壓電陶瓷片遲滯補(bǔ)償建模及懸臂梁主動(dòng)控制研究

方 遠(yuǎn)，劉樹勇，楊理華，蘇 攀

（1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033；2.海軍潛艇學(xué)院 動(dòng)力操縱系，山東 青島 266199）

壓電陶瓷材料具有機(jī)-電能量轉(zhuǎn)化效率高、穩(wěn)定性好及靈敏度高等優(yōu)良特性，既可以制成傳感器，也可以制成作動(dòng)器[1-2]。將壓電陶瓷材料制成作動(dòng)器時(shí)，其類型可分為疊堆型和片狀型。

疊堆型壓電陶瓷作動(dòng)器主要用于超精密加工、微位移器控制等定位精度要求高的場合。為提高壓電作動(dòng)器在振動(dòng)主動(dòng)控制中的精度，實(shí)現(xiàn)作動(dòng)器電壓與位移高線性度要求，就必須控制壓電材料遲滯特性的影響。對此，Goldfarb和Celannovic利用Maxwell模型對疊堆型作動(dòng)器遲滯特性進(jìn)行建模，通過該模型對控制過程進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析，實(shí)現(xiàn)了較好的軌跡跟蹤效果[3]。王代華等結(jié)合Bouc-Wen模型和參數(shù)識別方法，對疊堆型作動(dòng)器的輸入電壓和輸出位移之間的遲滯關(guān)系進(jìn)行線性化處理，使作動(dòng)器的非線性度下降10%左右[4]。李巍基于疊堆型作動(dòng)器的精密運(yùn)動(dòng)平臺，提出非對稱Bouc-Wen模型參數(shù)辨識方法，該方法比傳統(tǒng)Bouc-Wen模型的建模精度更高[5]。

片狀壓電陶瓷作動(dòng)器主要應(yīng)用于對空間體積、質(zhì)量以及受力性質(zhì)有特殊要求的場合。Tarazaga等采用PZT片，對太空環(huán)境中的剛性充氣臂振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制，使其末端振幅減小93%[6]。黃建用壓電纖維復(fù)合材料制成作動(dòng)器，對負(fù)泊松比機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行扭轉(zhuǎn)控制，從而提升了固定翼飛行器的氣動(dòng)性能[7]。孫龍飛等針對船舶、航天器中的錐形圓筒結(jié)構(gòu)，利用PZT片對一端固定的錐形圓筒進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制，采用模糊滑?？刂剖箞A筒自由端振幅減小約50%[8]。

目前，將遲滯補(bǔ)償理論和疊堆型作動(dòng)器控制結(jié)合的研究成果較多，然而將遲滯補(bǔ)償理論和片狀型作動(dòng)器控制結(jié)合的應(yīng)用較為鮮見。本文提出一種通過PZT片與懸臂梁形變關(guān)系測算PZT片位移的方法，由此得到PZT片電壓-位移關(guān)系，并基于多項(xiàng)式擬合逆遲滯補(bǔ)償算法對PZT片的控制電壓進(jìn)行補(bǔ)償，提高壓電懸臂梁的主動(dòng)控制效果。

1 PZT片遲滯特性分析

1.1 懸臂梁偏轉(zhuǎn)方程

為了研究PZT片遲滯特性，需得到其電壓-位移關(guān)系。由于實(shí)驗(yàn)條件限制，無法對該關(guān)系進(jìn)行精確測量。因此，本文利用PZT片與懸臂梁形變關(guān)系來測算PZT片在不同電壓下的位移。

試驗(yàn)中PZT片只接受正電壓作用，通電時(shí)發(fā)生縮短形變，導(dǎo)致懸臂梁產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)或擺動(dòng)，自由端產(chǎn)生位移量。PZT片與懸臂梁形變關(guān)系如圖1所示。

圖中r是懸臂梁自由端位移量，l是壓電PZT片中心到自由端距離，h是懸臂梁厚度，s為PZT片形變量。測得PZT片l=148.4 mm，h=0.4 mm。

在進(jìn)行PZT片電壓-位移測試時(shí)，為了便于研究和計(jì)算，需作如下假設(shè)：

(1)懸臂梁表面長度變化量等于PZT片長度變化量s，且僅在長度方向上發(fā)生形變；

(2)懸臂梁發(fā)生彎曲形變起點(diǎn)位置為PZT片中心線；

(3)梁模型為Euler-Bernoulli梁；

(4)忽略粘接PZT片給懸臂梁帶來的影響。

基于以上假設(shè)，當(dāng)Euler-Bernoulli梁在發(fā)生彎曲形變時(shí)，形變前垂直于梁軸線的平面在形變后保持為平面，并且仍然垂直于梁軸線，具體如圖2所示。

