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    會而不對 對而不全

    2018-04-16 09:00:44史修鳳
    中學教學參考·理科版 2018年1期
    關鍵詞:三角函數(shù)探究

    史修鳳

    [摘 要]三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要組成部分.三角函數(shù)求值是最基本的題型.探究解決三角函數(shù)求值問題出錯的原因以及應對策略有實際意義.

    [關鍵詞]三角函數(shù);求值;探究

    [中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058(2018)02003402

    三角函數(shù)是高中函數(shù)知識的重要組成部分,是高考中的熱點內容.然而,總有一些學生在解決三角函數(shù)問題時因小失大,犯一些低級的錯誤,拿不到滿分,會而不對,對而不全.究竟是什么原因造成了這種情況?引發(fā)了筆者的深刻思考.下面僅從概念理解和解題方法選擇兩個角度對學生在三角函數(shù)求值過程中的計算錯誤進行分析.

    一、概念、定義理解不透徹

    概念、定義是解題之本.只有準確理解概念,掌握概念的內涵和外延,才能快速、準確地解題.三角函數(shù)中三角函數(shù)定義是三角運算的基礎,是各種公式推導的基礎.準確理解三角函數(shù)定義中各字母的含義才是王道.有的學生對數(shù)學概念的理解停留在表層,甚至只記一個形式,不求甚解,造成計算錯誤,讓人萬分可惜.如何讓學生認識到理解概念的重要性,從本質上理解概念,運用好概念呢?筆者認為,首先要讓他們產生認知沖突,形成求知欲望,讓他們想知道錯因,想知道如何改正;其次,在他們憤悱之時,適時點撥,通過其他學生的理解和講解促使他們重新認識概念,在重新認識的過程中領悟概念的本質.

    [教學片段一]

    【例1】 (蘇教版必修4第15頁練習第2題)已知角α的終邊經過點P(-x,-6),且cosα=-513,求x的值.

    筆者投影學生的兩種錯誤解法,讓學生先思考再討論、交流.

    生1:兩種解答都是錯誤的.雖然解法二比解法一多考慮了α的象限,舍去了一組解,但是兩種解法的求解根源出錯.他們審題不清,漏看了P點橫坐標中x的符號“負號”,造成錯解.兩種解法都是機械套用公式,對三角函數(shù)的定義不理解或理解不到位.教材中規(guī)定:角α的余弦函數(shù)的定義式是比值cosα=xr

    ,其中x是角α終邊上任意一點(非原點)的橫坐標r,是該點與坐標原點的距離.此題橫坐標明明是-x,故cosα=-xr,而不是cosα=xr.造成這種錯解的原因是:只記一個形式,生搬硬套,不知變通;不認真看題中條件,漏掉“負號”而出錯.

    師:找到了錯因,我們得到了什么

    經驗

    或教訓?

    生2:教訓有兩個:①認真審題,不能看漏條件,特別是符號;②要理解概念定義中各字母的含義.只有掌握了定義中各字母的含義,才能正確運用,才能保證計算的正確性.

    師:我們該怎樣修改上述兩種求解過程?

    生3:解法一既要補充求x的范圍,又要更改cosα的定義式;解法二只要修改cosα的定義式,做好后續(xù)計算即可.

    點評:算理是計算的道理,是計算的依據(jù).算理不清,解題瞎朦.本題的算理有二:①點P的坐標和cosα的符號;②cosα的定義式.前者確定x的范圍,后者確定x的值.算理清楚,解題過程清楚,書寫規(guī)范,看著就舒服.

    正解一是由r的符號確定x的范圍(符號);正解二是由cosα的符號確定x的范圍(符號),形異質同.正解一是由r的公式構建方程求出x的值;正解二是由cosα的定義式構建方程求出x的值.這里就有一個計算的順序問題.先算誰再算誰,有時會造成計算量的增加,甚至算不出來.因此,每次計算,都要先做了計算預案,大致想一下算的順序,做到心中有數(shù).

    通過學生的相互討論、交流(特別是交流),讓學生理解三角函數(shù)定義的本質,進而促使他們學會正確運用三角函數(shù)定義式.既要讓學生明白錯誤的原因,又要讓他們知曉如何避免出錯,更要讓他們學會正確計算.

    二、方法、公式選擇不當

    學習數(shù)學離不開解題.而解題就必然要研究解題方法和解題策略.好的方法、策略往往能起到事半功倍的效果.如何才能在解題過程中選擇高效、簡便的方法呢?筆者認為,這離不開對數(shù)學知識的深入理解與熟練掌握,離不開對數(shù)學知識的靈活運用,更離不開解題后的反思與總結.

    [教學片段二]

    【例2】 已知α∈0,π2,β∈π2,π且sin(α+β)=5665,cosβ=-513,求sinα.

    筆者投影了學生的三種解法,讓學生思考、交流.

    師:比較上面的三種解法,說說你們的看法和想法.

    生1:解法一容易想到,先求得sinβ的值,然后將sin(α+β)

    展開,代入sinβ、cosβ的值,再利用平方關系sin2α+cos2α=1

    ,構建方程組.

    但是運算太繁雜,計算量巨大,耗費了大量時間和精力,也沒有算出結果,一般情況下我們不想采用這種方法.

    生2:解法二方法選擇還是合理的,注意到已知角與待求角之間的關系.但是由于運用

    sin(α+β)=5665

    ,求cos(α+β)時,數(shù)據(jù)太大,缺乏必要的運算技巧,采用硬算的方式,費時費力,且不敢做下去,比較可惜.

    生3:解法三是將解法二進行下去,在求cos(α+β)時,巧妙地運用平方差公式,大大降低了計算的難度.

    生4:最關鍵的是解題后的反思,學習完之后,要及時總結.求解三角計算問題,先觀察已知角與待求角之間的關系.這是解決此類問題的常用方法.當然,選擇了解法,只要有耐心和毅力,還是能算出來的.

    點評:解題是數(shù)學學習中最重要的一部分.上面的幾種解法,很好地體現(xiàn)了解題時計算途徑的選擇有可能影響解題的正常進行.當題目有多種計算途徑時,要注意合理選取算法,以確保計算的順利進行.

    三角函數(shù)中存在的問題遠不止這些,本文僅從三角求值這個角度,對常見的“會而不對,對而不全”的情況進行剖析,拋磚引玉,希望有更多的教師進行課堂教學實踐,以做更進一步的研究.

    (責任編輯 黃桂堅)

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