基于部分加速度測(cè)量的結(jié)構(gòu)Bouc-Wen非線性恢復(fù)力及質(zhì)量識(shí)別

程驕陽，許 斌，賀 佳

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410082； 2.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 廈門，361021；3.華僑大學(xué) 福建省結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門，361021)

基于重大工程結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動(dòng)力荷載下的動(dòng)力響應(yīng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行損傷識(shí)別，是土木工程領(lǐng)域前沿課題之一。在強(qiáng)動(dòng)力荷載作用后，根據(jù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)信息，運(yùn)用一定的優(yōu)化算法或分析手段識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化位置和程度，進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)中是否有損傷產(chǎn)生、損傷的定位和類型、損傷的嚴(yán)重程度進(jìn)行判別，甚至評(píng)估結(jié)構(gòu)的剩余壽命，是實(shí)現(xiàn)土木工程結(jié)構(gòu)可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵問題之一[1]。結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動(dòng)力荷載作用下發(fā)生損傷時(shí)，往往會(huì)呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性特征，通過識(shí)別非線性恢復(fù)力不僅可以獲取損傷的發(fā)展過程還可對(duì)結(jié)構(gòu)耗能進(jìn)行定量評(píng)估。識(shí)別結(jié)構(gòu)的非線性行為而不是傳統(tǒng)基于振動(dòng)測(cè)量的結(jié)構(gòu)識(shí)別算法中的剛度，對(duì)結(jié)構(gòu)災(zāi)后損傷識(shí)別具有重要意義。

結(jié)構(gòu)的非線性行為相對(duì)更為復(fù)雜，而且由于結(jié)構(gòu)材料和結(jié)構(gòu)體系的多樣性，結(jié)構(gòu)非線性行為呈現(xiàn)出較大的差異性。較線性系統(tǒng)而言，結(jié)構(gòu)非線性行為識(shí)別方法的研究時(shí)間相對(duì)較短，研究成果相對(duì)不成熟。針對(duì)非線性系統(tǒng)識(shí)別，最早的相關(guān)研究可以追溯到20世紀(jì)70年代[2]，之后，Masri和Caughey提出了著名的恢復(fù)力曲面法[3]，并推廣應(yīng)用到多自由度動(dòng)力系統(tǒng)的非線性識(shí)別[4]。Yang和Ibrahim提出了相對(duì)更加簡易的基于冪級(jí)數(shù)算法來識(shí)別振動(dòng)系統(tǒng)的非線性行為[5]。Mohammad等在其基礎(chǔ)上提出完全基于輸入輸出信息的直接參數(shù)識(shí)別法，有效識(shí)別了系統(tǒng)質(zhì)量、剛度和阻尼等具體物理參數(shù)[6]。Xu和He等提出了利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域信號(hào)，分別基于等價(jià)線性理論和冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式模型的結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力識(shí)別方法，通過數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并考慮了測(cè)量不完備和部分激勵(lì)未知時(shí)的識(shí)別方法[7-11]。許斌等研究基于切比雪夫多項(xiàng)式模型表征非線性恢復(fù)力的識(shí)別方法，獲得了精度更高的識(shí)別結(jié)果并通過含MR阻尼器和SMA阻尼器的非線性多自由度系統(tǒng)驗(yàn)證了方法的有效性[12-14]。

