浮動(dòng)利率住房抵押貸款提前還款期權(quán)的識(shí)別和定價(jià)

唐恩林，周 毅，向 偉

隨著房地產(chǎn)市場(chǎng)的發(fā)展，住房抵押貸款越來(lái)越普遍，住房抵押貸款業(yè)務(wù)的利息收入在商業(yè)銀行貸款收入中占有相當(dāng)重要的比重。對(duì)于浮動(dòng)利率住房抵押貸款，央行對(duì)貸款基準(zhǔn)利率的上調(diào)會(huì)導(dǎo)致借款人提前還款行為的發(fā)生，進(jìn)而導(dǎo)致商業(yè)銀行出現(xiàn)利率風(fēng)險(xiǎn)敞口和再投資風(fēng)險(xiǎn)[1-2]。通過(guò)對(duì)我國(guó)11家商業(yè)銀行2008—2016年這幾年的住房抵押貸款的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，違約率即提前還款比例高達(dá)1.94%，其中個(gè)別銀行的違約率達(dá)到13%[3]。要避免這樣的風(fēng)險(xiǎn)，需要認(rèn)識(shí)可提前償付住房抵押貸款的本質(zhì)，識(shí)別其中的隱含期權(quán)。提前還款期權(quán)的定價(jià)是商業(yè)銀行抵押貸款提前償付風(fēng)險(xiǎn)管理的基礎(chǔ)和前提，因此研究提前還款期權(quán)的定價(jià)對(duì)商業(yè)銀行利率風(fēng)險(xiǎn)管理意義重大。

1 浮動(dòng)利率住房抵押貸款提前還款期權(quán)的識(shí)別

1.1 住房抵押貸款的分解

住房抵押貸款的提前還款是指借款人可以在合同到期前任何時(shí)候一次性還清房貸款項(xiàng)，這種形式與可贖回債券有一定的相似之處，所以可以將可提前償付的住房抵押貸款進(jìn)行分解，其等同于借款人向商業(yè)銀行發(fā)行了可贖回債券，只是這種可贖回債券是含權(quán)的，內(nèi)含的隱含期權(quán)價(jià)值被商業(yè)銀行忽視了，進(jìn)而損失了期權(quán)費(fèi)。通常情況下，當(dāng)整個(gè)市場(chǎng)基準(zhǔn)利率上升到一定程度時(shí)，借款人的每月按揭還款額會(huì)增加，為了減輕利息支出的壓力，往往會(huì)選擇提前還款，“贖回”權(quán)即利率看漲期權(quán)就會(huì)被執(zhí)行。商業(yè)銀行面臨著貸款提前收回的風(fēng)險(xiǎn)，卻并沒(méi)有為此風(fēng)險(xiǎn)收取期權(quán)費(fèi)用。從這個(gè)角度來(lái)看，可提前償付的住房抵押貸款價(jià)值中包含了利率看漲期權(quán)的價(jià)值。

1.2 住房抵押貸款提前償付對(duì)商業(yè)銀行的影響

提前償付的影響具體可以從正反兩方面闡述。正面作用：提前還款行為消除了商業(yè)銀行住房貸款的信用風(fēng)險(xiǎn)，消除了商業(yè)銀行對(duì)住房貸款違約問(wèn)題的長(zhǎng)期疑慮；增強(qiáng)了商業(yè)銀行的資產(chǎn)流動(dòng)性，這種長(zhǎng)期的信貸大大的占用了銀行的流動(dòng)資金，甚至出現(xiàn)資產(chǎn)的證券化來(lái)盤(pán)活資金，所以提前償付正好解決了資金的流動(dòng)性問(wèn)題，讓商業(yè)銀行有更多的閑置資金來(lái)尋找更好的投資機(jī)會(huì)。負(fù)面影響：住房貸款的提前償付打亂了商業(yè)銀行原先的資產(chǎn)負(fù)債管理結(jié)構(gòu)和長(zhǎng)短期資產(chǎn)負(fù)債的匹配度，讓商業(yè)銀行出現(xiàn)了利率風(fēng)險(xiǎn)敞口；提前償付讓商業(yè)銀行原有的資產(chǎn)收益減少，商業(yè)銀行需要用提前歸還的房貸資金重新尋找新的投資機(jī)會(huì)，即出現(xiàn)了再投資風(fēng)險(xiǎn)[4]。

