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    用動態(tài)剛度法分析旋轉(zhuǎn)變截面梁橫向振動特性

    2018-05-11 15:52:26毛崎波
    噪聲與振動控制 2018年2期
    關(guān)鍵詞:模態(tài)振動

    韓 偉,毛崎波

    (南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院,南昌 330063)

    旋轉(zhuǎn)梁被廣泛用于直升機旋翼、風(fēng)力機葉片、螺旋槳以及各種旋轉(zhuǎn)機械結(jié)構(gòu),而研究旋轉(zhuǎn)梁的振動特性是設(shè)計此類機械的重要基礎(chǔ)。國內(nèi)外許多學(xué)者對該類問題做過研究。褚德超[1]使用高階有限元分析了等截面旋轉(zhuǎn)梁的固有振動。Hashemi和Richard[2]研究了科氏力對等截面旋轉(zhuǎn)梁固有頻率的影響。Yoo等[3]分析了集中質(zhì)量對等截面旋轉(zhuǎn)梁模態(tài)特性的影響。李艷輝[4]針對等截面旋轉(zhuǎn)梁的彎曲振動問題提出了一種高精度的有限元——梁柱元,Chung等[5]利用有限元法計算了等截面旋轉(zhuǎn)梁的動力響應(yīng)。而對變截面旋轉(zhuǎn)梁的計算,一般采用有限元法[6],把梁分成若干個單元,每個單元近似看成等截面梁單元,這樣需要較多的單元才能取得滿意的精度。另外還有微分求積法[7]、有限差分法[8-9]和假設(shè)模態(tài)法[10]

    動態(tài)剛度法[11-12]是解決工程結(jié)構(gòu)振動問題的一種有效方法,它簡單靈活,易于編程運算,適用于梁的各種邊界條件,適合處理沿幾何軸線發(fā)生改變的變參數(shù),如變截面、旋轉(zhuǎn)梁離心力等。本文采用動態(tài)剛度法求解旋轉(zhuǎn)變截面梁的振動特性,首先基于歐拉-伯努利梁理論建立自由振動方程,然后利用動態(tài)剛度法推導(dǎo)出動態(tài)剛度矩陣,最后運用MATLAB中的fzero函數(shù)求解特征方程得到旋轉(zhuǎn)梁橫向振動的固有頻率和振型,數(shù)值計算結(jié)果表明該方法對于求解變截面旋轉(zhuǎn)梁自由振動是有效的,且具有較高的精度。

    1 旋轉(zhuǎn)梁模型

    旋轉(zhuǎn)梁模型如圖1所示,該模型是歐拉-伯努利梁,僅考慮平面彎曲振動,不考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響,輪轂為剛性。

    圖1 變截面旋轉(zhuǎn)梁模型

    以梁左端截面形心為原點建立空間直角坐標(biāo)系,x軸為梁軸線,r為旋轉(zhuǎn)梁的輪轂半徑,懸臂梁繞輪轂中心的垂直軸旋轉(zhuǎn)。梁的旋轉(zhuǎn)角速度為Ω,長度為L。梁截面為矩形,其高度h(x)和寬度b(x)沿x軸方向減小,可以表示為

    式中:h0和b0分別為梁固定端截面的高度和寬度。ch和cb分別是高度和寬度的漸變系數(shù)。

    2 動態(tài)剛度法

    基于歐拉-伯努利梁理論,變截面旋轉(zhuǎn)梁的橫向自由振動微分方程為[4]

    式中:w(x,t)為梁的橫向撓度函數(shù),E和ρ分別為梁的彈性模量和密度,A(x)和I(x)分別是橫截面積和慣性矩,可表示為

    T(x)是旋轉(zhuǎn)梁所受離心力,可表示為

    使用分離變量法,式(3)的通解具有如下形式

    將式(7)代入式(3),并分離變量t和x,可得4階變系數(shù)常微分方程,對此方程進行無量綱化處理可得

    同理,對離心力T(x)進行無量綱化處理得到

    采用Frobenius法[13]求解式(8),其解可表示為如下的級數(shù)形式

    式中:an+1為多項式函數(shù)的系數(shù),c為待定指數(shù),將式(10)代入式(8),可得如下指數(shù)方程

    同時可得下列遞推關(guān)系式

    顯然,式(11)的根為ci=0,1,2,3,(i=1,2,3,4)。因此,可得4個線性獨立多項式解函數(shù)如下

    根據(jù)上述分析可知,式(8)的解可表示為

    注意到式(13)包含 4 個待定系數(shù)Ni,i=1,2,3,4,可通過邊界條件確定。

    現(xiàn)考慮如圖1所示旋轉(zhuǎn)梁的邊界條件。

    固定端(X=0):

