梁腹板偏心孔強(qiáng)度校核方法研究

王 震，王月英，張愛(ài)茹，張海周

(1.航空工業(yè)洪都，江西南昌330024；2.伊犁師范學(xué)院，新疆 伊寧835000)

0 引言

現(xiàn)代飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度校核工作中大量采用有限元軟件計(jì)算載荷和應(yīng)力，但在全機(jī)有限元模型簡(jiǎn)化中往往不可能將結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)模擬出來(lái)。例如飛機(jī)翼梁有限元模型就常常用純剪板元模擬梁腹板、用等軸力桿模擬梁緣條，并且認(rèn)為梁腹板處沒(méi)有開(kāi)孔。然而，因安裝、維護(hù)機(jī)載設(shè)備或管道通過(guò)（如通風(fēng)管）的需要，梁腹板往往需要開(kāi)孔。因此有限元結(jié)果只是近似解，腹板開(kāi)孔部位需要用工程方法對(duì)有限元結(jié)果進(jìn)行修正。目前有多種工程算法可以修正梁腹板上有口框的開(kāi)孔區(qū)域的載荷。各種方法都是按腹板開(kāi)孔的載荷傳遞路徑假設(shè)來(lái)分配腹板總剪力，但在處理開(kāi)孔偏心時(shí)，開(kāi)孔處腹板剪力分配存在分歧，本文主要討論兩種處理方法：一是按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板高度比來(lái)分配，二是按梁緣條的剖面慣性矩的比值來(lái)分配。在具體工程實(shí)踐中，多采用第二種方法進(jìn)行機(jī)翼梁腹板開(kāi)孔偏心情況的強(qiáng)度校核。具體方法如下（該計(jì)算過(guò)程取自某型飛機(jī)機(jī)翼翼梁強(qiáng)度校核報(bào)告）。

1 實(shí)例

1.1 實(shí)例1

如圖1所示，已知梁腹板高度H=201mm，梁腹板厚度tw=2.5mm，腹板開(kāi)孔長(zhǎng)度L=75mm，梁腹板剪應(yīng)力τ=-67.6MPa。

開(kāi)孔上截面慣性矩I1=496405mm4，開(kāi)孔下截面慣性矩I2=87035mm4

開(kāi)孔上截面的附加彎矩為ΔM：

附加彎矩在上緣條產(chǎn)生的附加應(yīng)力Δσ為：

有限元結(jié)果，梁上緣條正應(yīng)力為σ0=-298.4MPa梁上緣條正應(yīng)力：σ=σ0+Δσ=298.4+62.0=360.4MPa已知梁緣條局部失穩(wěn)臨界應(yīng)力σcr=365MPa則該段腹板開(kāi)孔梁上緣條穩(wěn)定性系數(shù)ξ為：

由以上校核過(guò)程可知，此處開(kāi)孔剛剛滿(mǎn)足靜強(qiáng)度要求。

圖1 梁腹板開(kāi)孔截面

1.2 實(shí)例2

實(shí)例1中開(kāi)孔向下偏心，距上緣條較遠(yuǎn)。假設(shè)開(kāi)孔向上偏心，距上緣條較近，如圖2所示。同樣，按梁緣條的剖面慣性矩的比值來(lái)分配剪力。

圖2 梁腹板開(kāi)孔截面

梁腹板處開(kāi)孔參數(shù)及腹板應(yīng)力與實(shí)例1相同。

剪力Q：Q=τ·tw·H=67.6×2.5×201=33969N

開(kāi)孔上截面慣性矩I1=87035mm4，開(kāi)孔下截面慣性矩I2=496405mm4

開(kāi)孔上截面的附加彎矩ΔM為：

附加彎矩在上緣條產(chǎn)生的附加應(yīng)力Δσ為：

有限元結(jié)果，梁上緣條正應(yīng)力為σ0=-298.4MPa梁上緣條正應(yīng)力σ=σ0+Δσ=298.4+28.7=327.MPa：已知梁緣條局部失穩(wěn)臨界應(yīng)力σcr=365MPa

