歐氏空間線性映射的標(biāo)準(zhǔn)形

鮑炎紅

線性空間和歐氏空間是線性代數(shù)的兩個主要研究對象，本科階段線性代數(shù)主要介紹了線性空間上的線性映射、線性變換、對稱雙線性函數(shù)、二次型以及歐氏空間上兩種特殊的線性變換，即正交變換和對稱變換[1-3]。但一般教學(xué)中沒有涉及歐氏空間之間的一般線性映射，從線性代數(shù)研究的系統(tǒng)性來說，歐氏空間上的一般線性映射是很有必要介紹的。

矩陣是研究線性空間上各種映射的最主要工具，這是因?yàn)橛成涞木€性性或雙線性性保證了它可由其在一組基向量上的作用唯一確定，由此可以通過選取線性空間的基，再用矩陣來表示整個映射。研究這些映射的“最簡單”矩陣表示，即標(biāo)準(zhǔn)形理論，它是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，一般有幾何方法和矩陣方法，其中幾何方法是根據(jù)空間分解理論來尋找合適的基，使得這些映射在這些基下的矩陣具有最簡單的形式；矩陣方法是先根據(jù)不同基下矩陣之間的等價關(guān)系尋找相應(yīng)的完全不變量，再根據(jù)完全不變量直接寫出相應(yīng)的最簡單矩陣表示。不難看出，矩陣方法都對應(yīng)著一種矩陣分解理論。矩陣的分解是將一個矩陣分解為若干個滿足一定條件的矩陣之和或乘積。常見的矩陣分解有等價標(biāo)準(zhǔn)形分解、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形分解、滿秩分解、極分解、正交-三角分解、奇異值分解等[4-5]，其中奇異值分解是極為重要的一類分解，它不僅有著豐富的理論意義[6]，同時在物理、計(jì)算機(jī)、電子等諸多學(xué)科中都有著重要的實(shí)際應(yīng)用。本文主要研究歐氏空間上一般線性映射的標(biāo)準(zhǔn)形，并討論這一標(biāo)準(zhǔn)形理論與矩陣奇異值分解的關(guān)系。

先回顧線性空間之間的一般線性映射及其標(biāo)準(zhǔn)形理論。設(shè)σ為線性空間V到W的線性映射，任取V的一組基ε1,ε2,… ,εn和W 的一組基，則記

其中A=(aij)為m×n矩陣，稱其為σ在這兩組基下的矩陣。注意選取不同的基，得到的矩陣就會不同。因此，若通過矩陣A來研究σ，自然就需要分析不同基下矩陣之間的關(guān)系。不難驗(yàn)證這種關(guān)系正是矩陣的等價關(guān)系（又稱相抵關(guān)系），于是只有等價的矩陣所共有的性質(zhì)才能作為線性映射的性質(zhì)，也就是說只有矩陣的等價不變量才能用來描述線性映射，如矩陣的秩可以用來刻畫線性映射。線性變換在不同基下的矩陣是相似的，故所有相似不變量，如特征值、行列式、跡、特征多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式等，也都可以用來描述線性變換。對稱雙線性函數(shù)或二次型的矩陣是對稱陣，不同基下矩陣是合同的，則合同不變量，如實(shí)對稱矩陣的正、負(fù)慣性指數(shù)，也就可以用來刻畫實(shí)對稱雙線性函數(shù)和實(shí)二次型。因此，尋找各種映射的最簡單矩陣表示（又稱標(biāo)準(zhǔn)形問題）自然成了關(guān)鍵問題，該標(biāo)準(zhǔn)形一旦找到，各種不變量都將一目了然。

對于線性映射，由矩陣的初等變換得到一個最基本的矩陣分解，即對任意m×n矩陣A，總存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得

其中Ir為r階單位陣，r為A的秩，O 為相應(yīng)階的零矩陣。由此可知，總存在V的一組基和W的一組基，使得σ在這兩組基下的矩陣形如

由此可以立即求出秩、核和像。

線性變換的相似標(biāo)準(zhǔn)形與基域有很大的關(guān)系，如復(fù)數(shù)域情形有Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，一般數(shù)域情形有有理標(biāo)準(zhǔn)形，這里僅以復(fù)線性變換的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為例。利用λ-矩陣?yán)碚?，對任意n階復(fù)矩陣A，總存在n階可逆陣P，使得

其中 J(λi,mi)（i=1,2,…,s）為對角元為 λi的 mi階Jordan塊。由此可知，對于復(fù)線性變換A，總存在一個基，使得A在該基下的矩陣形如

由Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與其對應(yīng)的基可以直接看出A的特征值與特征向量、特征多項(xiàng)式、極小多項(xiàng)式、特征子空間、根子空間等。

