一種基于壓電堆執(zhí)行器的柔性結(jié)構(gòu)滯后補(bǔ)償PID控制

賴俊杰，浮 潔，李沛東，白俊峰，余 淼

（重慶大學(xué) 光電工程學(xué)院光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044）

實(shí)際工程中，房屋、橋梁、航天器連接構(gòu)件等柔性結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)極其敏感[1-2]。振動(dòng)會(huì)造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)損傷甚至破壞，因此振動(dòng)控制非常重要。傳統(tǒng)被動(dòng)隔振（橡膠或液壓隔振器）結(jié)構(gòu)簡單，對(duì)高頻振動(dòng)衰減效果明顯但自適應(yīng)性差。因此對(duì)具有多頻激勵(lì)的柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制效果不佳。壓電陶瓷執(zhí)行器由于響應(yīng)速度快、輸出力大等優(yōu)點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制研究中受到極大關(guān)注。與壓電片相比，壓電堆具有更大的輸出力，將其作為執(zhí)行器可以很好地實(shí)現(xiàn)柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制[3]。

執(zhí)行器結(jié)構(gòu)、安裝位置和控制系統(tǒng)的硬件組成等一旦確定，振動(dòng)抑制效果與控制算法有直接的關(guān)系。根據(jù)算法與控制對(duì)象模型的相關(guān)性分為依賴于模型的算法和不依賴于模型的算法。依賴于模型的算法諸如LQR、H∞等[4-6]可求出精確的控制參數(shù)，但要求對(duì)象模型精確已知。不依賴于模型的算法包括PID、模糊控制[7-8]等與對(duì)象模型無關(guān)。其中PID控制器由于結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用在機(jī)械，自動(dòng)化，電力能源等領(lǐng)域[9]。

柔性結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中存在較大的相位滯后，主要影響因素有：

(1)為消除控制系統(tǒng)中存在的噪聲干擾（硬件系統(tǒng)數(shù)模輸出端存在高頻噪聲、信號(hào)發(fā)生器和功率放大器的輸出存在紋波失真、信號(hào)調(diào)理器中存在非線性失真、試驗(yàn)環(huán)境中人員走動(dòng)、空調(diào)壓縮機(jī)運(yùn)行與建筑物擺動(dòng)、信號(hào)傳輸線屏蔽效果不佳等），需引入帶通濾波器，從而使控制信號(hào)產(chǎn)生相位偏移。

（2）反饋點(diǎn)與控制點(diǎn)位置不同，引起振動(dòng)信號(hào)與控制信號(hào)之間的相位滯后，其為控制系統(tǒng)產(chǎn)生滯后的主要因素。

（3）柔性結(jié)構(gòu)與壓電堆等機(jī)械系統(tǒng)的響應(yīng)也存在滯后。相位滯后會(huì)影響振動(dòng)控制效果，甚至放大振動(dòng)。而常規(guī)的PID控制器難以解決該問題?，F(xiàn)有針對(duì)相位滯后的補(bǔ)償方法如Dahllin算法，Smith預(yù)估算法[10-11]，內(nèi)?？刂扑惴ǎ↖MC）[12-13]等均需通過對(duì)象數(shù)學(xué)模型預(yù)估來消除相位滯后，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的柔性結(jié)構(gòu)來說很難建立其精確的數(shù)學(xué)模型。

此外，柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的激勵(lì)常為多頻振動(dòng)，且滯后補(bǔ)償大小與激勵(lì)頻率有關(guān)。因此，單一的滯后補(bǔ)償PID控制器難以達(dá)到滿意的控制效果。本文提出采用分頻滯后補(bǔ)償PID控制方法，即通過帶通濾波器組對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行窄帶濾波從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分頻[14]。

基于以上分析，本文針對(duì)具有相位滯后的柔性結(jié)構(gòu)多頻振動(dòng)問題，提出相位滯后補(bǔ)償PID控制方法，通過理論分析和實(shí)驗(yàn)辨識(shí)出激勵(lì)頻率和相位滯后補(bǔ)償值間函數(shù)關(guān)系。并針對(duì)多頻率振動(dòng)問題進(jìn)行分頻控制，實(shí)現(xiàn)多頻振動(dòng)的抑制。所提方法無需建立柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的精確模型且易于實(shí)現(xiàn)。

