GM(2,1)模型時(shí)間響應(yīng)系數(shù)的優(yōu)化方法

蘇海軍，邵 藝

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論自誕生以來(lái)，已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。作為其核心內(nèi)容的灰色模型更是應(yīng)用廣泛，并取得了較好的效果。對(duì)于GM(2,1)模型，劉思峰等在文獻(xiàn)[1]中詳細(xì)給出了的定義及建模方法，并作了一定的應(yīng)用。但是，原始GM(2,1)模型仍然存在著不足，主要體現(xiàn)在兩方面：第一方面，從作為模型定義的灰微分方程跨越到求解時(shí)間響應(yīng)式的白化微分方程缺乏嚴(yán)格理論依據(jù)，存在一定不合理性，從而導(dǎo)致兩個(gè)方程不夠匹配；第二方面，時(shí)間響應(yīng)式中的兩個(gè)初值是在強(qiáng)行指定第一個(gè)時(shí)間點(diǎn)和最后一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的模擬值與真實(shí)值相等的條件下確定的，缺乏合理性。目前，對(duì)GM(2,1)模型的修正方法不多,文獻(xiàn)[2]利用最小二乘法改進(jìn)GM(2,1)模型算法及其預(yù)測(cè)步驟，用MATLAB實(shí)現(xiàn)了預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[3]利用權(quán)值對(duì)一階灰導(dǎo)數(shù)和背景值進(jìn)行加權(quán)組合，對(duì)GM(2,1)模型進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[4]利用最小二乘法與數(shù)值試驗(yàn)的方法對(duì)GM(2,1)模型進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[5]提出了累積法GM(2,1)模型并對(duì)其病態(tài)性做了一定的研究,文獻(xiàn)[6]利用微粒群算法將GM(2,1)模型拓展為 GM(2，1，λ，ρ)模型,在一定程度上提高了GM(2,1)模型的模擬精度。

本文將對(duì)時(shí)間響應(yīng)式中的兩個(gè)常數(shù)的確定給出較為合理的方法。在文獻(xiàn)[1]中，GM(2,1)模型時(shí)間響應(yīng)式中的兩個(gè)初值是在強(qiáng)行指定第一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)和最后一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的模擬值與真實(shí)值相等（即）條件下確定的，中間時(shí)刻點(diǎn)對(duì)初值的確定就沒(méi)有起到任何作用，這樣就造成對(duì)信息利用不夠充分。理想的響應(yīng)系數(shù)(c1，c2)應(yīng)滿足，然而這是不可能的，所以本文采用各個(gè)擊破的方法，對(duì)正整數(shù)i，j(1≤i≤n-1，i＜j≤n)，尋求滿足，然后利用Lingo軟件再求滿足最小的 (c1，c2)，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，表明此法確定的相應(yīng)系數(shù)預(yù)測(cè)精度較高。

1 基本概念

定義1[1]:設(shè)原始序列其1-AGO序列為，1-IAGO序列，其中，緊鄰均值生成序列為。稱：

為GM（2， 1） 模型（其中k=2，3…n）；稱：

為GM（2， 1）模型的白化方程。

定理1[1]:設(shè) X(0)，X(1)，Z(1)，α(1)X(0)如定義1所述，且：

則：

定理2[1]:關(guān)于GM(2,1)模型白化方程的解有以下結(jié)論：

結(jié)論1：設(shè) X（1）*是方程（2）的特解，ˉ（1）是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，則是GM(2,1)模型白化方程的通解。

當(dāng)特征方程r2+a1r+a2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1，r2時(shí)：

當(dāng)特征方程r2+a1r+a2=0有兩個(gè)相等的實(shí)根r時(shí)：

當(dāng)特征方程有r2+a1r+a2=0兩個(gè)共軛復(fù)根r1=α+βi，r2=α-βi時(shí)

