北師大版與人教A版高中數(shù)學(xué)教科書比較研究

【摘要】本文比較分析普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教A版與北師大版“空間圖形的基本關(guān)系與公理”這一節(jié)內(nèi)容，揭示兩版本教科書所滲透的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)語言的使用與表達(dá)及例習(xí)題配置情況，進(jìn)而為高中立體幾何教學(xué)提供參考建議.研究發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)置類同于《幾何原本》的公理化系統(tǒng)，滲透公理化思想方法；內(nèi)容呈現(xiàn)方式始于公理化思想方法的應(yīng)用；北師大版圖象語言的使用頻率高于人教A版，而人教A版同時使用三種語言描述的知識點則多于北師大版；例題均設(shè)置了推理論證和三種語言間轉(zhuǎn)換的題目，但習(xí)題設(shè)置存在差異，各有側(cè)重.最后根據(jù)研究結(jié)果提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】教科書；比較研究；空間圖形的基本關(guān)系與公理；教學(xué)建議

1引言

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）指出：數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界[1].教科書作為依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫的教學(xué)材料，它是課程目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容的具體體現(xiàn)，在一定程度上決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)會和學(xué)業(yè)成就[2].課標(biāo)提倡教材編寫的多樣化，在以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)的前提下，不同的教材可以有各自的風(fēng)格和特點.因此，不同版本教材，對知識內(nèi)容的安排、數(shù)學(xué)思想方法的滲透、數(shù)學(xué)語言的表達(dá)也不盡相同，那么不同的數(shù)學(xué)教科書在滲透數(shù)學(xué)思想方法、用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)、例習(xí)題與內(nèi)容的匹配等問題的差異就值得研究了.長期以來，幾何承擔(dān)著推理與證明的責(zé)任，這種責(zé)任并不會因為數(shù)學(xué)教育的改革而消亡，究其緣由，幾何知識比其他數(shù)學(xué)內(nèi)容能更好地使學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)世界的推理與證明，或者說是更明確、更符合人們認(rèn)識事物的直覺[3].因此，本文選取人教A版和北師大版教科書立體幾何部分內(nèi)容進(jìn)行比較，探析兩版本教科書滲透數(shù)學(xué)思想方法、運用數(shù)學(xué)語言、例習(xí)題與內(nèi)容的匹配的問題，以期為教材編寫者就數(shù)學(xué)思想方法與知識的有機(jī)融合提供數(shù)據(jù)支撐與理論依據(jù)，為一線教師教學(xué)提供教學(xué)建議與方法.

2研究方法與內(nèi)容

本文選取普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教A版[4]（以下簡稱“人教A版”）與普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書北師大版[5]（以下簡稱“北師大版”）必修2關(guān)于“空間圖形的基本關(guān)系與公理”的內(nèi)容，比較的具體內(nèi)容見表1.基于人教A版與北師大版教科書的文本材料，運用文獻(xiàn)研究和比較研究的方法，從內(nèi)容呈現(xiàn)、數(shù)學(xué)語言及例習(xí)題設(shè)置三個維度對兩版本教科書進(jìn)行深度剖析.表1兩版本教科書中關(guān)于“空間圖形基本關(guān)系和公理”的具體內(nèi)容

教科，書內(nèi)容人教A版2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系：2.1.1 平面；2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系；習(xí)題 2.1；復(fù)習(xí)參考題 .北師大版第1章第4節(jié)：4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識；4.2 空間圖形的公理；習(xí)題 1—4；復(fù)習(xí)題一.3研究結(jié)果

3.1內(nèi)容呈現(xiàn)

3.1.1兩版本教科書內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)置與《幾何原本》公理化系統(tǒng)相似，滲透公理化思想方法

內(nèi)容結(jié)構(gòu)反映了本節(jié)教材所包括知識點之間的相互關(guān)系，且每一部分內(nèi)容都是必不可少的，這個有機(jī)構(gòu)成的知識團(tuán)從側(cè)面反映了它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.王仲春先生提出的公理化方法的結(jié)構(gòu)層次分為4層次架構(gòu)：第一層次——基本概念（對象、基本關(guān)系）；第二層次——定義；第三層次——公理組（包括邏輯公理）；第四層次——定理及其證明[6].以此為比較分析框架，兩版本教科書內(nèi)容結(jié)構(gòu)見表2.表2北師大版和人教A版內(nèi)容結(jié)構(gòu)