則該段腹板開(kāi)孔梁上緣條穩(wěn)定性系數(shù)ξ為：

由以上計(jì)算過(guò)程可知，當(dāng)開(kāi)孔向上緣條靠近時(shí)，梁上緣條的穩(wěn)定性系數(shù)由ξ=1.01提高到了ξ=1.12，與實(shí)際情況不符。開(kāi)孔附近有較大的應(yīng)力集中，開(kāi)孔靠近時(shí)，梁緣條的應(yīng)力應(yīng)該增加，穩(wěn)定性系數(shù)相應(yīng)降低。因此按梁緣條的剖面慣性矩的比值來(lái)分配腹板剪力，存在局限性。

以下將腹板開(kāi)孔結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為剛框結(jié)構(gòu)，討論按梁緣條的剖面慣性矩的比值來(lái)分配腹板剪力的局限性。并根據(jù)參考文獻(xiàn)1，將腹板開(kāi)孔結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為板桿結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板長(zhǎng)度比來(lái)分配腹板剪力的理論基礎(chǔ)。

2 剛框模型

2.1 理論分析

當(dāng)梁腹板開(kāi)口的尺寸接近梁腹板高度時(shí)，一般采用環(huán)形加強(qiáng)結(jié)構(gòu)如圖3所示，L為開(kāi)口兩側(cè)立柱之間距離，H為梁腹板平均高度。腹板的剪切力Q，通過(guò)由支柱、梁凸緣、加強(qiáng)環(huán)組成的圍框的彎曲傳遞。

圖3 剛框簡(jiǎn)化示意

由外載荷平衡可知：P

將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為平面剛框（此簡(jiǎn)化保守），該平面剛框?yàn)?度靜不定結(jié)構(gòu)。設(shè)上緣條抗彎剛度為K1EI，左側(cè)立柱抗彎剛度為K2EI，下緣條抗彎剛度為K3EI，右側(cè)立柱抗彎剛度為K4EI。將剛框上緣條沿開(kāi)孔圓心處切開(kāi)，即解除三個(gè)多余約束，得靜定的基本系統(tǒng)。在切口處用剪力X1、軸力X2、彎矩X3三個(gè)未知力代替切口的約束作用，并求出載荷狀態(tài)《P》和各單位狀態(tài)《1》、《2》、《3》的內(nèi)力，如圖 4 所示。

圖4 剛框的基本系統(tǒng)受力狀態(tài)

彎矩圖畫(huà)在受壓一側(cè)，取剛框外側(cè)為正。

用力法求解該靜不定系統(tǒng)，求解過(guò)程如下。

δ12=0 （反對(duì)稱(chēng)積分）

δ13=0 （反對(duì)稱(chēng)積分）

代入典型方程，求解：

由此可得：

在實(shí)際設(shè)計(jì)中會(huì)遇到孔偏離一邊的情況，即上緣條抗彎剛度K1EI與下緣條抗彎剛度K3EI不同（K1≠K3）。但是可以認(rèn)為開(kāi)孔左、右側(cè)立柱抗彎剛度相同，即左側(cè)立柱抗彎剛度K2EI與右側(cè)立柱抗彎剛度K4EI相同（K2=K4=KV）。則：

由于梁左右方向（展向）的抗彎剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于上下方向（高向）的抗彎剛度即，可以假設(shè)為無(wú)窮小。

此假設(shè)偏差ΔX1由下式得：

當(dāng)K1＜K3時(shí) ΔX1＞0，此假設(shè)冒進(jìn)。因此，此假設(shè)在腹板剩余高度較小的一側(cè)結(jié)果冒進(jìn)，但是此冒進(jìn)值可能被剛框假設(shè)的保守值覆蓋。

當(dāng)K3-K1很大時(shí)，存在用剛框假設(shè)校核梁腹板開(kāi)孔強(qiáng)度時(shí)結(jié)果冒進(jìn)的情況。

剛框假設(shè)：將腹板開(kāi)孔結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為剛框，并認(rèn)為開(kāi)孔腹板剩余高度最小處的梁緣剖面慣性矩ISH、IX(上、下梁緣最小的慣性矩)是剛框上、下緣條的剖面慣性矩，即：

一般情況時(shí)（開(kāi)孔不偏心），認(rèn)為上、下緣條抗彎剛度相同（K1=K2=K3=K4）

圖5 剛框彎矩分布

2.2 實(shí)例分析

結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介：懸臂梁的結(jié)構(gòu)尺寸如圖6所示，梁腹板開(kāi)孔處用環(huán)形框加強(qiáng)，材料為鋁合金（E=72000MPa，μ=0.3）。該梁一端固定，另一端作用有大小為10000N，方向垂直向上的力。計(jì)算結(jié)果列于表，曲線圖如圖7所示。