大多非線性識(shí)別理論均基于完整的結(jié)構(gòu)激勵(lì)和響應(yīng)信息。然而，在環(huán)境特殊、結(jié)構(gòu)復(fù)雜情況下，由于傳感設(shè)備布置的局限性，結(jié)構(gòu)完整時(shí)域信息往往難以獲得且含有不同程度噪聲?；跔顟B(tài)空間模型的遞推最小方差估計(jì)的卡爾曼濾波算法(Extended Kalman Filter，EKF)為解決這類問題提供了途徑。Andrew提出基于EKF僅利用測(cè)量的加速度信息，進(jìn)行濾波、估計(jì)即識(shí)別出結(jié)構(gòu)參數(shù)[15]。Hoshiyam等在EKF的基礎(chǔ)上提出了一種加權(quán)全局迭代的新方法，提高了識(shí)別精度[16]。尚久銓等針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，采用縮減變量EKF進(jìn)行降價(jià)處理，大大提升了計(jì)算效率[17]。Yang等學(xué)者提出了一種自適應(yīng)追蹤技術(shù)，結(jié)合最小二乘法識(shí)別未知激勵(lì)與結(jié)構(gòu)參數(shù)，且有效應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)[18-19]。Lei等研究了基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)中橡膠隔震支座的非線性恢復(fù)力識(shí)別方法，通過數(shù)值模擬進(jìn)行驗(yàn)證[20-22]。這類非線性結(jié)構(gòu)識(shí)別方法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)均是在結(jié)構(gòu)質(zhì)量已知的前提下進(jìn)行的。然而在實(shí)際工程中，估算質(zhì)量的誤差會(huì)嚴(yán)重影響其他物理參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性，研究僅利用部分響應(yīng)信息對(duì)包括質(zhì)量在內(nèi)的結(jié)構(gòu)非線性行為進(jìn)行識(shí)別的方法更具一般意義。

針對(duì)傳統(tǒng)EKF在識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性特性時(shí)需要已知結(jié)構(gòu)質(zhì)量，而基于最小二乘法的非線性恢復(fù)力識(shí)別方法須已知結(jié)構(gòu)完整的響應(yīng)信息的問題，本文提出一種結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)及非線性恢復(fù)力識(shí)別方法。首先利用質(zhì)量估計(jì)值和部分觀測(cè)加速度通過EKF預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)完整的響應(yīng)信息，再基于最小二乘法識(shí)別結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)（剛度、阻尼、非線性參數(shù)）進(jìn)而得到非線性恢復(fù)力。通過對(duì)初始質(zhì)量進(jìn)行修正，循環(huán)迭代至收斂，最終實(shí)現(xiàn)了對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量和非線性恢復(fù)力的識(shí)別。通過在一個(gè)多自由度系統(tǒng)中引入Bouc-Wen磁流變阻尼器形成非線性結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，在質(zhì)量初始誤差不同并混入測(cè)量噪聲的情況下進(jìn)行數(shù)值模擬，證明該方法的有效性和抗噪性。

1 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(EKF)

EKF算法具有預(yù)測(cè)和校正的功能，它適用于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)和模型辨識(shí)。利用部分觀測(cè)信息，通過濾波估計(jì)，識(shí)別非線性系統(tǒng)的時(shí)程響應(yīng)和物理參數(shù)。

一個(gè)多自由度非線性結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式(2)、式(3)中：Xk、Yk分別為狀態(tài)向量和觀測(cè)向量，Wk、Vk分別為過程噪聲和測(cè)量噪聲，通常假定為零均值高斯白噪聲，且協(xié)方差矩陣分別為Qk、Rk。

g[X(t)，f(t)，t]可由狀態(tài)向量X(t)對(duì)時(shí)間求1階導(dǎo)并結(jié)合式(1)推導(dǎo)出。

h(Xk,fk,tk)是基于tk時(shí)刻狀態(tài)向量Xk和fk觀測(cè)量的函數(shù)。

EKF算法在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)包括時(shí)間更新和測(cè)量更新兩個(gè)過程。遞歸算法通過在以下步驟的循環(huán)中實(shí)現(xiàn)。假設(shè)tk時(shí)刻的狀態(tài)向量初始值相應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣為Pk|k。

1)時(shí)間更新過程

（2）預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣Pk+1|k

其中：Φk+1|k是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可由下式獲得

2)測(cè)量更新過程

（1）計(jì)算第k+1步的卡爾曼增益矩陣Kk+1

觀測(cè)方程的系數(shù)矩陣Hk+1由下式求得

（2）用觀測(cè)量更新tk+1=（k+1）t時(shí)刻的狀態(tài)向量預(yù)估值，可以得到經(jīng)過濾波估計(jì)后的狀態(tài)向量

（3）更新誤差協(xié)方差

（4）令k=k+1，重復(fù)以上步驟直至k=s，s為觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)。