圖2 歐拉梁的形變

變形前相距dx的兩個(gè)橫截面，在變形后產(chǎn)生了夾角dθ，在橫截面垂直方向上與中性層的距離為Z處有軸向纖維則的長度變量為cc′

因此可算得PZT片形變量為

在圖2中，令PZT片中心到位移觀測點(diǎn)的距離為l，懸臂梁上位移觀測點(diǎn)位移量為r，可得

令懸臂梁厚度為h，則PZT片位移量s為

1.2 PZT片穩(wěn)態(tài)電壓控制試驗(yàn)

基于懸臂梁的運(yùn)動(dòng)特性，文中測算PZT位移的方法不利于描述PZT片在不同頻率下的遲滯特性，因此僅對PZT片靜態(tài)遲滯特性進(jìn)行分析。在PZT片上施加電壓值為0 V、10 V、20 V、…、300 V、290 V、280 V、…、0 V，當(dāng)懸臂梁穩(wěn)定時(shí)得到自由端位移r。將測得的數(shù)據(jù)r代入式（4），得到PZT片長度變化量與控制電壓關(guān)系如圖3所示。

圖3 PZT片電壓-位移曲線

由圖3可知，PZT片電壓-位移關(guān)系具有明顯的遲滯特性，該特性會(huì)影響PZT片的控制精度，因此需要對遲滯進(jìn)行抑制以消除該特性的不利影響。

1.3 利用最小二乘法進(jìn)行多項(xiàng)式擬合

為了對PZT片電壓-位移特性進(jìn)行定量分析，需建立PZT片遲滯特性模型。針對PZT片靜態(tài)時(shí)壓電-位移數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)，采取最小二乘法對離散點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，獲得PZT片遲滯模型。假設(shè)n個(gè)點(diǎn)的擬合多項(xiàng)式為

每個(gè)點(diǎn)與曲線的距離平方和為

將式（6）兩邊同時(shí)對aj(j=0,1,2,…,k)求偏導(dǎo)，可得

化簡后可得

進(jìn)一步寫成矩陣形式，可得

將式（9）中的矩陣化簡后可得

上式為X·A=Y的形式，通過xi、yi(i=1，2，…，n)求得系數(shù)矩陣A后，能夠進(jìn)一步求得擬合函數(shù)。采取以上算法，可以得到當(dāng)x最高階數(shù)為5時(shí)，兩條曲線擬合多項(xiàng)式分別為

f1(x)和f2(x)分別對應(yīng)圖4中電壓遞增時(shí)和電壓遞減時(shí)的擬合曲線。兩條擬合曲線帶來的誤差較小且易于計(jì)算，可作為PZT片的遲滯模型。

圖4 遲滯特性擬合曲線

2 逆遲滯補(bǔ)償算法

2.1 逆遲滯模型

在所建立的PZT片遲滯模型基礎(chǔ)上，進(jìn)行逆模型計(jì)算。已知f1(x)和f2(x)在變化范圍內(nèi)單調(diào)遞增，因此存在逆遲滯模型。由于五次函數(shù)求逆過程較復(fù)雜，故采取擬合方法求得式（12），該式即為逆遲滯模型，如圖5所示。其輸入為PZT片位移，輸出為補(bǔ)償后電壓。

圖5 逆遲滯擬合曲線

2.2 逆遲滯補(bǔ)償

利用PZT片靜態(tài)遲滯特性對控制電壓進(jìn)行逆遲滯補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)控制電壓與PZT片位移間的線性關(guān)系，完成懸臂梁振幅控制系統(tǒng)的閉環(huán)PID控制。具體流程如圖6所示。

圖6 控制流程

對控制系統(tǒng)輸入一個(gè)期望值，PID控制器會(huì)把激光位移傳感器采集所得數(shù)據(jù)與該期望值作比較，并根據(jù)誤差值來輸出控制電壓u。隨后通過逆遲滯補(bǔ)償模型對u進(jìn)行逆遲滯補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)PZT片電壓-位移關(guān)系線性化。

逆遲滯補(bǔ)償前，對控制電壓u進(jìn)行升降判斷。以u上升時(shí)的逆遲滯補(bǔ)償為例，當(dāng)PID輸出電壓u時(shí)，期望位移為s，然而u對應(yīng)實(shí)際位移為sreal，如圖7所示。為了對PZT片壓電-位移進(jìn)行線性化，使補(bǔ)償后的電壓與s對應(yīng)，可以算得s滿足

將式（13）代入式（12）中，可以求得補(bǔ)償后的電壓

圖7 逆遲滯補(bǔ)償原理

3 試驗(yàn)過程與結(jié)果

3.1 硬件設(shè)置和軟件調(diào)試

PZT片粘貼在懸臂梁表面，在梁的寬度方向上居中，在梁的長度方向上靠近懸臂梁根部，如圖8所示。

將懸臂梁和激光位移傳感器固定在鋁制框架上，連接框架與激振器，試驗(yàn)系統(tǒng)如圖9所示。

圖8 PZT片在懸臂梁上的位置

圖9 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

數(shù)據(jù)采集和處理流程如圖10所示，上位機(jī)通過數(shù)據(jù)輸出板卡使激振器產(chǎn)生正弦信號，從而使框架上的懸臂梁發(fā)生簡諧振動(dòng)；激光位移傳感器采集懸臂梁自由端位移信號，通過數(shù)據(jù)采集板卡傳輸給上位機(jī)；上位機(jī)進(jìn)行控制處理后，通過數(shù)據(jù)輸出板卡輸出控制電壓，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源將控制電壓進(jìn)行放大后作用在PZT片上，從而實(shí)現(xiàn)懸臂梁振動(dòng)閉環(huán)控制。

