基于樣本外分布回測(cè)的隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)推斷方法

潘慧峰,袁 軍, 高 鵬

(對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)金融學(xué)院，北京 100029)

1 引言

在衍生品定價(jià)領(lǐng)域，采取何種隨機(jī)過(guò)程描述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格動(dòng)態(tài)尚未形成一致的結(jié)論，這在匯率和大宗商品的研究中表現(xiàn)得尤為突出[1]。Garman和Kohlhagen[2]，Carr和Wu Liuren[3]等研究的實(shí)證結(jié)果支持匯率服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)(以下簡(jiǎn)稱GBM過(guò)程，即Geometric Brownian Motion)，而Sweeny[4]、Hui等[5]，Castalia 戰(zhàn)略咨詢公司等[6]則支持匯率服從均值回復(fù)過(guò)程(以下簡(jiǎn)稱OU過(guò)程，即Ornstein-Uhlenbeck Process)。Schwartz[7]認(rèn)為原油期貨、銅期貨等大宗商品存在均值回復(fù)特性，應(yīng)該用OU過(guò)程描述它們的價(jià)格動(dòng)態(tài)，而Postali和Picchetti[8]則認(rèn)為應(yīng)采用GBM過(guò)程描述來(lái)原油價(jià)格動(dòng)態(tài)。

不同的隨機(jī)過(guò)程設(shè)定將導(dǎo)致衍生品定價(jià)、套期保值發(fā)生劇烈的變化，進(jìn)而影響衍生品交易和套期保值的損益。Hull和White[9]比較了擴(kuò)展Vasicek模型下和擴(kuò)展CIR模型下的歐式期權(quán)定價(jià)公式，發(fā)現(xiàn)不同隨機(jī)過(guò)程假定下的期權(quán)定價(jià)結(jié)果相差很大。謝赤和吳雄偉[10]采用Vasicek模型和CIR模型描述了中國(guó)貨幣市場(chǎng)利率行為，但沒(méi)有給出最優(yōu)模型；沈根祥和胡志軍[11]發(fā)現(xiàn)純跳過(guò)程等不能完全描述中國(guó)股價(jià)變化，需引入無(wú)限活動(dòng)的Levy過(guò)程；Schwrtz[7]分別用單因子擴(kuò)散模型，兩因子模型和隨機(jī)波動(dòng)率模型對(duì)大宗商品價(jià)格動(dòng)態(tài)進(jìn)行了實(shí)證研究，結(jié)果表明采用不同隨機(jī)過(guò)程設(shè)定會(huì)得出不同的期貨套期保值比。潘慧峰等[12]以中信泰富在金融危機(jī)期間簽訂的合約為例，發(fā)現(xiàn)不同的隨機(jī)過(guò)程設(shè)定會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品的價(jià)格顯著不同。模型的不當(dāng)使用導(dǎo)致了巨大的損失的案例不勝枚舉。1997年，三菱銀行(Bank of Tokyo-Mitsubishi)紐約衍生品部高估了利率到期期權(quán)組合的價(jià)值，損失超過(guò)8300萬(wàn)美元；澳洲國(guó)民銀行(National Australia Bank)錯(cuò)誤使用了利率模型，導(dǎo)致了3億澳元的巨額損失；國(guó)民威斯敏斯特銀行(Natwest)下屬資本市場(chǎng)部在一筆利率期權(quán)到期交易中損失了5000萬(wàn)美元，原因是模型誤設(shè)引起的錯(cuò)誤定價(jià)；2007年的全球金融危機(jī)也部分歸因于 Gaussian Copula模型對(duì)CDO’s(擔(dān)保債務(wù)憑證)的錯(cuò)誤定價(jià)；2012年摩根大通銀行由于VaR模型的不當(dāng)使用而導(dǎo)致了至少20億美元的虧損[12]。

鑒于此，先驗(yàn)的對(duì)隨機(jī)過(guò)程設(shè)定將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤定價(jià)，引致不當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)管理策略，比如基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)利率衍生品定價(jià)顯然是不恰當(dāng)?shù)?。隨機(jī)過(guò)程的選擇應(yīng)該有經(jīng)濟(jì)解釋和統(tǒng)計(jì)推斷的支持，學(xué)術(shù)界也試圖從這兩個(gè)角度來(lái)確定資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程，比如Schwrtz[7]根據(jù)供需分析的原理，認(rèn)為大宗商品價(jià)格應(yīng)該服從均值回復(fù)過(guò)程，并采用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，但并沒(méi)有說(shuō)明如何在多個(gè)隨機(jī)過(guò)程間進(jìn)行選擇。檢驗(yàn)?zāi)膫€(gè)隨機(jī)過(guò)程能夠更好的描述資產(chǎn)價(jià)格，目前學(xué)術(shù)界主要有以下兩種方法，第一種方法是統(tǒng)計(jì)上的直接檢驗(yàn)，第二類方法則通過(guò)比較實(shí)際的衍生品價(jià)格與隨機(jī)過(guò)程所推導(dǎo)的理論價(jià)格來(lái)間接檢驗(yàn)。