住房抵押貸款既可以采用浮動(dòng)利率計(jì)息形式，又可以采用固定利率計(jì)息形式，而當(dāng)前我國(guó)的住房抵押貸款基本都是采用浮動(dòng)利率計(jì)息，每月的按揭還款額會(huì)隨著人民銀行對(duì)存貸款基準(zhǔn)利率的上調(diào)而增加。用A表示房貸總額，r代表計(jì)息的利率，N表示貸款合同總期限，MP表示每月還款額，則

第k月月供中的利息額和本金分別是

假如提前償付行為發(fā)生在第k月，則提前償付引起的商業(yè)銀行損失為

其中，a是彌補(bǔ)再投資風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償數(shù)額。

2 浮動(dòng)利率住房抵押貸款提前還款期權(quán)的定價(jià)

2.1 隨機(jī)市場(chǎng)利率模型和貸款利率模型的選擇

浮動(dòng)的貸款利率和市場(chǎng)利率的變動(dòng)情況是影響提前償付行為的主要因素，準(zhǔn)確地說(shuō)取決于貸款利率與合同約定利率之差。因此，貸款利率和市場(chǎng)利率會(huì)嚴(yán)重影響購(gòu)房者的重新借款成本和貸款余額與違約金之和的對(duì)比，當(dāng)某一時(shí)刻提前還款的違約金與貸款余額之和小于重新借款的成本時(shí)，提前還款行為會(huì)發(fā)生[5]，所以在研究住房抵押貸款提前償付行為時(shí)，市場(chǎng)利率和浮動(dòng)貸款利率的刻畫(huà)尤為重要。

市場(chǎng)利率能夠相對(duì)準(zhǔn)確地反映資金市場(chǎng)的供求情況，目前用于描述市場(chǎng)利率的主要有國(guó)債回購(gòu)利率和銀行間同業(yè)拆借利率，而能夠較好地?cái)M合我國(guó)短期利率的利率期限結(jié)構(gòu)模型是CIR模型[6]，即

其中h，rˉ和σ1均為正數(shù)，h表示利率向均值進(jìn)行回復(fù)的速度，rˉ為利率的均值，σ1反映的是利率的波動(dòng)率，Bt是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。t時(shí)折現(xiàn)因子為

其中

由于人民銀行會(huì)不定期調(diào)整存款基本利率，各商業(yè)銀行會(huì)以其為基準(zhǔn)且有一定的浮動(dòng)權(quán)限，所以這里的貸款利率采用純跳模型。假設(shè)t時(shí)刻貸款利率為 f(t)且服從純跳模型，即

其中 k～ N(μ,σ2)代表跳躍幅度，{N(t),t≥0}代表泊松過(guò)程。這里假設(shè)k與{N(t),t≥0}獨(dú)立。

2.2 提前還款期權(quán)定價(jià)模型的建立

2.2.1 浮動(dòng)利率住房抵押貸款提前還款期權(quán)定價(jià)的原理

住房抵押貸款某一時(shí)刻提前還款行為主要取決于當(dāng)時(shí)借款人的借款成本和貸款余額與違約金之和的對(duì)比。如果用D(t)代表在t時(shí)刻住房抵押貸款提前還款期權(quán)，用V(t)代表在t時(shí)刻的借款成本，用X(t)代表抵押貸款的未來(lái)現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值，那么t時(shí)刻住房抵押貸款提前還款期權(quán)為

