高中函數(shù)核心概念教學(xué)案例研究
——以函數(shù)單調(diào)性為例

常 勇

(四川省成都市樹德中學(xué) 610036)

傳統(tǒng)教學(xué)中，由于教師對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)認(rèn)識不足，重解題技巧輕概念訓(xùn)練，致使概念與計算脫節(jié)，一旦將概念的考查融合于實際應(yīng)用時，則不能夠融會貫通，也使計算被禁錮在某些熟知的框架之中.因此，對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不應(yīng)僅停留在記憶和背誦上，而應(yīng)立足于核心概念教學(xué)的“過程性”，促使學(xué)生主動參與概念的處理和搜集，了解概念的由來，理解概念的本質(zhì)，注重數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué).

一、函數(shù)單調(diào)性案例分析

1.概念引入

解析通過觀察圖象，圖1是y隨x的增大而增大，圖2是y隨x的增大而減小，圖3是在對稱軸x=1的左側(cè)y隨x的增大而減小，右側(cè)是y隨x的增大而增大，這種引入概念的方式更加側(cè)重于對圖象變化的分析，從而得出單調(diào)性的描述性性定義.

案例二圖4是某一地區(qū)24小時的氣溫變化圖，要求學(xué)生觀察圖象并回答以下問題：

(1)該地區(qū)0時、11時、22時的溫度分別是多少？

(2)該地區(qū)的最高、最低溫度分別是多少度？

(3)該地區(qū)0時到23時的變化如何描述，你還能列舉出相應(yīng)的例子嗎？

解析應(yīng)用生活中的實際案例，引發(fā)學(xué)生的好奇心，要求學(xué)生觀察圖象歸納出單調(diào)性的定義.顯然這種引入概念方式更加側(cè)重于特殊數(shù)據(jù)的分析.

綜上所述，以上案例均引出了函數(shù)單調(diào)性的概念，但案例一是從學(xué)生已學(xué)知識引出概念，更接近學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，并且又溫習(xí)所學(xué)知識的，其缺點是缺少數(shù)據(jù)的參與，對函數(shù)單調(diào)性的感知是不完整的.而案例二是從學(xué)生生活中的例子出發(fā)，是在分析數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)變化的趨勢上歸納總結(jié)出函數(shù)單調(diào)性的定義，其不足是缺少圖象的直觀感知，如果將數(shù)據(jù)變化與圖象變化有機(jī)結(jié)合起來，則會有利于單調(diào)性的學(xué)習(xí).

2.概念理解

案例三教師畫出f(x)=x2函數(shù)的圖象，要求學(xué)生思考以下問題：

(1)在y軸的右側(cè)函數(shù)圖象是上升，還是下降？

在學(xué)生回答問題后，教師給出如果在y軸的右側(cè)任意取兩點x1、x2(x1

(2)教師隨機(jī)提問減函數(shù)的定義，并強(qiáng)調(diào)“任意”、“區(qū)間”等關(guān)鍵詞.

解析通過分析y=x2函數(shù)圖象，直接給出增函數(shù)的定義，并要求學(xué)生通過類比的方式得出減函數(shù)定義.

案例四教師設(shè)置以下問題，要求學(xué)生回答.

問題1：分別畫出函數(shù)f(x)=x、f(x)=x2的圖象，請說明自變量和函數(shù)值之間的關(guān)系.

問題2：如圖5所示，請說出該函數(shù)是增函數(shù)嗎？如果不是，請說明理由.

問題3：應(yīng)用數(shù)學(xué)語言描繪增函數(shù)的定義.

解析通過對已知圖象的觀察，引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行描述，并對注意事項以案例的形式呈現(xiàn)，最后以探究的形式得出函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.

