基于Udwadia-Kalaba理論的隔振平臺動力學(xué)研究

黃 康，劉偉煒，王衛(wèi)榮，朱凌坤，葛新方

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009)

近年來，隨著微制造技術(shù)和精密測量技術(shù)的飛速發(fā)展，精密隔振系統(tǒng)已成為一個十分重要的研究課題。國內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)對微制造隔振平臺展開研究[1]。對于微制造隔振平臺，在其生產(chǎn)制造過程中，實驗室或工廠內(nèi)的人員走動不可避免會產(chǎn)生微小振動，這個微小振動傳遞到微振動平臺會對微制造的加工精度有一定影響，因此人行激勵對微制造平臺的影響不能忽視[2]。在此基礎(chǔ)上運用Udwadia-Kalaba方法[3-4]進(jìn)行微制造隔振平臺離散化動力學(xué)建模，將微制造隔振平臺模型簡化為簡單運動模型，并且不需要考慮整個系統(tǒng)自由度之間的耦合，過程簡單，不易出錯；另一方面，在將系統(tǒng)約束轉(zhuǎn)化為約束力的過程中不必考慮拉格朗日乘子，容易確定約束力。該方法在約束系統(tǒng)動力學(xué)建模上可廣泛應(yīng)用。最終求解得到固連結(jié)構(gòu)各質(zhì)點的位移響應(yīng)曲線，與分散結(jié)構(gòu)的各質(zhì)點位移響應(yīng)曲線對比，可以得到良好的減振效果。

1 微制造隔振平臺結(jié)構(gòu)

以長春光機(jī)所的光柵刻劃機(jī)為例介紹微制造隔振平臺的結(jié)構(gòu)，光柵刻劃機(jī)位于隔振平臺上，其整體裝置放置在一個較為密閉的實驗室內(nèi)的一個深坑中，為了保證光柵刻劃機(jī)的加工精度，在深坑的四周布置鏤空的地板，用于隔絕實驗室內(nèi)的氣流，隔振平臺下面墊有砂石等一些減振材料，具體結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 光柵刻劃機(jī)結(jié)構(gòu)裝置簡圖

在微振動隔振平臺離散化的模型中，對于每個質(zhì)點所建立的雙層隔振系統(tǒng)的第2層質(zhì)量塊之間是相互獨立的，這種結(jié)構(gòu)稱為分散結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 微制造隔振平臺分散結(jié)構(gòu)模型圖

而另一種為固連結(jié)構(gòu)，雙層隔振機(jī)構(gòu)中4個質(zhì)點的第2層簡化的質(zhì)量塊不是相互獨立的，為了進(jìn)一步減小振動的影響，使其相互固連在一起，即第2層的4質(zhì)點位于一個平面上，如圖3所示。

圖3 微制造隔振平臺固連結(jié)構(gòu)模型圖

這樣在設(shè)計之初就可認(rèn)定固連結(jié)構(gòu)對環(huán)境振動的減振效果更加明顯，而對于分散式結(jié)構(gòu)，第2層等效質(zhì)量塊各自獨立，對每個質(zhì)點的振動會造成一定的副作用，導(dǎo)致在環(huán)境振動控制方面相互影響，造成振動加劇，進(jìn)而對微制造設(shè)備的精度起破壞性的作用。

本文中平臺的質(zhì)量為m，各邊的邊長為2l。每個空氣彈簧各個方向所具有的剛度和阻尼是相同的，分別為kx、ky、kz和cx、cy、cz。

2 U-K動力學(xué)方程

無外力約束系統(tǒng)運動方程為

有外力約束系統(tǒng)運動方程為

式中：q為n維向量，表示系統(tǒng)的自由度；t為時間變量；M(q,t) 為n×n維正定矩陣；為廣義主動力矩陣；為m×n維矩陣，m為約束力的個數(shù)；為m維矩陣

