以形助數(shù) 數(shù)形結(jié)合

周小微

(江蘇省江安高級(jí)中學(xué) 226500)

數(shù)形結(jié)合思想是解數(shù)學(xué)題時(shí)常用的思想方法，可以把某些抽象的問題直觀化，把抽象思維變?yōu)樾蜗笏季S，從而利于把握數(shù)學(xué)問題的真諦.

一、數(shù)形結(jié)合，巧解方程

眾所周知，方程自身或方程兩邊(或通過變形)的表達(dá)式有明顯的幾何意義，對(duì)于一些無法直接解決的方程問題，如果采用數(shù)形結(jié)合的思想，將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形來解決，可以事半功倍地解決問題.

例1 實(shí)數(shù)p取什么值時(shí)，方程|x2-4x+3|=px有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根？

點(diǎn)評(píng)本題中的方程有明顯的幾何意義，即所構(gòu)造的y=|x2-4x+3|與y=px兩條曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

二、數(shù)形結(jié)合，速求極值

三角函數(shù)是函數(shù)部分的一個(gè)重要內(nèi)容，可以充分利用數(shù)形結(jié)合思想來研究其性質(zhì)，把圖象和性質(zhì)結(jié)合在一起，即能夠利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，也能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既可以掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，又可以熟練地利用數(shù)形結(jié)合的方法.

點(diǎn)評(píng)本題中三角函數(shù)的圖象為數(shù)形結(jié)合帶來了便利條件，從圖象上尋找滿足條件的定義域，找到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值常常是解決問題的關(guān)鍵.

三、數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)

數(shù)形結(jié)合法是解復(fù)數(shù)問題的常用方法，能夠把復(fù)數(shù)問題變?yōu)閹缀螁栴}，從而能夠降低解題難度.用此方法解復(fù)數(shù)問題時(shí)要把握好復(fù)數(shù)的特征，充分認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)與幾何、函數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合對(duì)復(fù)數(shù)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而直接、快速地求解.

點(diǎn)評(píng)本題是利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形及其幾何意義來解題的.其幾何意義包括與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，還有與復(fù)平面內(nèi)從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對(duì)應(yīng)，因此可以從解析幾何的角度來審視復(fù)數(shù)問題，可借助數(shù)形轉(zhuǎn)換來解題.

四、數(shù)形結(jié)合，證明不等式

不等式問題一直是高考中的高頻考點(diǎn)，而證明不等式的方法有很多，有基本不等式法、函數(shù)法等.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法來證明不等式，透過不等式的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)其幾何意義，構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形來闡述不等式，將抽象問題具體化，直觀化.

點(diǎn)評(píng)本題可以采用兩種思路，從兩種角度進(jìn)行解題分析.一是采用基本不等式法，將不等式拆分，逐個(gè)進(jìn)行證明；二是采用數(shù)形結(jié)合的方法，通過構(gòu)造不同的平面的圖形，從圖形的角度直觀化進(jìn)行不等式證明.

數(shù)形結(jié)合方法可以用來解答各種難題，包括一些復(fù)雜函數(shù)的極值問題、方程問題、復(fù)雜的集合問題等等.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，應(yīng)該立足教材，挖掘數(shù)學(xué)思想方法，從而優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，在講解題目的過程中適當(dāng)?shù)慕榻B數(shù)形結(jié)合思想方法，提高學(xué)生解題能力.

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