公理化方法的層次結(jié)構(gòu)北師大版人教A版基本概念對象點、線、面基本關(guān)系（位置關(guān)系）屬于、不屬于、相交、平行、重合、共面、異面定義給空間中點、線、面的位置關(guān)系下定義.如：異面直線的定義.空間平面的定義；

給空間中點、線、面的位置關(guān)系下定義.公理組公理1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；

公理2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；

公理4平行于同一條直線的兩條直線平行.定理及其證明定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)；

例習(xí)題中有關(guān)推理論證的命題；

平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)（本文未詳細(xì)討論）.從表2可以看出，兩版本教科書在“空間圖形的基本關(guān)系與公理”這一節(jié)包含的知識點基本一致，只在定義層次人教A版比北師大版多了空間平面的定義，這是由于兩版本教科書在小學(xué)和初中兩個學(xué)段幾何內(nèi)容的安排略有差異.公元前300年歐幾里得寫成了名著《幾何原本》，其對于人類文明的最大貢獻(xiàn)在于用演繹方法構(gòu)建了一個公理化體系，而兩版本的教科書內(nèi)容結(jié)構(gòu)也完全符合公理化方法的層次結(jié)構(gòu)，從公理化體系的角度對幾何章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行安排.基于《原本》的公理化體系，無形中滲透了公理化思想方法，使立體幾何章節(jié)各部分內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，呈現(xiàn)出一個精密運作的幾何世界.

3.1.2兩版本教科書內(nèi)容呈現(xiàn)方式“貌離神合”——公理化思想方法的應(yīng)用

北師大版和人教A版關(guān)于空間圖形基本關(guān)系與公理的呈現(xiàn)方式比較見表3.表3北師大版和人教A版內(nèi)容呈現(xiàn)方式

呈現(xiàn)方式北師大版人教A版引入借助長方體模型，在直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上引出空間點、線、面的位置關(guān)系的問題.知識呈現(xiàn)概括空間圖形基本位置關(guān)系主要包括五種；

空間點和直線的位置關(guān)系；

空間點和平面的位置關(guān)系；

公理1；

公理2空間直線與平面之間的位置關(guān)系；

公理3空間平面與平面的位置關(guān)系；

公理4空間兩條直線的位置關(guān)系；

異面直線及其夾角.空間平面的定義；

空間點和平面的位置關(guān)系；

公理1空間點與直線、直線與平面的位置關(guān)系；

公理2；

公理3；

異面直線的定義；

空間兩條直線的位置關(guān)系、公理4；

異面直線的夾角；

空間直線與平面的位置關(guān)系；

空間平面與平面的位置關(guān)系.從表3可以看出，兩版本基于《標(biāo)準(zhǔn)》要求，借助長方體模型，在學(xué)生直觀認(rèn)識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的條件下，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，同時了解作為推理依據(jù)的公理和定理[7].但是，通過比較發(fā)現(xiàn)，盡管兩版本教科書知識點呈現(xiàn)順序大相徑庭，看似雜亂無章，實則都是按照一定的主線，將各個知識點以邏輯規(guī)則和順序有機(jī)結(jié)合.人教A版從空間圖形與位置關(guān)系的視角，分別以平面、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面之間的位置關(guān)系為小節(jié)標(biāo)題，基于這樣的劃分分別引出與之相應(yīng)的知識點，即以空間圖形與位置關(guān)系為主線引出與之有關(guān)聯(lián)的公理.如：由平面引出公理1、2、3；由空間兩條直線位置關(guān)系引出公理4.北師大版則選擇從公理的角度出發(fā)，引出與每條公理密切相關(guān)的空間圖形位置關(guān)系.如：由公理2引出空間直線與平面之間的位置關(guān)系等.

