立體幾何解題策略的再探究

朱小扣 周 園

(1.安徽省無為縣牛埠中學(xué) 238351；2.安徽省舒城縣萬佛湖鎮(zhèn)中心學(xué)校 231360)

立體幾何題是高考的重要考點之一，每年高考題中都會出現(xiàn)，約為20分左右.而學(xué)生在解答中，容易失誤失分，經(jīng)常會出現(xiàn)“會兒不對，對而不全”的現(xiàn)象，為此筆者現(xiàn)對其答題策略做如下探討.

一、補形法

補形法雖類似于三視圖中的模型法，但用法有區(qū)別，補形法更注重局部和整體的聯(lián)系,特別是在做立體幾何的大題時，不補形的話，猶如在“云里霧里”，有時補形后，答案一目了然.

(Ⅰ)試確定點M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，求平面MDF將幾何體ADE—BCF分成的較小部分與較大部

分的體積比．

圖1

解析(Ⅰ)當(dāng)M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF，證明如下：

連結(jié)CE交DF于N，連結(jié)MN.由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC.

所以AC∥平面MDF.

圖2

二、顛倒法

在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常會要求變換角度，顛倒法就是其中一種，通過顛倒可以將不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化成熟悉的圖形,這是對知識能力的深度考察.雖然顛倒法簡單，但絕不應(yīng)被忽視.

例2 (2016山東理17改編)在如圖3所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.

解析可以將圖3顛倒成圖4.

(1)證明：設(shè)FC的中點為I，連接GI,HI，在△CEF中，因為G是CE的中點，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.又HI∩GI=I，OB∩BC=B，所以平面GHI∥平面ABC.因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.

圖3 圖4

上述兩大策略是對文[1]的策略的應(yīng)用舉隅，除此之外，還有如下策略：

三、分割法

分割法是一種求體積的方法，往往是把一個不規(guī)則的幾何體通過分割，劃分成錐體與柱體的組合體.實際上命題者想通過分割，對學(xué)生掌握體積公式知識的考查，以及對化歸能力的一種提升.

圖5

例3 (景德鎮(zhèn)市2017屆高三上學(xué)期期末考試)斧頭的形狀叫楔形，在《算數(shù)書》中又稱之為“鄆都”或“壍堵”：其上底是一矩形，下底是一線段．有一斧頭：上厚為三，下厚為六，高為五及袤為二，問此斧頭的體積為幾何？意思就是說有一斧頭形的幾何體，上底為矩形，下底為一線段，上底的長為3，下底線段長為6，上下底間的距離(高)為5，上底矩形的寬為2，則此幾何體的體積是( )

A.6 B.10 C.16 D.20

解析如圖6所示，過點A作AM⊥EF，垂足為M，連接MD．

過點B作BN⊥EF，垂足為N，連接NC．

則三棱柱ADM-BCN為直三棱柱，三棱錐E-ADM與三棱錐F-BCN全等．

圖6

點評像例3中，不僅對中國古代數(shù)學(xué)文化考察，又考察了分割法，要在短時間內(nèi)準(zhǔn)確地對圖形做出分割，實屬不易.“分割路不易，且行且謹(jǐn)慎”.

四、模型法

模型法一直是三視圖中的一種重要的方法，可以彌補部分同學(xué)的空間想象能力的不足，利用模型可以解決線段，角度，體積等問題.

圖7

點評像例4，不用長方體模型的話，幾乎很難做出來，有人形容三視圖問題是“橫看成嶺側(cè)成峰”，但我們只要站在長方體的“肩膀”上，就會“一覽眾山小”.

總結(jié)遇到立體幾何問題時，原則上可以用上面的策略解決.五種策略的運用能很好地鍛煉學(xué)生的思維.立體幾何題目千變?nèi)f化，但只要掌握其本質(zhì)，就能一招制敵.同樣學(xué)生在做題時，必須具有一題多解，多題一解的能力，這樣才能在做題時，多角度，多思維的去考慮，才能在做題中達(dá)到自身水平的提高.

參考文獻(xiàn)：

[1]朱小扣.解決立體幾何的三種方法[J].數(shù)理化解題研究,2016(28).