EKF算法通過以上兩個(gè)過程的循環(huán)迭代，利用已知質(zhì)量和有限的觀測(cè)量，在獲得結(jié)構(gòu)完整的時(shí)程響應(yīng)的同時(shí)通過遞歸求解得到結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2 基于最小二乘法的非線性恢復(fù)力識(shí)別方法

對(duì)s層作用有外激勵(lì)的任意n自由度集中質(zhì)量非線性動(dòng)力系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程可寫為

其中：mi、ki、ci分別為第i層的質(zhì)量、剛度和阻尼，分別為結(jié)構(gòu)第i層加速度、速度、位移響應(yīng)，Ri為i層的非線性恢復(fù)力且是關(guān)于位移、速度、加速度的函數(shù)，fs為s層作用的外激勵(lì)。分別為第n個(gè)和第n-1個(gè)自由度之間的相對(duì)位移和速度即

根據(jù)基于有限元列式的參數(shù)模型，每個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)方程均可表示為

式中：H矩陣為響應(yīng)矩陣，由式中的位移、速度、加速度響應(yīng)構(gòu)成；λ為待識(shí)別的系數(shù)向量；P為外激勵(lì)向量；下標(biāo)m為采樣點(diǎn)數(shù)，L為待識(shí)別參數(shù)個(gè)數(shù)。

利用最小二乘法，結(jié)構(gòu)參數(shù)可由下式識(shí)別

對(duì)于第s層，根據(jù)激勵(lì)及相應(yīng)的響應(yīng)可識(shí)別出各未知參數(shù)。對(duì)于未受激勵(lì)的自由度的運(yùn)動(dòng)方程，右邊為0，無法直接運(yùn)用最小二乘法，但可第k層的識(shí)別結(jié)果，且有

可代入s+1，s-1層方程，識(shí)別對(duì)應(yīng)參數(shù)，依此類推，可以識(shí)別出結(jié)構(gòu)剩余未知參數(shù)。

此方法可根據(jù)完整的時(shí)程響應(yīng)信息識(shí)別出非線性系統(tǒng)各自由度的質(zhì)量和總非線性恢復(fù)力。

3 基于EKF和最小二乘法的質(zhì)量及非線性恢復(fù)力識(shí)別方法

傳統(tǒng)EKF在識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性特性時(shí)往往依賴已知的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，基于最小二乘法的非線性恢復(fù)力識(shí)別方法須知完整的響應(yīng)信息。根據(jù)以上兩種方法特點(diǎn)，本文提出一種結(jié)合兩者的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)及非線性恢復(fù)力的迭代識(shí)別方法。

在第j次迭代過程中，基于部分加速度觀測(cè)值A(chǔ)m和質(zhì)量估計(jì)值，完整的速度和位移時(shí)程可通過EKF算法獲得，上標(biāo)j表示第j次迭代。未觀測(cè)的加速度信息可由EKF的識(shí)別結(jié)果計(jì)算得到。基于已獲得系統(tǒng)完整的響應(yīng)時(shí)程信息通過最小二乘法對(duì)質(zhì)量分布進(jìn)行識(shí)別，獲得質(zhì)量更新值借鑒增量補(bǔ)償思想，引入學(xué)習(xí)因子γ∈(0,1)利用識(shí)別值對(duì)初始質(zhì)量分布進(jìn)行修正。

基于EKF和最小二乘法，通過迭代更新質(zhì)量，在誤差允許范圍內(nèi)，可獲得最終的質(zhì)量收斂值。利用質(zhì)量收斂值mc，通過EKF算法識(shí)別出最終的時(shí)程響應(yīng)信息和全部結(jié)構(gòu)參數(shù)（剛度、阻尼、非線性參數(shù)）和非線性恢復(fù)力。