第一類方法屬于直接檢驗(yàn)，其思路是先選擇一個(gè)一般(General)的模型，另一個(gè)特殊的模型實(shí)際上是其約束后的模型，然后構(gòu)造似然比檢驗(yàn)來(lái)判斷哪個(gè)隨機(jī)過(guò)程能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。Chan等(1992)[13]比較了CIR模型(Cox-Ingersoll-Ross模型)和OU過(guò)程描述短期利率動(dòng)態(tài)過(guò)程的適用性，這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程都是在更一般的CKLS模型上施加約束得到的，潘婉彬等[14]對(duì)中國(guó)銀行間拆借利率動(dòng)態(tài)的各種模型進(jìn)行了廣義似然比檢驗(yàn)。這類方法的缺陷是只適用約束模型與其對(duì)應(yīng)的非約束模型之間的比較，對(duì)于不存在包含關(guān)系的模型或者不從屬于一大類的模型則無(wú)能為力。

第二類方法屬于間接檢驗(yàn)，其思路是對(duì)衍生品的實(shí)際價(jià)格與不同隨機(jī)過(guò)程假定下的理論價(jià)格進(jìn)行比較，看哪個(gè)隨機(jī)過(guò)程假定下的理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格更接近，越接近則說(shuō)明此隨機(jī)過(guò)程能更好的描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)。與直接檢驗(yàn)方法相比，該方法的優(yōu)點(diǎn)是：備選的模型之間不必存在包含關(guān)系，可以把更多的隨機(jī)過(guò)程放在一起進(jìn)行比較，其適用性較更加廣范。Kaffel和Abid[15]采用這種思路對(duì)原油期貨價(jià)格進(jìn)行了實(shí)證研究，結(jié)論表明帶跳躍的GBM過(guò)程能最好的描述原油價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化。姚慧和范龍振[16]分別用帶跳躍的均值回復(fù)過(guò)程和帶跳躍的GBM過(guò)程描述石油價(jià)格動(dòng)態(tài)，并根據(jù)這些模型推導(dǎo)出了相應(yīng)的期貨定價(jià)公式，通過(guò)模型價(jià)格與實(shí)際市場(chǎng)成交價(jià)格的差異來(lái)判斷模型的優(yōu)劣。該方法適用于交易量大的場(chǎng)內(nèi)衍生品市場(chǎng)，但是對(duì)于衍生品交易不活躍、價(jià)格存在公允性的場(chǎng)外市場(chǎng)，此方法的適用性大大降低。

本文以GBM構(gòu)成、OU過(guò)程為例，提出了基于樣本外分布回測(cè)的隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)推斷方法，該方法應(yīng)用事后檢驗(yàn)原理，將數(shù)據(jù)分成估計(jì)窗和檢驗(yàn)窗，估計(jì)窗用來(lái)估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)，然后在模型參數(shù)不變的假定下，推導(dǎo)了原假設(shè)成立時(shí)價(jià)格的樣本外分布，看實(shí)際數(shù)據(jù)落在接受域或拒絕域的頻率來(lái)選擇某資產(chǎn)價(jià)格服從的隨機(jī)過(guò)程。該方法克服了上述兩種方法的不足，適用性更廣：第一，該方法不要求所研究的模型之間存在包含關(guān)系，適用于對(duì)任意兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)過(guò)程中的選擇；第二，該方法的思路可以推廣到任意兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的比較，即使此隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)參數(shù)和樣本外分布不一定存在解析解；第三，仿真結(jié)果和實(shí)證結(jié)果表明此方法具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，選擇GMM方法和極大似然估計(jì)參數(shù)、選擇不同的檢驗(yàn)窗口長(zhǎng)度均能得到一致的結(jié)論。

文章接下來(lái)的內(nèi)容將按以下順序展開(kāi)：第二部分介紹研究方法的邏輯原理和使用步驟；第三部分為隨機(jī)過(guò)程及估計(jì)方法的選擇；第四部分推導(dǎo)GBM過(guò)程和OU過(guò)程的檢驗(yàn)窗的置信區(qū)間；第五部分為仿真結(jié)果，試圖得到最優(yōu)檢驗(yàn)窗的時(shí)間長(zhǎng)度，對(duì)采用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)時(shí)給出參考值；第六部分為實(shí)證檢驗(yàn)，應(yīng)用此方法對(duì)大宗商品市場(chǎng)上的原油期貨、銅期貨和小麥期貨，股票市場(chǎng)的上證綜指，利率市場(chǎng)的LIBOR隔夜拆借利率，匯率市場(chǎng)美元兌英鎊匯率這六種資產(chǎn)所服從的隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)推斷；第七部分為結(jié)論。