在此以開(kāi)孔偏心距離ΔH為唯一變量。開(kāi)孔直徑為L(zhǎng)=100mm；梁緣厚度t=5mm，梁緣寬度B=42mm；腹板厚度δ=2mm；環(huán)形框?qū)挾菳1=100mm，厚度t1=4m。

圖6 懸臂梁實(shí)例

數(shù)據(jù)分析：表1中是按梁緣條的剖面慣性矩的比值來(lái)分配剪力，所得梁上緣條軸應(yīng)力；是按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板長(zhǎng)度比來(lái)分配剪力，得到的梁上緣條的軸應(yīng)力；是有限元細(xì)節(jié)模型分析所得梁上緣條軸應(yīng)力。

由表1中數(shù)據(jù)得，剛框法按開(kāi)孔截面慣性矩的比值來(lái)分配剪力，會(huì)出現(xiàn)結(jié)果冒進(jìn)的情況。由上文中對(duì)剛框法原理的描述可知，將梁腹板開(kāi)孔簡(jiǎn)化為剛框偏保守，而按開(kāi)孔截面慣性矩的比值來(lái)分配剪力偏冒進(jìn)，一般情況保守值會(huì)覆蓋冒進(jìn)值，但是當(dāng)開(kāi)孔偏心較大時(shí)，按剛框法所計(jì)算出的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏冒進(jìn)的情況（圖7）。

表1 梁腹板開(kāi)孔偏心情況數(shù)據(jù)（L=100mm）

圖7 梁腹板開(kāi)孔偏心情況應(yīng)力（L=100mm）

3 板桿模型

3.1 理論分析

由前面推導(dǎo)可知，按梁緣條的剖面慣性矩的比值來(lái)分配腹板開(kāi)孔處的剪力，在腹板剩余高度較小的一側(cè)有結(jié)果冒進(jìn)的可能。因此在校核梁腹板開(kāi)孔強(qiáng)度時(shí)，應(yīng)當(dāng)按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板高度比來(lái)分配剪力。將腹板開(kāi)孔結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為板桿結(jié)構(gòu)，如圖8所示，推導(dǎo)按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板長(zhǎng)度比來(lái)分配剪力的理論基礎(chǔ)。其推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)參考文獻(xiàn)1。

假設(shè)開(kāi)口為覆蓋圓孔的方孔如圖9所示（此假設(shè)保守）。為了便于計(jì)算，假設(shè)開(kāi)口區(qū)域上方和下方剪流相等，開(kāi)口左邊和右邊也相等，即為自身平衡載荷系統(tǒng)。

如果開(kāi)口不存在，則所有的板剪流q為一個(gè)相同的常值。

圖8 板桿結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖9 按板桿結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化簡(jiǎn)圖

如果在中間的板上加一個(gè)大小相等方向相反的剪流q，中心板上下的剪流則必須與q所引起的力保持靜平衡；

將此載荷系統(tǒng)與原來(lái)載荷系統(tǒng)相加，得到中間板剪流等于零，即中間板不參與傳力，可以等效為中間開(kāi)孔。此時(shí)開(kāi)孔上下板剪流為：

開(kāi)孔上方板的剪力QH為：

則可計(jì)算出中間截面（此處梁緣條的抗彎能力最弱）剪力產(chǎn)生的附加彎矩：

因附加彎矩ΔM的求解過(guò)于簡(jiǎn)單保守，下文將繼續(xù)討論如何修正附加彎矩。

一般情況時(shí)（開(kāi)孔不偏心H1=H3），剪流引起的附加彎矩：

3.2 實(shí)例分析

結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介：懸臂的結(jié)構(gòu)尺寸如圖10所示，腹板開(kāi)孔處用環(huán)形框加強(qiáng)，材料為鋁合金（E=72000MPa，μ=0.3）。該梁一端固定，另一端作用有大小為10000N、方向垂直向上的力。計(jì)算結(jié)果列于表2。

在此以開(kāi)孔直徑為唯一變量。開(kāi)孔偏心距離為ΔH=15mm；梁緣厚度t=5mm，梁緣寬度B=42mm；腹板厚度δ=2mm；環(huán)形框?qū)挾菳1=10mm，厚度t1=4mm。

