多導(dǎo)彈攻擊時(shí)間協(xié)同的滑模制導(dǎo)律

花文華，張擁軍，張金鵬,2，孔 石

（1. 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，洛陽(yáng) 471009；2. 航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽(yáng) 471009）

當(dāng)前大多作戰(zhàn)艦船或重要軍事設(shè)施目標(biāo)都安裝或布置有近程防御系統(tǒng)用于偵查或摧毀來(lái)襲導(dǎo)彈，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律已越發(fā)難以勝任攻擊該型目標(biāo)的任務(wù)，因此具有碰撞角度[1-4]和碰撞時(shí)間[5-11]控制的先進(jìn)制導(dǎo)律也變得越發(fā)必要。同時(shí)，面對(duì)目標(biāo)的防御系統(tǒng)，多導(dǎo)彈同時(shí)攻擊顯然比一對(duì)一的攻擊情形更容易提高導(dǎo)彈的生存幾率和目標(biāo)毀傷概率[12]。文獻(xiàn)[5]針對(duì)攻擊固定目標(biāo)的情況，提出了一種次優(yōu)制導(dǎo)律用于多枚反艦導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間協(xié)同，該次優(yōu)制導(dǎo)律是比例導(dǎo)引律和碰撞時(shí)間誤差反饋控制的組合形式。文獻(xiàn)[6]在比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種多對(duì)一的時(shí)間協(xié)同比例導(dǎo)引，用于艦船攻擊，該制導(dǎo)律通過(guò)引入與多枚導(dǎo)彈相關(guān)的剩余飛行時(shí)間變化量，并在目標(biāo)攻擊過(guò)程中逐漸消除這一變化量，直到完成目標(biāo)攻擊。文獻(xiàn)[7]給出了一種適用于固定目標(biāo)的攻擊角度和攻擊時(shí)間同時(shí)可控的制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律由減少脫靶量和碰撞角度誤差的最優(yōu)制導(dǎo)律和一個(gè)控制攻擊時(shí)間的附加項(xiàng)構(gòu)成?；谖⒎謱?duì)策理論，考慮碰撞角度和攻擊時(shí)間控制，文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了一種適用于固定目標(biāo)攻擊的微分對(duì)策制導(dǎo)律，類(lèi)似于文獻(xiàn)[7]，該制導(dǎo)律首先進(jìn)行碰撞角度控制最優(yōu)形式的推導(dǎo)，在此基礎(chǔ)上，利用對(duì)剩余飛行時(shí)間的估算將制導(dǎo)律擴(kuò)展到同時(shí)適用于碰撞角度和攻擊時(shí)間控制的形式。文獻(xiàn)[9]提出了一種具有碰撞角度和時(shí)間控制的多項(xiàng)式制導(dǎo)律，多項(xiàng)式函數(shù)由具有三項(xiàng)可調(diào)系數(shù)的剩余下距變量構(gòu)成，三項(xiàng)系數(shù)分別對(duì)應(yīng)攻擊時(shí)間、碰撞角度和脫靶量的控制。文獻(xiàn)[5-9]的推導(dǎo)都基于彈目相對(duì)關(guān)系線(xiàn)性化近似和小角度假設(shè)，與其不同，考慮非線(xiàn)性彈目相對(duì)關(guān)系。文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種具有碰撞角度和碰撞時(shí)間控制的滑模制導(dǎo)律，通過(guò)對(duì)期望視線(xiàn)角和視線(xiàn)角速度的控制間接實(shí)現(xiàn)對(duì)碰撞角度和碰撞時(shí)間的控制。文獻(xiàn)[11]給出了一種攻擊時(shí)間控制的滑模制導(dǎo)律，滑模面定義為碰撞時(shí)間誤差和視線(xiàn)角速度的組合，以滿(mǎn)足對(duì)碰撞時(shí)間誤差和脫靶量的要求，與文獻(xiàn)[5-10]類(lèi)似，該制導(dǎo)律的推導(dǎo)同樣基于目標(biāo)固定的假設(shè)，但將結(jié)果擴(kuò)展到了適用于非機(jī)動(dòng)目標(biāo)（目標(biāo)運(yùn)動(dòng)但非機(jī)動(dòng)）的情況。

本文提出一種非奇異的滑模制導(dǎo)律，并完成適用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法的推導(dǎo)和擴(kuò)展，以用于多導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間協(xié)同。設(shè)計(jì)結(jié)果不僅適用于固定目標(biāo)和非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，同樣適用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攻擊情形。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

導(dǎo)彈和目標(biāo)的平面相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示，假設(shè)目標(biāo)靜止，導(dǎo)彈飛行速度基本保持不變，x軸沿初始彈目視線(xiàn)方向。圖1中VM、aM和γM分別為導(dǎo)彈的飛行速度、加速度和航向角，λ為視線(xiàn)角，r表示彈目距離。