由式（1）、式（2）、式（3）式可得系統(tǒng)運動方程為

3 隔振平臺結(jié)構(gòu)的簡化

對于人員的走動問題主要考慮的是豎向荷載，豎向人行荷載是由單個人體重加上一個波動周期分量，而整個人群荷載是由單個人行荷載乘以一個放大系數(shù)，綜上群荷載總的有效豎向力計算公式如下

上式中：N為任意時刻實驗室或工廠內(nèi)的人員數(shù)，fv為地板所具有的豎向固有頻率。

結(jié)合圖2所示，微制造隔振平臺整體結(jié)構(gòu)簡化成在行人激勵下的單質(zhì)點的等效模型，將雙層隔振模型與底座看作一個整體，簡化的單自由度模型見圖4。

圖4 單質(zhì)點的等效模型

其中固連結(jié)構(gòu)中m2連接在一起；分散結(jié)構(gòu)m2分散布置。

M的位移響應(yīng)曲線很容易得到；具體等效參數(shù)為N為4；M為1 000 kg；K為200N/mm；C為100N·s/mm ；fv選為2.0 Hz；然后計算所得

針對Z方向的振動，4個質(zhì)點共有8個自由度，由4個質(zhì)點的U-K動力學(xué)方程可得

4 仿真

設(shè)置具體的仿真參數(shù)，并將參數(shù)代入到MATLAB軟件中進(jìn)行仿真。

表1 仿真數(shù)據(jù)

具體的約束為：z1、z2、z3、z44個自由度位于一個平面上，而且其z10、z20、z30、z404個自由度也同樣位于一個平面上，最終確定其離散化模型的z方向8個自由度的具體的約束形式是

上式對時間求2階導(dǎo)數(shù)，可以得到2階約束形式為

將以上兩式代入有外力約束系統(tǒng)運動方程式（3）中

其中微振動隔振平臺各自由度的初始條件具體如下

根據(jù)U-K動力學(xué)方程，可得到8個自由度的位移響應(yīng)曲線，其分別是z1、z2、z3、z4、z10、z20、z30、z40。下圖為固連結(jié)構(gòu)和分散結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)曲線的對比圖，從對比圖上可以看出固連結(jié)構(gòu)能起到良好的減振作用。

圖5 z1的位移響應(yīng)曲線

圖6 z10的位移響應(yīng)曲線

5 結(jié)語

（1）從圖5、圖7、圖9、圖11對比中可以看出固連結(jié)構(gòu)與分散結(jié)構(gòu)相比，固連結(jié)構(gòu)能達(dá)到良好的減振效果；但是從圖6、圖8、圖10中可以看出，其位移響應(yīng)曲線相比原來的自由振動響應(yīng)曲線有所下降；而圖12由于約束變化較大，所以其振動響應(yīng)曲線變化比較大；

圖7 z2的位移響應(yīng)曲線

圖8 z20的位移響應(yīng)曲線

圖9 z3的位移響應(yīng)曲線

圖10 z30的位移響應(yīng)曲線

圖11 z4的位移響應(yīng)曲線

圖12 z40的位移響應(yīng)曲線

（2）由于微制造隔振平臺最終的振動響應(yīng)反映在z1、z2、z3、z44個自由度上面，從這4個自由度的對比圖上，可以清楚地看出，人群激勵所帶來的振動被固連結(jié)構(gòu)的第2層結(jié)構(gòu)所吸收，從而起到了減振作用；而分散結(jié)構(gòu)中的各個質(zhì)點由于其第2層分散結(jié)構(gòu)相互之間無約束，故起不到吸振作用；所以固連結(jié)構(gòu)相比分散結(jié)構(gòu)可以達(dá)到更好的減振效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]涂奉臣，陳照波，李華，等.新型整星隔振平臺的被動隔振性能及星箭耦合特性分析[J].航空學(xué)報，2010，31(3)：538-545.

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[3]黃康，孫順強，葛新方，等.采用Udwadia-Kalaba理論的微振動隔振平臺研究[J].西安交通大學(xué)學(xué)報，2017，51(1)：1-58.

[4]UDWADIA F.On constrained motion[J].Applied Mathematics&Computation,2005,51(2):313-320.