    自由端(X=1):

    將式(15)、式(16)寫成矩陣形式可得

    這里矩陣B為一4×4矩陣,其元素可表示為

    現(xiàn)聯(lián)立式(18)、式(19)可得

    式中:K=BP-1即為所求旋轉(zhuǎn)梁的動態(tài)剛度矩陣。

    式(21)通過消去固定端和自由端中為零的邊界條件可進一步化為

    為使式(22)有非零解,其系數(shù)矩陣行列式必為零,得到變截面旋轉(zhuǎn)梁的特征值方程

    特征方程式(23)是無量綱固有頻率λ的非線性方程,可以采用MATLAB中fzero函數(shù)求解,得到橫向振動的固有頻率λ;將λ代入式(14)、式(18)、式(19)可得梁模態(tài)函數(shù)。

    3 數(shù)值算例

    為了探討上述動態(tài)剛度法所求的半解析解的收斂特性,先以一種變截面梁為算例,其轉(zhuǎn)速U=12,輪轂半徑R=0,寬度漸變系數(shù)cb=0,高度漸變系數(shù)ch=0.5。表1給出了每一個級數(shù)項數(shù)M對應(yīng)的前4階固有頻率值,并與文獻[14]進行比對。

    從表1可以發(fā)現(xiàn),階數(shù)越高,需要將M值取得越大,對于高階頻率需要非常多項才能逼近精確解,這將導(dǎo)致計算上的困難,而通常模態(tài)分析只做到前6階即可滿足一般的工程應(yīng)用。當(dāng)M取90時,前4階固有頻率值可得到小數(shù)點后四位的精度。為了保證計算結(jié)果的精度,在隨后的算例中,統(tǒng)一取M=100。

    為了進一步驗證上述方法的有效性,這里選取兩組算例對此進行驗證,分別為U=5,cb=0.3,ch=0.5以及R=1,cb=0.6,ch=0.2,并將該數(shù)值結(jié)果和文獻[14]結(jié)果(黑體部分)進行了比對,如表2和表3所示。從表2及表3可以看出,動態(tài)剛度法結(jié)果與文獻[14]的結(jié)果高度吻合,說明當(dāng)M=100時所求出的固有頻率值精度較高,可以滿足一般的工程應(yīng)用要求。觀察表2和3可以發(fā)現(xiàn),隨著輪轂半徑R或者轉(zhuǎn)速U的增加,各階固有頻率值也隨之增加。這是因為隨著輪轂半徑和轉(zhuǎn)速的增加,向心慣性力隨之增加從而導(dǎo)致梁的剛化效應(yīng)增強。

    表1 級數(shù)項數(shù)M及其所對應(yīng)的的前4階頻率值

    表 2 前5階頻率(U=5,cb=0.3,ch=0.5)

    表 3 前5階頻率(R=1,cb=0.6,ch=0.2)

    圖2給出了表3中cb=0.6,ch=0.2,R=1,U=1、2、5時3種工況下的前4階模態(tài)振型圖。從圖2可以看出隨著模態(tài)階數(shù)的增加,不同轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的模態(tài)振型之間的差別越來越小。

    圖 2 cb=0.6,ch=0.2,R=1,U=1、2、5時前4階模態(tài)振型圖

    圖3給出了轉(zhuǎn)速U=5,輪轂半徑R=1時前3階固有頻率分別隨寬度和高度漸變系數(shù)的變化圖,左圖中高度漸變系數(shù)ch=0.5,右圖中寬度漸變系數(shù)cb=0.5。

    圖3 固有頻率分別隨寬度和高度漸變系數(shù)的變化圖

    從左圖可以看出,當(dāng)高度漸變系數(shù)一定時,前3階固有頻率均隨寬度漸變系數(shù)的增大而增大,從右圖可以看出,當(dāng)寬度漸變系數(shù)一定時,第1階固有頻率隨高度漸變系數(shù)的增大而增大,而第2階和第3階固有頻率均隨高度漸變系數(shù)的增大而減小。

    4 結(jié)語

    本文基于歐拉-伯努利梁理論建立任意變截面旋轉(zhuǎn)梁橫向振動方程,引入了計算任意變截面梁橫向振動固有頻率和模態(tài)振型的動態(tài)剛度法,數(shù)值算例表明該方法具有很好的收斂性和計算精度。此外還研究了輪轂半徑、轉(zhuǎn)速以及漸變系數(shù)對固有頻率的影響,數(shù)值結(jié)果表明隨著轉(zhuǎn)速和輪轂半徑的增大,各階固有頻率也呈現(xiàn)增大的趨勢。隨著模態(tài)階數(shù)的增加,不同轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的模態(tài)振型圖之間的差別越來越小。

    參考文獻:

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