由上可知，雖然人教A版和北師大版知識點展開所依據(jù)的主線各有側(cè)重，但事實上兩版本教科書內(nèi)容呈現(xiàn)方式貌離神合：教材編寫者都應(yīng)用了公理化思想方法.利用公理化思想方法可以揭示一個數(shù)學(xué)分支中命題與命題之間的內(nèi)在關(guān)系，從而使它系統(tǒng)化、邏輯化，有利于人們掌握[8].因此，無論選擇以位置關(guān)系還是公理為主線，都充分運用公理化思想方法，使這一節(jié)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，使之成為一個有邏輯、有關(guān)聯(lián)的整體.這樣的教科書，不管對于教師教學(xué)還是學(xué)生學(xué)習(xí)都是一場潛移默化的思維訓(xùn)練.

3.2數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)語言是在數(shù)學(xué)思維中產(chǎn)生和發(fā)展的，是數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具.數(shù)學(xué)語言具體可以分為圖象語言、文字語言、符號語言三種.數(shù)學(xué)教材要滲透和傳播數(shù)學(xué)知識與思想方法，就需要使用數(shù)學(xué)語言來表達(dá).立體幾何以空間圖形為研究對象，幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)必然無法缺少數(shù)學(xué)語言的使用.

3.2.1北師大版圖象語言的使用頻率高于人教A版

為了解兩版本教科書在圖象語言使用方面的區(qū)別，本文做出以下對比統(tǒng)計.北師大版“空間圖形的位置關(guān)系與公理”內(nèi)容共7頁，其中課文中的插圖共25幅；習(xí)題（包括練習(xí)題）共16道，習(xí)題的插圖共6幅.以上31幅插圖中實物圖有5幅，其中包括3張照片，剩余都是幾何線條圖.人教A版這節(jié)內(nèi)容共14頁，其中課文的插圖共25幅；習(xí)題（包括練習(xí)題）共34道，習(xí)題的插圖共有11幅.以上36幅插圖中實物圖有3幅，其中包括1張照片，其余都是幾何線條圖.由此得出下面的對比表.表4北師大版和人教A版圖象語言

平均圖文比

（幅/頁）平均圖題比

（幅/道）實物圖所占率

（實物圖數(shù)/插圖總數(shù)）照片所占率

（照片數(shù)/插圖總數(shù)）北師大版3.570.380.160.10人教A版1.790.320.080.03從表4可以發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書對于課文插圖、習(xí)題插圖、實物圖和照片等使用頻率相差較大，北師大版圖象語言整體使用頻率高于人教A版.北師大版教科書平均每頁分布3.5幅圖，而人教A版還不足2幅.平均圖題比相差不大，但北師大版仍然高于人教A版.實物圖所占率和照片所占率，北師大版是人教A版的2-3倍.

3.2.2人教A版同時使用三種語言描述的知識點多于北師大版

由圖象語言向符號語言的轉(zhuǎn)化需要借助文字語言的中轉(zhuǎn)，文字語言是對圖形的描述、解釋與討論，符號語言則是文字語言的簡單化和再次抽象.兩版本教科書這一節(jié)在對位置關(guān)系、公理和定理的描述中，既有只使用一種語言的情況，如公理4——空間平行線的傳遞性，也有同時使用兩種或三種語言的情形.事實上，三種語言之間的轉(zhuǎn)換都是為其后的演繹推理做準(zhǔn)備，為學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)添磚加瓦.因此，文本統(tǒng)計了兩個版本教科書中使用不同語言的知識點的情況，見表5.表5北師大版和人教A版使用不同語言描述的知識點

一種語言

（文字語言）兩種語言文、符文、圖圖、符三種語言總計北師大版2210712人教A版2110913從表5的數(shù)據(jù)統(tǒng)計可以得出，兩版本教科書使用2-3種語言描述知識點的比例更大.北師大版為83.3%，人教A版為84.6%.此外，兩版本教科書中使用三種語言表述的知識點是最多的，北師大有7個，占比為58.3%，人教A版有9個，占比為69.2%.很明顯，人教A版中三種語言描述的知識點多于北師大版.

3.3例、習(xí)題設(shè)置

例、習(xí)題是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分，是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)會數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要途徑[9].