1 柔性梁結(jié)構(gòu)模態(tài)仿真與試驗(yàn)

基于壓電執(zhí)行器的柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如圖1所示，系統(tǒng)由簡支梁、壓電堆和基礎(chǔ)三部分組成。其中簡支梁（304不銹鋼材質(zhì)、長600 mm、寬50 mm、厚2 mm）模擬柔性結(jié)構(gòu)，壓電執(zhí)行器采用40VS12型機(jī)械封裝式壓電陶瓷。為了保證壓電執(zhí)行器在垂直方向工作，通過聚氯乙烯螺桿將其安裝在梁中央處（圖1中位置2處）。

由于壓電執(zhí)行器的放置會(huì)使簡支梁約束增加從而改變系統(tǒng)振動(dòng)特性。為獲得簡支梁振動(dòng)控制系統(tǒng)精確的振動(dòng)特性（振型和共振頻率），需對(duì)安裝有壓電執(zhí)行器的柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析。本節(jié)將通過ANSYS仿真和掃頻試驗(yàn)進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1.1 柔性梁結(jié)構(gòu)模態(tài)仿真

通過ANYSY/Workbench對(duì)簡支梁主動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行建模，得到如圖2所示的振型圖。

圖1 壓電堆主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)

圖2 柔性梁控制系統(tǒng)

由圖可知梁的位置1、3處均為1、2階模態(tài)共振峰位置點(diǎn)，振動(dòng)頻率分別為71.76 Hz和83.45 Hz，且2階模態(tài)振幅最大，最大值約為70 mm。由于3階及以上模態(tài)振型峰值較小，因此只考慮柔性梁前2階模態(tài)。

1.2 簡支梁模態(tài)試驗(yàn)

為驗(yàn)證仿真模態(tài)分析的正確性，搭建如圖3所示的柔性梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性測試系統(tǒng)。半實(shí)物仿真平臺(tái)dSPACE AutoBox產(chǎn)生掃頻信號(hào)通過功率放大器驅(qū)動(dòng)激振器激振柔性梁系統(tǒng)。加速度傳感器獲取柔性梁振動(dòng)加速度經(jīng)信號(hào)調(diào)理器進(jìn)入半實(shí)物仿真平臺(tái)中，并通過上位機(jī)記錄分析數(shù)據(jù)。根據(jù)理論模態(tài)分析結(jié)果確定掃頻范圍為20 Hz～200 Hz，掃頻結(jié)果如圖4所示。

圖3 柔性梁模態(tài)分析實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖4 柔性梁掃頻結(jié)果頻譜分析

由圖4可知，1階、2階共振頻率分別為70 Hz和95 Hz，且在2階共振頻率處梁振動(dòng)幅度最大，為其主導(dǎo)模態(tài)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果相近，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

2 具有滯后補(bǔ)償?shù)姆诸lPID控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)柔性結(jié)構(gòu)中存在的延時(shí)和多頻激勵(lì)問題，設(shè)計(jì)如圖5所示的分頻滯后補(bǔ)償PID控制器。多頻加速度誤差信號(hào)經(jīng)過不同帶通濾波器后被分離為多路單頻加速度信號(hào)，然后對(duì)單頻信號(hào)分別進(jìn)行相位滯后補(bǔ)償，最后基于線性疊加原理將補(bǔ)償后的信號(hào)混疊經(jīng)PID控制器中進(jìn)行控制。

2.1 PID控制器

PID控制器的原理圖如圖5所示，其輸入為簡支梁位置3處的加速度誤差，輸出為壓電堆的驅(qū)動(dòng)電壓。由誤差比例部分kpe(t)、積分部分ki∫e(t)dt和微分部分組成

式中：e(t)=0-a(t)=-a(t)為系統(tǒng)加速度誤差信號(hào)，a(t)為簡支梁位置3處的加速度響應(yīng)信號(hào)，u(t)為控制器的輸出電壓，kp、ki和kd分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。

PID控制器結(jié)構(gòu)簡單，無需對(duì)柔性梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確建模，但其魯棒性較差，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)存在的噪聲和相位差十分敏感，因此，將結(jié)合濾波和相位補(bǔ)償方法進(jìn)行噪聲和延時(shí)控制。

