動頻率有關(guān)且角速度與驅(qū)動頻率成線性關(guān)系，其轉(zhuǎn)動方向可以通過摩擦主軸的方向控制。

通過數(shù)值模擬可得，當驅(qū)動頻率分別為50hz、60hz、80hz、100hz時，其轉(zhuǎn)動角度隨時間的變化如圖4所示。

結(jié)論

本文將念力棒的運動模型化，將偏微分方程做級數(shù)解并得到了念力棒在忽略重力的情況下的近似解，在無驅(qū)動和高頻驅(qū)動兩種極限情況下得到了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的解析解，其中在無驅(qū)動條件下轉(zhuǎn)子將做阻尼轉(zhuǎn)動，而高頻驅(qū)動下，念力棒轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度與驅(qū)動頻率成正比，其解的形式為 =（-1）n+1ω0。

參考文獻：

[1]郝桐生.理論力學，（第3版）[M].高等教育出版社， 2003.