數(shù)據(jù)分析：表2中，σ1是按梁緣條剖面慣性矩I的比值來(lái)分配剪力所得梁上緣條軸應(yīng)力；σ2是按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板高度比來(lái)分配剪力所得梁上緣條軸應(yīng)力；σ3是有限元細(xì)節(jié)模型分析所得梁上緣條軸應(yīng)力。

由以上推導(dǎo)和計(jì)算的結(jié)果可知，板桿簡(jiǎn)化法結(jié)果偏保守。

梁腹板開(kāi)孔編心應(yīng)力如圖11所示，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

圖10 懸臂梁實(shí)例簡(jiǎn)圖

表2 梁腹板開(kāi)孔偏心情況數(shù)據(jù)（ΔH=15mm）

圖11 梁腹板開(kāi)孔偏心情況應(yīng)力（ΔH=15mm）

以開(kāi)孔直徑為唯一變量。開(kāi)孔不偏心，既開(kāi)孔偏心距離為ΔH=0mm；梁緣厚度t=5mm，梁緣寬度B=42mm；腹板厚度δ=2mm；環(huán)形框?qū)挾菳1=10mm，厚度t1=4mm。計(jì)算結(jié)果列于表3。

表3 梁腹板開(kāi)孔居中情況數(shù)據(jù)

表3中：σ1是按梁緣條的剖面慣性矩I的比值來(lái)分配剪力所得梁上緣條軸應(yīng)力；σ2是按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板高度比來(lái)分配剪力所得梁上緣條軸應(yīng)力；σ3是有限元細(xì)節(jié)模型分析所得梁上緣條軸應(yīng)力。

由表3可知，板桿模型法結(jié)果過(guò)于保守，應(yīng)該對(duì)板桿模型法進(jìn)行修正。由以上數(shù)據(jù)可以看出剛框法和板桿法在開(kāi)孔居中時(shí)結(jié)果都過(guò)于保守，而當(dāng)開(kāi)孔偏心時(shí)這兩種方法的保守值都相對(duì)減小。比較剛框法和板桿法可知，這兩種方法在處理附加彎矩時(shí)方法相同，附加彎矩等于開(kāi)孔上、下部位剪力傳遞到開(kāi)孔中心時(shí)引起的彎矩。而處理開(kāi)孔上、下部位剪力分配時(shí)方法不同。經(jīng)以上實(shí)例比較可以認(rèn)為，剛框法和板桿法處理附加彎矩時(shí)均偏保守（開(kāi)孔居中時(shí)無(wú)剪力分配問(wèn)題）。梁腹板開(kāi)孔居中應(yīng)力見(jiàn)圖12。

圖12 梁腹板開(kāi)孔居中情況應(yīng)力

因此，對(duì)板桿法過(guò)于保守的情況進(jìn)行修正時(shí)，因該主要修正處理附加彎矩時(shí)的前提假設(shè)，而保留按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板長(zhǎng)度比分配總剪力Q的假設(shè)。

4 修正附加彎矩

在修正過(guò)程中保留按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板長(zhǎng)度比分配總剪力Q的假設(shè)。

推導(dǎo)過(guò)程中認(rèn)為，附加彎矩等于開(kāi)孔上、下部位剪力傳遞到開(kāi)孔中心時(shí)引起的彎矩。在此對(duì)附加彎矩進(jìn)行討論和修正。

計(jì)算中近似認(rèn)為，剪力QSH、QX傳遞到開(kāi)孔上、下部位時(shí)產(chǎn)生的彎矩為開(kāi)孔引起的附加彎矩。該假設(shè)過(guò)于保守，剪力QSH、QX引起的彎矩既包括開(kāi)孔引起的附加彎矩，也包括剩余腹板自身剪力產(chǎn)生的彎矩。

可以把開(kāi)孔部位的剪力分為無(wú)開(kāi)孔時(shí)本應(yīng)該由開(kāi)孔傳遞的剪力Q1和上、下腹板傳遞的剪力Q2，如圖13所示。因?yàn)殚_(kāi)孔無(wú)法傳遞剪力，剪力Q1被傳遞給附近腹板，導(dǎo)致彎矩增加。因剪力Q1而增加的這部分彎矩是開(kāi)孔引起的附加彎矩。