綜上所述，以上案例均歸納總結(jié)了函數(shù)單調(diào)性的定義，但案例三忽視了學(xué)生的主觀能動性，將函數(shù)單調(diào)性的概念直接呈現(xiàn)給學(xué)生，不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)揮和對函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)的理解.案例四設(shè)置了三個問題不斷給學(xué)生創(chuàng)造認(rèn)知沖突，能讓學(xué)生體會到函數(shù)單調(diào)性質(zhì)，其不足是沒有給學(xué)生獨立思考的時間，仍然是將知識灌輸給學(xué)生，未能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

三、概念應(yīng)用

案例五呈現(xiàn)教材中的案例，并組織學(xué)生學(xué)習(xí).

解析進(jìn)一步拓展函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，并總結(jié)出證明函數(shù)單調(diào)性的具體步驟.

案例六設(shè)置以下例題，并組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí).

(1)已知函數(shù)f(x)=5x+2，請證明該函數(shù)是增函數(shù).

(3)已知函數(shù)f(x)=x2+3x，請判斷該函數(shù)在R上的單調(diào)性.

解析應(yīng)用定義進(jìn)一步拓展練習(xí)，歸納出判斷和證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.

綜上所述，以上案例均歸納出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，但案例五是采用教材上的例題，學(xué)生易簡單模仿，不利于函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)的理解.案例六是按照難度逐步加深的原則進(jìn)行設(shè)計的，有利于拓寬學(xué)生的視野，易于學(xué)生接受.

四、歸納小結(jié)

案例七教師列舉了以下知識，要求學(xué)生記憶并形成概念體系.

證明函數(shù)單調(diào)性的幾個步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.

判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法：圖象法、定義法.

解析教師總結(jié)本節(jié)課程重點組織學(xué)生學(xué)習(xí).

案例八

問題1：如何證明函數(shù)單調(diào)性？

問題2：判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法主要有哪些？

問題:3：請以案例的形式說出本節(jié)課程所涉及到的基本思想方法.

解析學(xué)生總結(jié)，教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善.

綜上所述，以上案例均總結(jié)了證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，但案例七缺乏學(xué)生的參與，案例八沒有意識到過程性方法的提煉.

二、高中函數(shù)核心概念教學(xué)建議

通過對以上函數(shù)單調(diào)性案例的分析，并針對當(dāng)前函數(shù)概念教學(xué)中存在的重“結(jié)果”輕“過程”的問題，教師應(yīng)立足于概念的“過程性”，在引入概念時，注重數(shù)形結(jié)合；在建構(gòu)概念時，注重新舊知識之間的聯(lián)系；在理解概念時，注重題目變式和正反；在鞏固概念時，注重強(qiáng)化應(yīng)用；在形成體系時，注重總結(jié).并在具體教學(xué)實踐中，應(yīng)注重以下幾個方面：

1.數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化思維過程.為了讓學(xué)生全面初步獲得概念，教師應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)化學(xué)生思維過程，并且提供的正面實例是從圖象和表格兩個方面組織學(xué)生進(jìn)行觀察和探究.

2.巧妙設(shè)置探究問題.要以學(xué)生為主體，設(shè)置的問題要從實際生活和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出去，注重自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等方式引導(dǎo)學(xué)生參與.

3.多角度理解概念.教師不應(yīng)該忙于講解概念的判斷方法、證明步驟，而是利用變式練習(xí)來突出概念的本質(zhì)屬性，用新獲得的概念去分析概念引入時所提供的實例，通過圖象、表格、形式化符號語言之間的轉(zhuǎn)換來理解概念的本質(zhì).

4.完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成概念體系.理清概念與其它概念、數(shù)學(xué)實際問題之間的區(qū)別和聯(lián)系，把所學(xué)的零散的知識串連起來，站在一個較高的高度上構(gòu)建出概念體系.

總之，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程中的一個核心概念，只要我們在具體核心概念教學(xué)中徹底改變輕描淡寫的狀態(tài)，堅持?jǐn)?shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)思想方法滲透、多角度理解、構(gòu)建出概念體系，不斷理解概念的本質(zhì)，才能很好地應(yīng)用于具體題目，才能獲得較為理想的效果.

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