3.3.1兩版本教科書例題均設(shè)置了推理論證和三種語言間轉(zhuǎn)換的題目

這一節(jié)內(nèi)容中，人教A版設(shè)置了4道例題，其中3道考查空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系；1道為推理論證題.北師大版設(shè)置了2道例題，1道考查兩條直線之間的位置關(guān)系，1道為推理論證題.可以發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書不約而同都設(shè)置了一道證明題作為例題，均為“證明空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點E，F(xiàn)，G，H，構(gòu)成的四邊形為平行四邊形”這樣一道經(jīng)典題，證明的過程比較簡潔，從中位線出發(fā)依據(jù)公理4即可證明，但這道題卻滲透出數(shù)學(xué)公理化思想方法，讓學(xué)生在會做例題的基礎(chǔ)之上體會知識點之間的邏輯關(guān)系和公理化體系，并訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯思維.除此之外，人教A版的4道例題和北師大版的2道例題均注重考察三種語言之間的轉(zhuǎn)換，每道例題都配以相應(yīng)的圖形，同時文字語言和符號語言的表述并重.人教A版的例1特意設(shè)置為將圖象語言轉(zhuǎn)換為符號語言的練習(xí)，這也彌補(bǔ)了課文中未設(shè)置這樣內(nèi)容的缺憾.

3.3.2兩版本教科書習(xí)題設(shè)置存在差異，各有側(cè)重

研究擬從習(xí)題內(nèi)容題量分布及對應(yīng)的百分比兩個維度對兩版本教科書的習(xí)題配置進(jìn)行比較分析.將本節(jié)習(xí)題分為空間圖形基本關(guān)系、公理定理、三種語言間的轉(zhuǎn)換、推理論證這四類.其中將與“異面直線及其夾角”有關(guān)的題歸類至“空間圖形基本關(guān)系”這一組；“三種語言間的轉(zhuǎn)換”指考查有關(guān)三種數(shù)學(xué)語言的描述轉(zhuǎn)化的問題；“推理論證”指涉及到有關(guān)演繹推理的題目.具體統(tǒng)計結(jié)果見表6.表6北師大版和人教A版習(xí)題設(shè)置

習(xí)題內(nèi)容北師大版人教A版題量百分比題量百分比空間圖形基本關(guān)系842.10%2547.17%公理、定理421.05%1324.53%三種語言間的轉(zhuǎn)換210.53%815.09%推理論證526.32%713.21%總計19100%53100%從表6可以看出，無論是北師大版還是人教A版教科書，在習(xí)題的配置中，均著重“空間圖形基本關(guān)系”和“公理、定理”這兩類習(xí)題，為學(xué)生鞏固本節(jié)內(nèi)容所學(xué)知識提供了平臺，這也符合教科書的習(xí)題設(shè)置的要求.但通過比較可以發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書關(guān)于“三種語言間的轉(zhuǎn)換”和“推理論證”的題目的設(shè)置存在明顯差異，而且各有側(cè)重.北師大版的兩類題目數(shù)量占到總題數(shù)的36.85%，其中“推理論證”類題目的數(shù)量甚至超過“公理、定理”類題目，百分比達(dá)到26.32%.而人教A版這兩類題目數(shù)量占總題數(shù)的28.30%，相比北師大版低.其中“三種語言間的轉(zhuǎn)換”類題目數(shù)量更多一點，百分比達(dá)到了15.09%.但從總題數(shù)來看，人教A版習(xí)題數(shù)量是北師大版的兩倍多.

4研究結(jié)論及建議

4.1結(jié)論

4.1.1從宏觀視角看，北師大版與人教A版教科書都滲透了公理化思想方法

歐幾里得《幾何原本》是有史以來用公理化思想方法建立起來的第一門演繹數(shù)學(xué)，而且成為以后很長時期嚴(yán)格證明的典范[10].兩版本教科書在內(nèi)容選取上符合公理化方法結(jié)構(gòu)層次，以空間圖形、關(guān)系、公理和推理論證為結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，與《幾何原本》相似.關(guān)于內(nèi)容呈現(xiàn)方式，運用公理化思想方法將本節(jié)知識點邏輯、關(guān)聯(lián)、有機(jī)地串聯(lián)起來，建立本節(jié)內(nèi)容的“公理系統(tǒng)”.除此之外，兩版本教科書都配置了相應(yīng)比例的推理論證題目，在應(yīng)用層面滲透公理化思想方法.