由于人民銀行控制了存貸款基準(zhǔn)利率，且這里需要對(duì)未來(lái)的貸款利率做出合理預(yù)期（即前述的用CIR模型刻畫(huà)短期市場(chǎng)利率變動(dòng)路徑，且假設(shè)貸款基準(zhǔn)利率的變動(dòng)服從單純的跳躍過(guò)程），然后用數(shù)學(xué)期望的方法來(lái)估計(jì)V(t)和X(t)，進(jìn)而得知D(t)[7]。

2.2.2 浮動(dòng)利率住房抵押貸款提前還款期權(quán)定價(jià)模型的建立

由于一個(gè)月相對(duì)于整個(gè)貸款合同期限是很短的，所以這里使用連續(xù)的模型。最初的住房抵押貸款總數(shù)為M，貸款時(shí)間為T，M(t)為借款人在[0,t]的償還金額，這里假設(shè)還款方式采用等額本金，那么在[0,t]內(nèi)的dt時(shí)間間隔內(nèi)：

假設(shè)不可提前償付住房抵押貸款的未來(lái)現(xiàn)金流在0時(shí)刻折現(xiàn)，值用X(0)表示：

則在[0,T]時(shí)間段內(nèi)的任一時(shí)刻τ（0≤τ≤T），抵押貸款的未償還本金額是。假設(shè)在這一時(shí)刻，借款人沒(méi)有提前還款，那么就可以把τ時(shí)貸款的預(yù)期現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)并記為X（τ），與前面的 dM(τ)不一樣的是，這里的 dM'(τ)為

因而

因(12)式中含有 f(t)，這里將采用X(t)的數(shù)學(xué)期望值近似表示X(t)，又 f(t)滿足跳躍過(guò)程，因而：

式中N(t)是[0,t]內(nèi)貸款利率的跳躍次數(shù)，由隨機(jī)過(guò)程理論進(jìn)行轉(zhuǎn)化得出：

其中P{N(t)-N(0)=N}是在[0,t]內(nèi)貸款利率n次跳躍的概率，λ是跳躍強(qiáng)度。

由(14)式可知，

又

t時(shí)的貸款余額為L(zhǎng)(t)，當(dāng)V(t)≥L(t)時(shí)，理性的借款人會(huì)執(zhí)行期權(quán)，選擇提前還款。將T分割N等分，也就是說(shuō)支付日是0=t0＜t1＜…＜ti＜…＜tN=T 和 ti+1-ti=Δt，另外在借款人提前還款時(shí)還需要繳納違約金α，那么當(dāng) ti＜t＜ti+1時(shí)：

在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下使用Δ對(duì)沖以及運(yùn)用無(wú)套利原理，可以得到：

在tN-1＜t＜tN=T ，從方程組：

又因?yàn)樵谥Ц度誸=tN-1，商業(yè)銀行的應(yīng)收款額為，因而

在tn-1＜t＜tn，1＜n≤N-1，從方程組

尤 其 是 當(dāng)t=t0=0時(shí) ， V |t=0=V(r,0-)，所 以D(t)=V(t)-X(t)即為t時(shí)刻提前還款的期權(quán)價(jià)值。

2.3 模型的求解

使用離散的數(shù)值計(jì)算方法，在區(qū)間[tn-1,tn]上構(gòu)建差分格式：

同理，

運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法，求得V(r,tn-1)，同理可以計(jì)算出V(r,0)，X(r,0)，進(jìn)而求得t時(shí)刻提前還款的期權(quán)價(jià)值D(t)=V(t)-X(t)。

3 結(jié)論

提前償付住房抵押貸款業(yè)務(wù)可以看成內(nèi)含選擇權(quán)的可贖回債券，由于住房抵押貸款某一時(shí)刻提前還款行為主要取決于當(dāng)時(shí)借款人的借款成本和貸款余額與違約金之和的對(duì)比，所以浮動(dòng)利率住房抵押貸款提前還款期權(quán)的理論定價(jià)為抵押貸款的未來(lái)現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值減去借款成本，這一結(jié)論為商業(yè)銀行度量和控制抵押貸款提前償付利率風(fēng)險(xiǎn)提供了很好的理論依據(jù)。

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