導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程可表示為

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如式(2)所示：

圖1 平面相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

2 比例導(dǎo)引剩余飛行時(shí)間估計(jì)

假設(shè)導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引，首先完成導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)。

由式(1)和式(2)可以得到：

進(jìn)一步結(jié)合式(2)，得：

導(dǎo)彈所采用的經(jīng)典比例導(dǎo)引形式為：

式(5)中N為視線(xiàn)角速度和導(dǎo)彈航向角速度之間的比例系數(shù)。將式(2)(5)代入式(4)，并經(jīng)進(jìn)一步整理，可以得到：

求解式(6)所示的一階微分方程，得：

對(duì)式(2)第一式進(jìn)行積分，并進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以得到：

式(8)中tf為導(dǎo)彈的飛行時(shí)間。僅取式(8)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)后的前兩項(xiàng)，并帶入式(7)進(jìn)行求解，可以得到：

式(10)與文獻(xiàn)[6]的剩余飛行時(shí)間推導(dǎo)結(jié)果類(lèi)似，但如果選取式(8)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)后的更多項(xiàng)用于導(dǎo)彈飛行時(shí)間的計(jì)算，結(jié)果將更為精確，因此可認(rèn)為文獻(xiàn)[6]的結(jié)果是本文的一種特殊形式。

3 攻擊時(shí)間協(xié)同的滑模制導(dǎo)律

3.1 制導(dǎo)律推導(dǎo)

為實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈攻擊時(shí)間上的協(xié)同，考慮導(dǎo)彈飛行時(shí)間約束，定義滑模面為

基于式(11)所定義的滑模面，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律包括等效控制和切換控制兩部分：

式(13)～(15)中：κ、ε、ρ為設(shè)計(jì)參數(shù)，κ,ε＞0，ρ＞ 1 ；等效控制用于消除視線(xiàn)角速度實(shí)現(xiàn)目標(biāo)攻擊，并保持切換控制部分用于保證滑模面s→0，滿(mǎn)足Lyapunov穩(wěn)定性條件，同時(shí)保證所推導(dǎo)的滑模制導(dǎo)律(13)是非奇異的。

將式(13)～(15)帶入式(12)可以得到：

定義式(17)所示的Lyapunov函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性的分析：

對(duì)式(17)兩邊求導(dǎo)，并代入式(16)，可以得到：

因此采用所設(shè)計(jì)的滑模制導(dǎo)律式(15)可以保證系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定的。

3.2 制導(dǎo)律的非奇異性分析

制導(dǎo)律式(15)具有目標(biāo)攻擊和飛行時(shí)間控制兩項(xiàng)功能。制導(dǎo)律是非奇異的主要是為了保證在導(dǎo)彈彈道收斂的情況下，即時(shí)，制導(dǎo)律式(13)仍是可執(zhí)行的，以及仍能夠滿(mǎn)足s→0的設(shè)計(jì)要求，即導(dǎo)彈飛行時(shí)間總是可控的。

由式(14)，可以得到：

由式(20)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)s→0時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，表明即使在彈道趨于收斂的情況下，只要用于攻擊時(shí)間控制的滑模面制導(dǎo)律式(13)就會(huì)存在相應(yīng)的控制部分用于協(xié)同攻擊時(shí)間，因此所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律式(13)是非奇異的。

3.3 與比例導(dǎo)引的等價(jià)分析

所推導(dǎo)的滑模制導(dǎo)律式(13)可轉(zhuǎn)換成比例導(dǎo)引的等價(jià)形式。在s→0時(shí)，經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)，可以得到：

圖2給出了Ns隨Mθ變化的曲線(xiàn)，從中可以發(fā)現(xiàn)，隨著Mθ的增加，Ns逐漸增加，但變化范圍較小，在Mθ可觀性較差的情況下，工程上可采用比例導(dǎo)引替換式(14)。因此，可近似認(rèn)為制導(dǎo)律式(15)是由比例導(dǎo)引和剩余飛行時(shí)間控制項(xiàng)兩部分構(gòu)成，前者用于目標(biāo)攻擊，后者可用于多彈攻擊時(shí)間的協(xié)同。

圖2 Ns和Mθ之間的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.2 Relationship betweenNsandMθ

4 機(jī)動(dòng)目標(biāo)剩余飛行時(shí)間估計(jì)

式(10)所給出的比例導(dǎo)引剩余飛行時(shí)間估計(jì)僅適用于固定目標(biāo)，在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)或機(jī)動(dòng)的情況下，則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，從而影響控制效果，甚至帶來(lái)較大的脫靶量。在式(10)的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步給出一種適用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的擴(kuò)展形式。基本思路為將目標(biāo)速度投影到彈目視線(xiàn)方向上，同時(shí)考慮剩余飛行時(shí)間內(nèi)由目標(biāo)機(jī)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)所帶來(lái)的目標(biāo)航向和視線(xiàn)角的影響，以保持目標(biāo)的相對(duì)靜止或虛擬靜止。