圖10 數(shù)據(jù)采集和處理流程

試驗(yàn)控制程序框圖如圖11所示。在程序框圖中，使用位移寄存器來判斷懸臂梁位移值是增大或減小，兩種情況分別對應(yīng)條件語句中不同的補(bǔ)償函數(shù)。此外，為消除干擾信號的影響，在對u進(jìn)行判斷前采用巴特沃斯濾波器進(jìn)行濾波，通過頻率為5 Hz～8 Hz。如果位移值增大，則以圖4中電壓遞增曲線對PID輸出進(jìn)行逆遲滯補(bǔ)償；如果位移值下降，則以圖4中電壓遞減曲線對u進(jìn)行補(bǔ)償。

圖11 labview軟件程序框圖

驅(qū)動(dòng)電源的功率放大倍數(shù)為250倍，輸出電壓為0至300 V，因此PID控制器輸出電壓范圍設(shè)定為0至1.2 V。實(shí)驗(yàn)中PZT片只能接受正電壓作用，產(chǎn)生縮短形變，因此懸臂梁與激光傳感器之間距離期望值選定為2 mm。試驗(yàn)中得到PID控制器參數(shù)最優(yōu)為Kc=0.230，Ti=0.003，Td=0.000。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

試驗(yàn)過程中測得壓電懸臂梁固有頻率為6.952 Hz。為了便于分析，設(shè)定激振器輸出信號為頻率6.952 Hz、幅值0.02 V的正弦波，在此基礎(chǔ)上驗(yàn)證PID及PID逆遲滯補(bǔ)償?shù)恼駝?dòng)主動(dòng)控制效果。截取穩(wěn)定后的懸臂梁振幅曲線如圖12所示。

由圖12可知，在進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制前，懸臂梁自由端振幅達(dá)5.219 mm，經(jīng)PID控制后幅值減小為1.557 mm，經(jīng)PID逆遲滯補(bǔ)償控制后振動(dòng)幅值降為1.400 mm，比補(bǔ)償前振動(dòng)控制效果提高了10.083%。因此，逆遲滯補(bǔ)償PID控制器優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器對壓電懸臂梁的振動(dòng)主動(dòng)控制效果。

圖12 不同工況下的懸臂梁振幅

4 結(jié)語

本文對PZT片遲滯特性進(jìn)行了研究，并利用PZT片對懸臂梁進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制試驗(yàn)研究，得到如下結(jié)論：

(1)提出一種根據(jù)PZT片與懸臂梁形變關(guān)系來測算PZT片電壓-位移關(guān)系的方法，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了PZT片的遲滯特性；

(2)應(yīng)用最小二乘法對PZT片遲滯特性進(jìn)行建模并求得逆遲滯補(bǔ)償模型，并用于對PZT片控制電壓進(jìn)行補(bǔ)償；

(3)基于最小二乘逆遲滯補(bǔ)償方法，開展了壓電懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制試驗(yàn)研究，結(jié)果表明：經(jīng)過PID逆遲滯補(bǔ)償控制后的懸臂梁振幅比傳統(tǒng)PID控制振幅減小了10.083%，本文所提補(bǔ)償方法能有效增強(qiáng)壓電懸臂梁振動(dòng)控制效果，對于壓電懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制具有重要的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊曉明，李宗津.新型水泥基壓電傳感器的基本性能研究[J]. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，25(3)：349-354.

[2]張婷.基于遲滯特性與時(shí)滯現(xiàn)象的智能懸臂梁自適應(yīng)振動(dòng)控制研究[D].上海：上海交通大學(xué)，2014.

[3]GOLDFARB M,CELANOVIC N.Modeling piezoelectric stack actuators forcontrolofmicromanipulation[J].Control Systems IEEE,1997,17(3):69-79.

[4]王代華，嚴(yán)松林，朱煒.基于Bouc-Wen模型的壓電執(zhí)行器的前饋線性化控制器[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2015，36(7)：1514-1521.

[5]李巍.壓電作動(dòng)器遲滯非線性建模與補(bǔ)償控制研究[D].武漢：華中科技大學(xué)，2013.

[6]TARAZAGA PABLO,INMAN D,WILKIE W.Control of a space rigidizable-inflatable boom using macro-fiber composite actuators[J].JournalofVibration and Control,2007,13(7):935-950.

[7]黃建.基于壓電纖維復(fù)合材料的可扭轉(zhuǎn)機(jī)翼結(jié)構(gòu)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

[8]孫龍飛，李維嘉，吳耀中.壓電陶瓷在錐形圓筒振動(dòng)主動(dòng)控制中的應(yīng)用[J].噪聲與振動(dòng)控制，2016，36(4)：188-192.