2.2 滯后補(bǔ)償理論

柔性結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中存在的總延時(shí)Φ(f)由帶通濾波器產(chǎn)生的相位偏移Φ1(f) 、反饋點(diǎn)（圖1（a）中1）與控制點(diǎn)（圖1（a）中2）位置不同所引起振動(dòng)信號(hào)與控制信號(hào)之間產(chǎn)生的相位滯后Φ2(f)、結(jié)構(gòu)本身響應(yīng)延時(shí)Φ3(f)組成，即Φ(f)=Φ1(f)+Φ2(f)+Φ3(f)，其中f為激振信號(hào)頻率。

本文采用圖3所示的測試系統(tǒng)獲得系統(tǒng)相位差。dSPACE中分別產(chǎn)生70 Hz、80 Hz、95 Hz、125 Hz單頻正弦信號(hào)，信號(hào)通過壓電驅(qū)動(dòng)器放大以驅(qū)動(dòng)壓電堆振動(dòng)從而激振柔性梁結(jié)構(gòu)。安裝在梁1/4處的加速度傳感器測得柔性梁振動(dòng)加速度信號(hào)，并通過調(diào)理器將其轉(zhuǎn)換為電信號(hào)。將加速度信號(hào)上傳至上位機(jī)，在上位機(jī)中通過比較單頻正弦激振信號(hào)與加速度信號(hào)可得控制系統(tǒng)對(duì)不同激振頻率信號(hào)產(chǎn)生的滯后相位Φ(f)。測試結(jié)果如表1所示。

圖5 柔性結(jié)構(gòu)分頻相位補(bǔ)償PID控制系統(tǒng)

表1 滯后相位角

根據(jù)表1中不同激勵(lì)信號(hào)頻率下的相位差值，結(jié)合各頻率信號(hào)周期可擬合出滯后補(bǔ)償量與信號(hào)頻率之間的函數(shù)關(guān)系見式（2）。

其中：n為單頻激勵(lì)加速度信號(hào)周期，n∈N。n的大小不影響滯后補(bǔ)償后系統(tǒng)控制效果。計(jì)算出各頻率點(diǎn)的滯后補(bǔ)償值如表2所示。

表2 滯后補(bǔ)償時(shí)間

為便于補(bǔ)償控制系統(tǒng)中的相位差，可將其隨激振頻率的變化關(guān)系轉(zhuǎn)換為滯后時(shí)間和激勵(lì)頻率的關(guān)系。根據(jù)表2對(duì)激勵(lì)頻率與滯后補(bǔ)償時(shí)間進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果如圖6所示。由圖6可得擬合公式

圖6 滯后補(bǔ)償時(shí)間與激勵(lì)頻率間函數(shù)關(guān)系

其中td(f)為滯后補(bǔ)償時(shí)間。根據(jù)上式可求出各激勵(lì)頻率下系統(tǒng)需補(bǔ)償?shù)臏髸r(shí)間。

不同的激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)著不同的相位補(bǔ)償器。多頻振動(dòng)激勵(lì)內(nèi)存在多種頻率成分，若只采用一種相位補(bǔ)償器，某些頻率成分的振動(dòng)可能會(huì)被放大，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩。為此本文基于線性系統(tǒng)的疊加原理設(shè)計(jì)了如圖5所示的分頻相位補(bǔ)償PID控制器。

2.3 帶通濾波的設(shè)計(jì)

帶通濾波器在系統(tǒng)中有兩個(gè)作用：其一，濾除信號(hào)傳輸過程中的噪聲干擾；其二，由于加速度信號(hào)滯后與激勵(lì)頻率相關(guān)，因此可通過帶通濾波器分離信號(hào)進(jìn)行滯后補(bǔ)償。帶通濾波器會(huì)導(dǎo)致加速度信號(hào)相位失真，本文選取有限沖擊響應(yīng)（FIR）濾波器保證滯后與信號(hào)頻率間的線性關(guān)系。為減少實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中振動(dòng)加速度信號(hào)幅值失真對(duì)控制效果的影響，帶通濾波器通帶區(qū)內(nèi)采用波動(dòng)幅度為0.3 dB的等紋波設(shè)計(jì)。考慮滯后補(bǔ)償?shù)臏?zhǔn)確性和硬件實(shí)現(xiàn)條件，所設(shè)計(jì)的窄帶帶通濾波器參數(shù)如表3所示。

