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    關(guān)于三角形邊長(zhǎng)一個(gè)猜想的證明及推廣

    2018-05-08 02:28:32董林
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2018年3期
    關(guān)鍵詞:高青縣三邊高級(jí)教師

    筆者在文[1]中提出如下

    猜想若a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),n∈N且n≥2,∑表示對(duì)a,b,c循環(huán)求和,則有

    ∑bn+cn-anb+c-a≤∑an-1.

    在猜想中,上述不等式被記為D(n).經(jīng)研究,上述猜想是正確的.

    證明由于a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),則有b+c-a>0,c+a-b>0,a+b-c>0,那么

    ∑bn+cn-anb+c-a-∑an-1

    =∑bn+cn-an-b+c-aan-1b+c-a

    =∑bbn-1-an-1b+c-a+ccn-1-an-1b+c-a

    =∑bbn-1-an-1b+c-a+aan-1-bn-1c+a-b

    =∑an-1-bn-1ac+a-b-bb+c-a

    =∑an-1-bn-1ab+c-a-bc+a-bc+a-bb+c-a

    =∑an-1-bn-1ac-a2-bc+b2c+a-bb+c-a

    =∑an-1-bn-1ca-b-a+ba-bc+a-bb+c-a

    =-∑an-1-bn-1a-ba+b-cc+a-bb+c-a

    由于n∈N且n≥2,所以

    當(dāng)a≥b時(shí)有an-1≥bn-1;

    當(dāng)a≤b時(shí)有an-1≤bn-1,

    故總有a-ban-1-bn-1≥0成立,那么

    -∑an-1-bn-1a-ba+b-cc+a-bb+c-a≤0,

    即∑bn+cn-anb+c-a-∑an-1≤0,所以有

    ∑bn+cn-anb+c-a≤∑an-1成立,即D(n)得證.

    從證明過程看,我們可以將上述猜想推廣為:

    命題 若a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),p∈R,∑表示對(duì)a,b,c循環(huán)求和,則

    當(dāng)p≥1時(shí),有∑bp+cp-apb+c-a≤∑ap-1;

    當(dāng)p<1時(shí),有∑bp+cp-apb+c-a≥∑ap-1.

    參考文獻(xiàn)

    [1]董林.關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的一組優(yōu)美不等式及猜想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2015(6).

    作者簡(jiǎn)介董林(1975—),男,中共黨員,高級(jí)教師,高青縣教學(xué)研究室主任,主要從事教學(xué)研究和初等數(shù)學(xué)研究,近年來在各類專業(yè)刊物上發(fā)表論文180余篇.

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