其具體步驟如下：

(2)利用步驟(1)的識(shí)別值，通過逆運(yùn)算得到未知加速度時(shí)程

(3)由步驟(1)和(2)獲得的完整時(shí)程信息，基于最小二乘法獲得質(zhì)量更新值

(5)基于質(zhì)量收斂值mc，識(shí)別出最終時(shí)程響應(yīng)信息、結(jié)構(gòu)參數(shù)和非線性恢復(fù)力。

步驟流程如圖1所示。

4 數(shù)值算例

4.1 計(jì)算模型與參數(shù)

如圖2所示，以一個(gè)4自由度集中質(zhì)量鏈?zhǔn)襟w系作為數(shù)值模型來驗(yàn)證方法的有效性和魯棒性。在結(jié)構(gòu)的第4層引入一個(gè)Bouc-Wen模型的磁流變阻尼器[23]來模擬結(jié)構(gòu)非線性特性。Bouc-Wen阻尼器易于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，通用性強(qiáng)，能反映各種滯回曲線。其滯回特性由以下運(yùn)動(dòng)方程表示

其中：K、C分別為結(jié)構(gòu)整體的剛度矩陣和阻尼矩陣，滯回位移向量z具有遺傳特性，其值變化取決于上一時(shí)刻的位移，且滿足

式中：n、β和γ為Bouc-Wen滯回參數(shù)，通過調(diào)整參數(shù)值可以控制滯回曲線的形狀。

計(jì)算模擬中表征非線性系統(tǒng)性能的物理參數(shù)取值見表1，其中i=1,2,3,4。

采用隨機(jī)激勵(lì)，水平作用在第3個(gè)自由度上，時(shí)長為8 s，其時(shí)域圖如圖3所示。

圖1 迭代算法流程圖

圖2 計(jì)算模型

表1 數(shù)值模型參數(shù)

結(jié)構(gòu)的時(shí)程響應(yīng)采用4階～5階Runge-Kutta算法積分計(jì)算，積分步長為0.000 5秒。

識(shí)別過程中，EKF算法的結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量定義為

計(jì)算模型中由于只有第4層有非線性力，因此zi=xi(i=1,2,3)可在狀態(tài)向量中省略。ki、ci、n、β和γ分別為待識(shí)別的阻尼、剛度和非線性參數(shù)向量。對(duì)t求1階導(dǎo)數(shù)后，狀態(tài)方程為

圖3 結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)荷載時(shí)程

測(cè)量第2、第3、第4個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)上的加速度，為驗(yàn)證方法的魯棒性，在觀測(cè)向量中混入5%高斯白噪聲。在觀測(cè)方程中

其中：D為加速度觀測(cè)的位置矩陣。

本文中學(xué)習(xí)因子取為0.5，ε取為0.001。

4.2 工況1（質(zhì)量初始誤差為±10%)

由誤差為±10%的質(zhì)量初始值，通過文中方法獲得質(zhì)量的收斂值。圖4表示質(zhì)量收斂過程。

可以看出各自由度的集中質(zhì)量均能隨著迭代步數(shù)增加較好收斂于真實(shí)值，最終結(jié)果及誤差如表2所示。

質(zhì)量收斂后，由質(zhì)量識(shí)別結(jié)果再次利用EKF算法，可識(shí)別出結(jié)構(gòu)速度位移響應(yīng)信息，并與算例真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5、圖6?？梢?，速度和位移識(shí)別結(jié)果與真實(shí)值吻合很好。

在迭代過程中，利用最小二乘法識(shí)別方法時(shí)，需要知道完整的時(shí)程信息，其中未觀測(cè)到的1層加速度信息是由前一步EKF方法獲得識(shí)別結(jié)果反算得到。隨著質(zhì)量逐漸逼近真實(shí)值，1層加速度的估計(jì)值也愈加精確，圖7表示在最后一步迭代時(shí)獲得加速度與真實(shí)值的對(duì)比。最終獲得的結(jié)構(gòu)參數(shù)(剛度、阻尼、非線性參數(shù))與真實(shí)值的對(duì)比以及計(jì)算得到的相對(duì)誤差結(jié)果見表3。