表3 各帶通濾波器參數(shù)設(shè)置

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

由于實(shí)際應(yīng)用中柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)常發(fā)生多頻振動(dòng)，因此主要考慮雙頻和三頻激勵(lì)振動(dòng)情況。激勵(lì)為70 Hz(1階共振頻率)、80 Hz、95 Hz(2階共振頻率)、125 Hz等頻率成分的組合，控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖7所示。

圖7 具有分頻相位補(bǔ)償?shù)腜ID控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

考慮到硬件條件的限制，試驗(yàn)中濾波器采樣頻率為1 800 Hz，滯后補(bǔ)償在MATLAB/Simulink軟件中通過“Transport Delay”時(shí)域延時(shí)模塊實(shí)現(xiàn)，并將加速度作為試驗(yàn)振動(dòng)衰減評(píng)定參數(shù)。

3.1 雙頻激勵(lì)振動(dòng)控制

雙頻激勵(lì)條件（70 Hz+80 Hz、70 Hz+95 Hz、80 Hz+95 Hz、80 Hz+125 Hz）下確定PID控制器參數(shù)如表4所示，此參數(shù)為70 Hz+95 Hz條件下最優(yōu)參數(shù)。具有滯后補(bǔ)償?shù)腜ID控制器控制效果及壓電堆控制電壓見圖8－圖9，雙頻混合激勵(lì)在常規(guī)PID控制器與分頻滯后補(bǔ)償PID控制器控制前后加速度均方根值及衰減如表5所示。

由振動(dòng)控制前后加速度頻譜圖和表5可知分頻滯后補(bǔ)償后柔性梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)衰減相較常規(guī)PID控制效果明顯，特別在1、2階共振頻率處最大衰減均可達(dá)40%以上。

3.2 三頻激勵(lì)振動(dòng)控制

本節(jié)研究三頻激勵(lì)條件（70 Hz+80 Hz+95 Hz、70 Hz+80 Hz+125 Hz）下控制器的控制效果、控制器參數(shù)如表6所示，此參數(shù)為70 Hz+80 Hz+95 Hz條件下最優(yōu)參數(shù)。分頻滯后補(bǔ)償PID控制器的控制效果及壓電堆控制電壓如圖10所示，各三頻混合激勵(lì)的PID控制器參數(shù)如表6所示，三頻混合激勵(lì)在常規(guī)PID控制器與分頻滯后補(bǔ)償PID控制器控制前后加速度均方根值及衰減如表7所示。因此經(jīng)過相位補(bǔ)償后的PID分頻控制器可有效衰減多頻混疊振動(dòng)，特別是使包含共振頻率的振動(dòng)加速度衰減最高達(dá)40%以上。

4 結(jié)語

針對(duì)具有多頻激勵(lì)和延時(shí)的柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題，提出分頻相位補(bǔ)償PID控制方法。通過理論模態(tài)分析和試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析確定柔性梁的1階模態(tài)頻率（70 Hz）和2階主導(dǎo)模態(tài)頻率（95 Hz）。通過實(shí)驗(yàn)測試及數(shù)據(jù)擬合得出各頻率點(diǎn)滯后補(bǔ)償與激勵(lì)頻率的函數(shù)關(guān)系，設(shè)計(jì)了分頻滯后補(bǔ)償PID控制器。搭建試驗(yàn)系統(tǒng)并與常規(guī)PID控制器控制效果對(duì)比，驗(yàn)證了多頻振動(dòng)條件下所設(shè)計(jì)控制器的有效性，其中加速度均方根最大衰減可達(dá)45%，證明所設(shè)計(jì)控制器能較好抑制柔性梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。10-19.

圖8 70 Hz+95 Hz雙頻激勵(lì)控制效果

圖9 70 Hz+80 Hz雙頻激勵(lì)控制效果

表5 雙頻激勵(lì)條件下分頻相位補(bǔ)償前后加速度均方值及衰減率對(duì)比

表6 三頻激勵(lì)條件下PID控制器參數(shù)

表7 三頻激勵(lì)下分頻滯后補(bǔ)償前后加速度均方值及衰減率對(duì)比

圖10 70 Hz+80 Hz+95 Hz三頻激勵(lì)控制效果

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