其中，c1，c2由方程組確定。

結(jié)論3：白化方程的特解X（1）*有以下三種情況：

2 確定GM(2,1)模型時(shí)間響應(yīng)式中常數(shù)c1,c2的新方法

設(shè) X（1）*是白化方程（2）的特解ˉ（1）是對(duì)應(yīng)齊次方程（4）的通解，則是模型白化方程的通解。下面分三種情形討論：

情形1：當(dāng)a1=a2=0時(shí)，0是特征方程r2+a1r+a2=0的重根，即r1=r2=0。

設(shè) X（1）*=Bt2，代入白化方程得B=b，即 X（1）*=bt2，此時(shí)：

因此：

情形2：當(dāng) a2=0，a1≠0 時(shí)，0是特征方程 r2+a1r+a2=0的單根，不妨設(shè)r2=0，則r1=-a1。

設(shè) X（1）*=Bt，代入白化方程得此時(shí)：

因此：

說(shuō)明：此情形為DGM(2,1)模型。

情形3：當(dāng)a2≠0時(shí)，0不是特征方程r2+a1r+a2=0的根，設(shè)，代入白化方程得,此時(shí)根據(jù)特征根的結(jié)果有以下三種情況。

情形1：當(dāng)特征方程r2+a1r+a2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根 r1，r2時(shí)：

因此：

情形2：當(dāng)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2=r時(shí)：

因此：

即MC=A，所以C=M-1A，由此得出再利用情形1的方法求得c1，c2。

情形3：當(dāng)特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)根r1=α+βi，r2=α-βi（僅此處i為虛數(shù)單位）時(shí)：

所以：

即MC=A，所以C=M-1A，由此得出

再利用情形1的方法求得c1，c2。

3 模型應(yīng)用與比較分析

以文獻(xiàn)[1]第174頁(yè)的數(shù)據(jù)序列：X(0)=(2.874，3.278，3.337，3.39，3.679)為基礎(chǔ)建立GM(2,1)模型。

按本文方法推導(dǎo)預(yù)測(cè)公式：

X(0)的1-AGO序列和1-IAGO序列分別為：

X(1)的緊鄰均值生成序列為：

故得GM(2,1)的白化方程：

特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1=2.0215，r2=0.0428，屬于本文情形3的第(1)種情況。

初始值分別為：

將 r1，r2,c1，c2代入（15）得：

幾種預(yù)測(cè)方法的精度對(duì)比：

文獻(xiàn)[1]GM(2,1)模型、文獻(xiàn)[6]GM(2,1,λ,ρ)模型以及本文GM(2,1)模型的精度檢驗(yàn)見(jiàn)表1（其中文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[6]的計(jì)算結(jié)果直接取自文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[6]）。由表1可以看出，按本文所提的方法進(jìn)行GM(2,1)模型的計(jì)算可以得到更好的效果。

表1 精度檢驗(yàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

GM(2,1)模型白化響應(yīng)式中常數(shù)c1，c2的確定直接影響模型的精度，原始GM(2,1)模型的時(shí)間響應(yīng)式中兩個(gè)初值是在強(qiáng)行指定第一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)和最后一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的模擬值與真實(shí)值相等的條件下確定的，中間時(shí)刻點(diǎn)對(duì)初值的確定沒(méi)有起到任何作用，造成了對(duì)信息利用不夠充分；理想的響應(yīng)系數(shù) (c1，c2)應(yīng)滿足這顯然是不可能的，因此本文退而求其次，各個(gè)擊破，對(duì)正整 數(shù) i，j（ 1≤i≤n-1，i＜j≤n ），尋 求滿足，然后利用Lingo軟件再求滿足最小的，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，表明此法確定的相應(yīng)系數(shù)預(yù)測(cè)精度較高。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕，謝乃明.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]李玲玲，單銳，崔紅芳.改進(jìn)GM(2,1)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41(20).

[3]牛思先，陳鵬宇，蘇玉剛.基于加權(quán)組合最小二乘法改進(jìn)的GM(2,1)模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2010,(22).

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[6]劉虹,張歧山.基于微粒群算法的GM(2，1，λ，ρ)優(yōu)化模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2008,10(10).