4.1.2從微觀視角看，北師大版和人教A版對于數(shù)學(xué)語言及例習(xí)題配置的側(cè)重各有不同

兩版本教科書均十分重視學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)，但北師大版偏重圖象語言的內(nèi)容設(shè)置.圖象語言是將現(xiàn)實事物進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的第一步，也是問題解決的第一水平[11]，更能培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的能力.但人教A版則更注重三種數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)，從表5、6及例題配置可以看到，人教A版在相關(guān)內(nèi)容所占比例均比北師大版高，此外，人教A版在例題中專門設(shè)置了一道三種語言相互轉(zhuǎn)換的題目，北師大版與之相比則顯得比較欠缺.例習(xí)題的配置中，北師大版有關(guān)推理論證題目占總題數(shù)的比例均比人教A版高，除此之外，北師大版題目多注重應(yīng)用.因此，人教A版?zhèn)戎貫楹罄m(xù)定理及推理論證的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，而北師大版更關(guān)注學(xué)生在知識應(yīng)用過程中加深對其的理解.

4.2建議

4.2.1立體幾何課堂教學(xué)應(yīng)重視公理化思想方法的滲透

公理化思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中具有重要的作用和意義.首先，公理化思想方法可以揭示一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)或分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化、邏輯化，有利于人們學(xué)習(xí)和掌握.其次，由于公理系統(tǒng)是一個邏輯演繹系統(tǒng)，所以對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和演繹推理能力都有其重要意義[12].雖然《標(biāo)準(zhǔn)》中突出直觀感知、操作確認(rèn)、歸納類比等方法，但演繹推理仍然是驗證猜想、證明結(jié)論的重要手段.因此，教師作為知識傳遞的源頭，應(yīng)在充分理解公理化思想方法的基礎(chǔ)之上，將其融入自己的課堂教學(xué)中，向?qū)W生展示公理化思想方法及系統(tǒng)的特點與優(yōu)勢，在構(gòu)建學(xué)生知識體系的過程中沉淀數(shù)學(xué)思想方法.

4.2.2立體幾何教學(xué)中合情推理與演繹推理應(yīng)相輔相成

數(shù)學(xué)推理位于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系塔的第三層次——數(shù)學(xué)思維層，包括演繹推理和合情推理.合情推理作為獲得猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生大膽猜想、勇于創(chuàng)造的探索精神；演繹推理注重運用事實和邏輯進(jìn)行論證，有助于個體形成尊重事實和證據(jù)的理性精神[13].因此，立體幾何角教學(xué)中教師應(yīng)該在借助幾何直觀、空間想象、操作確認(rèn)、度量計算等手段的基礎(chǔ)之上，不失時機(jī)的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，體會公理化思想方法，發(fā)展學(xué)生必要的論證思維水平.

4.2.3教師應(yīng)充分利用兩版本教材，取長補(bǔ)短，設(shè)計優(yōu)質(zhì)教案

教師在講授這一部分內(nèi)容時，應(yīng)同時參考這兩個版本的教科書（甚至是多個版本），取長補(bǔ)短，精心設(shè)計.北師大版更注重知識的應(yīng)用性，而人教A版則以夯實學(xué)生基礎(chǔ)為主.兩個版本各有特色，教師在進(jìn)行新授課之前應(yīng)仔細(xì)研讀這兩版本教科書，基于學(xué)生學(xué)情制定相匹配的教學(xué)目標(biāo)，選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)與之相適應(yīng)的教學(xué)情境，最終進(jìn)行教學(xué).因材施教，一標(biāo)多本即是追求個性化教學(xué)，因此教師不應(yīng)僅僅局限于某一個版本的課本.

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作者簡介劉冰（1993—），女，甘肅慶陽人，西北師范大學(xué)教育學(xué)院研究生.