剩余飛行時(shí)間內(nèi)目標(biāo)機(jī)動(dòng)所帶來(lái)的航向變化和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)所帶來(lái)的視線(xiàn)角變化分別為

將目標(biāo)當(dāng)作虛擬靜止目標(biāo)對(duì)待進(jìn)而估計(jì)剩余飛行時(shí)間是對(duì)式(10)所示形式的進(jìn)一步擴(kuò)展。

5 仿真結(jié)果及分析

仿真主要針對(duì)所設(shè)計(jì)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法和適用于多導(dǎo)彈攻擊時(shí)間協(xié)同的滑模制導(dǎo)律進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證條件主要包括多導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo)、非機(jī)動(dòng)目標(biāo)和機(jī)動(dòng)目標(biāo)三種情況。所設(shè)計(jì)的攻擊時(shí)間協(xié)同滑模制導(dǎo)律適用于任意多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊的情況，具體仿真中取為三枚導(dǎo)彈。取導(dǎo)彈飛行速度160 m/s，初始航向相同γM0=60°，目標(biāo)飛行速度最大機(jī)動(dòng)能力1g，初始航向γM0=135°，三種情況下設(shè)定的導(dǎo)彈攻擊時(shí)間都為仿真終止條件為脫靶量小于0.3 m，結(jié)果如圖3～5所示。

圖 3(a)為三枚導(dǎo)彈以設(shè)定的攻擊時(shí)間攻擊固定目標(biāo)的飛行彈道。導(dǎo)彈1飛行彈道較為平滑，設(shè)定的飛行時(shí)間與采用經(jīng)典比例導(dǎo)引的飛行時(shí)間tPN較為接近，而導(dǎo)彈2與導(dǎo)彈3的飛行時(shí)間則小于tPN。為滿(mǎn)足設(shè)定的飛行時(shí)間tfd的要求，飛行彈道按照所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律式(13)進(jìn)行了自適應(yīng)調(diào)整，彈道曲率較大，所需的加速度也較大，如圖3(b)所示。受限于最大加速度，三枚導(dǎo)彈在初始轉(zhuǎn)彎段，為調(diào)整初始飛行航向，控制指令都出現(xiàn)了飽和，如圖3(b)所示，但隨著導(dǎo)彈飛行彈道的逐漸收斂，控制量逐漸減少，并趨近于零。圖3(c)為三枚導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間的估計(jì)值，在彈道開(kāi)始收斂后，與真實(shí)剩余飛行時(shí)間幾乎重合，估計(jì)誤差較小。

三枚導(dǎo)彈攻擊非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的飛行彈道、導(dǎo)彈加速度和剩余飛行時(shí)間估計(jì)值如圖4所示。

圖3 多彈協(xié)同攻擊固定目標(biāo)Fig.3 Cooperation attack for stationary target of multi-missiles

圖4 多彈協(xié)同攻擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)Fig.4 Cooperation attack for non-maneuvering target of multi-missiles

圖 5為三枚導(dǎo)彈攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的飛行彈道、導(dǎo)彈加速度和剩余飛行時(shí)間估計(jì)值。

仿真結(jié)果與攻擊固定目標(biāo)的情況是類(lèi)似的，表明了所給出的適用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)形式是正確的，且攻擊時(shí)間協(xié)同滑模制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效攔截，滿(mǎn)足攻擊時(shí)間協(xié)同的要求。

圖5 多彈協(xié)同攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)Fig.5 Cooperation attack for maneuvering target of multi-missiles

6 結(jié) 論

1）為實(shí)現(xiàn)多枚導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)攻擊時(shí)間上的協(xié)同，設(shè)計(jì)了一種非奇異的滑模制導(dǎo)律，并給出了一種適用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法，據(jù)此多枚導(dǎo)彈能夠以設(shè)定的攻擊時(shí)間完成對(duì)目標(biāo)的攻擊；

2）通過(guò)對(duì)滑模制導(dǎo)律切換控制指令的合理設(shè)計(jì)，避免了所設(shè)計(jì)的滑模面的收斂和保持受到彈道收斂的影響，且總是可達(dá)的；

3）適用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法是在所推導(dǎo)的固定目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法基礎(chǔ)上的擴(kuò)展，采用虛擬目標(biāo)的設(shè)計(jì)思路，將目標(biāo)加速度和速度對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的影響投影到彈目視線(xiàn)方向上，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的虛擬靜止；

4）針對(duì)三枚導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo)、非機(jī)動(dòng)目標(biāo)和機(jī)動(dòng)目標(biāo)三種情況進(jìn)行了數(shù)字仿真，結(jié)果表明了本文所設(shè)計(jì)的滑模制導(dǎo)律的有效性和剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法的正確性。

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