雙線性函數(shù)的合同標(biāo)準(zhǔn)形與基域也有關(guān)，這里僅以實(shí)線性空間為例。由對稱矩陣的合同變換知，對任意n階對稱陣A，總存在n階可逆陣P，使得

因此，任一實(shí)線性空間上的對稱雙線性函數(shù)或二次型，總存在一組基，使得它在該基下的矩陣形如

并由此可以看出正、負(fù)慣性指數(shù)。

下面主要討論歐氏空間的一般線性映射。從實(shí)際幾何應(yīng)用的角度看，標(biāo)準(zhǔn)正交基對應(yīng)著直角坐標(biāo)系，因此對于歐氏空間，選取的基一般都是標(biāo)準(zhǔn)正交基。

設(shè)V,W分別為n維和m維歐氏空間，ε1,ε2…,εn和 η1,η2,…,ηm分別為 V 和 W 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，線性映射φ:V→W在這兩組基下的矩陣為 A。設(shè) φ在V的另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基ε'1,ε'2…,ε'n和W的另一個標(biāo)準(zhǔn)正交基η'1,η'2,…,η'm下的矩陣為 B，則 B=P-1AQ，其中 P，Q分別為從η1,η2,…,ηm到 η'1,η'2,…,η'm和 從 ε1,ε2…,εn到ε'1,ε'2…,ε'n的過渡矩陣，從而 P ，Q 均為正交陣。

定義 設(shè)A，B為m×n實(shí)矩陣，若存在m階正交陣U1和n階正交陣U2，使得B=U1AU2，則稱A與B正交等價。

顯然正交等價也是Rm×n中的一種等價關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。歐氏空間上的線性映射在不同標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交等價的。下面用幾何方法探尋“正交等價標(biāo)準(zhǔn)形”。

定理 設(shè)φ:V→W為歐氏空間V,W之間的線性映射，則總存在V和W的標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得φ在這兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為其中 D=diag(λ1,…,λr)，λi＞0 ，i=1,…,r。

證明 設(shè)φ*:W→V為線性映射φ的伴隨映射，即對任意 α∈V,β∈W ，都有

事實(shí)上，若 φ 在V 的基 ε1,ε2…,εn和W 的基η1,η2,…,ηm下的矩陣為 A ，則不難看出 φ*在基η1,η2,…,ηm和基 ε1,ε2…,εn下的矩陣為 AT，即 A的轉(zhuǎn)置。 此時，對任意 α∈V,β∈W ，設(shè) α 在基ε1,ε2…,εn下 的 坐 標(biāo) 為 X∈Rn， β 在 基η1,η2,…,ηm下的坐標(biāo)為 Y∈Rm，則 φ(α)在基η1,η2,…,ηm下 的 坐 標(biāo) 為 AX ，φ*(β) 在 基η1,η2,…,ηm下的坐標(biāo)為 ATY ，則

考慮φ與φ*的復(fù)合映射φ*°φ:V→V，則對任意 α,α'∈V 有

((φ* ° φ)(α),α')=(φ(α),φ(α'))=(α,(φ* ° φ)(α'))，即φ*°φ為歐氏空間V上的對稱變換，這一點(diǎn)當(dāng)然從 φ*°φ 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 ε1,ε2…,εn下的矩陣ATA為對稱陣也很容易看到。進(jìn)一步，再由ATA的半正定性可知，φ*°φ有n個非負(fù)實(shí)特征值，不妨設(shè)為 λ12,…,λ2r,0,…,0，其中 λ1,…,λr＞0,0≤r≤n 。 設(shè)φ*°φ 在V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 α1,α2,…,αn下的矩陣為diag(λ12,…,λ2r,0,…,0)，記 βi=φ(αi)，i=1,…,r ，則 β1,β2,…,βr為W的一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。事實(shí)上，

成為 φ的正交等價標(biāo)準(zhǔn)形，其中D=diag(λ1,…,λr)。

上述證明過程中，λ1,…,λr稱為線性映射φ或矩陣A的奇異值。與正交等價標(biāo)準(zhǔn)形相對應(yīng)的矩陣分解正是矩陣的奇異值分解，即對任意m×n實(shí)矩陣A，總存在m階正交陣U1和n階正交陣U2，使得

其中 D=diag(λ1,…,λr)，且 λ12,…,λ2r為ATA的所有非零特征值。上述歐氏空間上線性映射的標(biāo)準(zhǔn)形的推導(dǎo)本身也給出了奇異值分解的一種證明。

推論 設(shè)A，B為m×n實(shí)矩陣，則A與B正交等價的充分必要條件是它們的奇異值對應(yīng)相同。

最后，類似討論酉空間上的一般線性映射的標(biāo)準(zhǔn)形，用酉矩陣代替正交陣，便可得到復(fù)矩陣的奇異值分解。

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