表2 質(zhì)量分布識(shí)別結(jié)果

可以發(fā)現(xiàn)，在部分觀測(cè)加速度響應(yīng)混入5%噪聲的情況下各參數(shù)均有較好的識(shí)別精度，最大的識(shí)別誤差也保持在2.5%之內(nèi)。

根據(jù)識(shí)別得到的參數(shù)信息，可得到結(jié)構(gòu)第四層Bouc-Wen阻尼器提供的非線性恢復(fù)力，并與真實(shí)值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖8所示。

可以看出，阻尼器所提供的阻尼力的識(shí)別值與真實(shí)值非常接近。

4.3 工況2（質(zhì)量初始誤差為±15%)

工況2將初始質(zhì)量的預(yù)估誤差提高到±15%范圍，同樣在結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)中添加了5%的噪聲，利用本方法獲得的質(zhì)量識(shí)別結(jié)果收斂曲線如圖9所示。各層質(zhì)量收斂值及誤差見表4。

結(jié)構(gòu)各層位移和速度響應(yīng)以及未觀測(cè)層的加速度響應(yīng)時(shí)程以及與真實(shí)值的比較如圖10至圖12所示。

從對(duì)比可以看出，質(zhì)量的識(shí)別結(jié)果具有很強(qiáng)的收斂性和穩(wěn)定性，同時(shí)速度和位移響應(yīng)時(shí)程識(shí)別結(jié)果也與真實(shí)情況高度吻合。結(jié)構(gòu)各參數(shù)包括質(zhì)量、剛度、阻尼、非線性參數(shù)的識(shí)別結(jié)果如表5所示。

阻尼識(shí)別的相對(duì)誤差稍大，但是即使在5%的噪聲等級(jí)下也只有2.55%的識(shí)別誤差，參數(shù)識(shí)別仍具有很高的精度。Bouc-Wen阻尼器非線性恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果與真實(shí)值的比較如圖13所示。

圖4 質(zhì)量收斂曲線圖

圖5 結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)識(shí)別結(jié)果

圖6 結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)識(shí)別結(jié)果

顯然，即使在質(zhì)量初始誤差為±15%的情況下，本方法也可以很好識(shí)別結(jié)構(gòu)質(zhì)量、非測(cè)量加速度響應(yīng)、速度和位移響應(yīng)以及結(jié)構(gòu)的非線性恢復(fù)力。

5 結(jié)語

結(jié)合EKF和最小二乘法算法，本文提出了一種僅利用外激勵(lì)及結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)加速度信息的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)和非線性恢復(fù)力識(shí)別迭代方法。

表3 結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖7 第1層加速度響應(yīng)識(shí)別值

圖8 MR阻尼器恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果

圖9 質(zhì)量收斂曲線圖

表4 質(zhì)量分布識(shí)別結(jié)果

通過對(duì)一個(gè)含Bouc-Wen磁流變阻尼器的4自由度體系的非線性模型進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了方法的有效性。同時(shí)為證明該方法的魯棒性，在觀測(cè)的加速度響應(yīng)信息中混入5%的高斯白噪聲，并在質(zhì)量初始誤差在±10%、±15%情況下識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)和非線性恢復(fù)力。結(jié)果表明，在隨機(jī)激勵(lì)作用下，該方法僅利用部分自由度上的加速度觀測(cè)信息，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)（剛度、阻尼、非線性參數(shù)）和Bouc-Wen阻尼器提供的非線性恢復(fù)力的識(shí)別，識(shí)別精度高且具有良好的抗噪性。

本文所提出的方法可利用結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的部分加速度響應(yīng)測(cè)量，識(shí)別結(jié)構(gòu)中非線性恢復(fù)力，可以用來直接反映動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)生、發(fā)展過程，而且非線性恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果可對(duì)結(jié)構(gòu)耗能和損傷程度進(jìn)行定量評(píng)估，對(duì)工程結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動(dòng)力荷載作用下的損傷狀態(tài)和性能診斷具有重要意義。

表5 結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖10 結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)識(shí)別結(jié)果

圖11 結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)識(shí)別結(jié)果

圖12 第一層加速度響應(yīng)識(shí)別值

圖13 MR阻尼器恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果

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