圖13 梁腹板開(kāi)孔載荷分配

假設(shè)開(kāi)孔為方孔。

則上腹板開(kāi)孔剪力Q1：

則Q1產(chǎn)生的彎矩ΔH為：

將圓孔假設(shè)為方孔偏保守。下面將討論考慮開(kāi)孔為圓孔，開(kāi)孔剪力Q1的求法。

假設(shè)腹板沒(méi)有開(kāi)孔，將“開(kāi)孔區(qū)域”分為A、B、C三塊，如圖14所示。A、B區(qū)域傳遞的載荷為Q1=QSH·而B(niǎo)區(qū)域的剪力產(chǎn)生的彎矩為附加彎矩。

B區(qū)域傳遞的剪力沿X軸遞增，因此B區(qū)域傳遞的剪力可以簡(jiǎn)化為分布剪力P。

A區(qū)域傳遞的剪力沿X軸遞減，因此A區(qū)域傳遞的剪力可以簡(jiǎn)化為集中剪力Q1加上分布剪力-P。

圖14 梁腹板開(kāi)孔載荷分配

已知B區(qū)域傳遞的剪力

把QO看做一組分布力P，大小為：

則P產(chǎn)生的彎矩ΔM為：

按修正后的附加彎矩公式計(jì)算前面的三個(gè)實(shí)例，結(jié)果列于表3開(kāi)孔直徑不變偏心距離改變，曲線如圖15所示；表4偏心距離不變開(kāi)孔直徑改變，曲線如圖16所示；表5開(kāi)孔不偏心直徑改變，曲線如圖17所示，梁腹板開(kāi)孔居中情況數(shù)據(jù)見(jiàn)表6。

表4 梁腹板開(kāi)孔偏心情況數(shù)據(jù)（L=100mm）

圖15 梁腹板開(kāi)孔偏心情況應(yīng)力圖（L=100mm）

圖16 梁腹板開(kāi)孔偏心情況應(yīng)力圖（△H=15mm）

表5 梁腹板開(kāi)孔偏心情況數(shù)據(jù)（△H=15mm）

表6 梁腹板開(kāi)孔居中情況數(shù)據(jù)

表中：σ1是按梁緣條的剖面慣性矩I的比值來(lái)分配剪力所得梁上緣條軸應(yīng)力；σ2是按開(kāi)孔上、下部位剩余腹板長(zhǎng)度比來(lái)分配剪力所得梁上緣條軸應(yīng)力；σ3是有限元細(xì)節(jié)模型分析所得梁上緣條軸應(yīng)力。σ4是修正σ2的附加應(yīng)力公式所得梁上緣條軸應(yīng)力。

圖17 梁腹板開(kāi)孔居中情況應(yīng)力

5 結(jié)語(yǔ)

按開(kāi)孔上、下梁緣的剖面慣性矩分配剪力具有局限性。采用該方法處理開(kāi)孔處剪力分配，在緣條剖面慣性矩較小的一側(cè)結(jié)果偏冒進(jìn)。而將開(kāi)孔腹板簡(jiǎn)化為剛框則偏保守，在一般情況下保守值會(huì)覆蓋冒進(jìn)值。但是，當(dāng)開(kāi)孔偏心較大時(shí)，采用該算法所得結(jié)果則偏冒進(jìn)，具有一定風(fēng)險(xiǎn)。因此校核梁腹板開(kāi)孔時(shí)不宜采用該算法。

將翼梁開(kāi)孔腹板簡(jiǎn)化為開(kāi)方孔的板桿結(jié)構(gòu)，開(kāi)孔處腹板剪力可按開(kāi)孔上、下腹板剩余高度分配。但求解附加彎矩時(shí)，原有方法過(guò)于簡(jiǎn)單保守，由此，本文提出了改進(jìn)意見(jiàn)。

[1]飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊(cè)編委會(huì).飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊(cè).第9冊(cè).北京：航空工業(yè)出版社,2001.

[2]牛春勻.實(shí)用飛機(jī)結(jié)構(gòu)工程設(shè)計(jì).北京：航空工業(yè)出版社，2008.

[3]徐芝綸.彈性力學(xué).北京：人民教育出版社，1980.

[4]姜炳光，劉國(guó)春.結(jié)構(gòu)力學(xué).北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1983.

[5]莊茁，張帆，岑松.ABAQUS非線性有限元分析與實(shí)例.北京：科學(xué)出版社，2005.