2 方法介紹

2.1 基本思路

以GBM過(guò)程為例來(lái)闡述隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)推斷的基本思路：首先假設(shè)某資產(chǎn)價(jià)格序列服從GBM過(guò)程，然后選取一段該標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格序列，將該序列分成兩段，前一段為估計(jì)窗，用來(lái)估計(jì)GBM過(guò)程的參數(shù)，后一段為檢驗(yàn)窗。在參數(shù)不變的假設(shè)下(在短期內(nèi)，我們假定標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從參數(shù)固定的隨機(jī)過(guò)程，許多廣泛應(yīng)用的模型都已此為假設(shè)前提，例如，著名的BS期權(quán)定價(jià)公式就是在參數(shù)固定的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下推導(dǎo)的)，得到檢驗(yàn)窗口各個(gè)時(shí)點(diǎn)價(jià)格的條件分布函數(shù)，看檢驗(yàn)窗口的實(shí)際價(jià)格落在條件分布的接受域還是拒絕域，如果落在拒絕域，則小概率事件發(fā)生，則拒絕原假設(shè)，反之則接受原假設(shè)。

鑒于只進(jìn)行一次統(tǒng)計(jì)推斷會(huì)存在偶然性，所以要需進(jìn)行多次統(tǒng)計(jì)推斷，從平均意義上看是否接受原假設(shè)。具體做法是將資產(chǎn)價(jià)格序列向前滾動(dòng)，然后重復(fù)上述步驟，得到接受原假設(shè)的比例，如果該比例越高，則傾向于接受原假設(shè)。

2.2 具體步驟

假定給定標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格序列，GBM過(guò)程和OU過(guò)程為備選隨機(jī)過(guò)程，想判斷GBM過(guò)程和OU過(guò)程哪個(gè)能更好的擬合此過(guò)程，則具體步驟如下：

步驟1：假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從GBM過(guò)程，取一段該資產(chǎn)價(jià)格序列，然后再?gòu)脑摃r(shí)間序列中選出一個(gè)子樣本，將該子樣本再分成兩段，其中前一段作為估計(jì)窗，后一段作為檢驗(yàn)窗。

步驟2：采用極大似然估計(jì)方法，用估計(jì)窗口的數(shù)據(jù)估計(jì)GBM過(guò)程的參數(shù)。

步驟3：假設(shè)估計(jì)窗口和檢驗(yàn)窗口的參數(shù)不變，得到在原假設(shè)成立的條件下檢驗(yàn)窗口每個(gè)時(shí)點(diǎn)價(jià)格的條件分布，進(jìn)而得到每個(gè)時(shí)點(diǎn)95%下的置信區(qū)間，置信區(qū)間之內(nèi)的區(qū)域?yàn)榻邮苡?，置信區(qū)間之外的區(qū)域?yàn)榫芙^域。

步驟4：判斷檢驗(yàn)窗口的實(shí)際價(jià)格是否落到了置信區(qū)間的拒絕域，根據(jù)實(shí)際價(jià)格計(jì)算檢驗(yàn)窗口最后一個(gè)時(shí)點(diǎn)的p值(理由在下文中給出)。若落在拒絕域，則拒絕該資產(chǎn)價(jià)格服從GBM過(guò)程的假設(shè)。p值越大，則說(shuō)明GBM過(guò)程擬合該資產(chǎn)價(jià)格的程度越好。

步驟5：把整段價(jià)格序列向前滾動(dòng)一個(gè)時(shí)點(diǎn)，則估計(jì)窗口和檢驗(yàn)窗口同時(shí)向前滾動(dòng)一個(gè)時(shí)點(diǎn)，得到一個(gè)新的子樣本，重復(fù)步驟1-4，又可得到該子樣本檢驗(yàn)窗最后一個(gè)時(shí)點(diǎn)的p值。滾動(dòng)N次則可以得到N個(gè)p值，將這N個(gè)p值記為pGBM,i，i=1,2,…N，代表N次統(tǒng)計(jì)推斷。

步驟6：假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從OU過(guò)程，重復(fù)步驟1-5，得到N個(gè)p值，記為pOU,i，i=1,2, …N。

3 隨機(jī)過(guò)程及估計(jì)方法的選擇

3.1 選擇GBM過(guò)程和OU過(guò)程原因

第一，GBM過(guò)程和OU過(guò)程都有精確離散化公式，這兩個(gè)模型的待估參數(shù)都具有解析解，可以準(zhǔn)確得到在原假設(shè)成立情況下的檢驗(yàn)窗口的各個(gè)時(shí)點(diǎn)的條件分布。

第二，幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型和OU過(guò)程兩個(gè)模型彼此不存在包含關(guān)系，即二者均不是對(duì)方施加某種約束得到的。這說(shuō)明相對(duì)于廣義似然比方法，本文的統(tǒng)計(jì)推斷方法具有更為廣泛的適用性，可以比較任意兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程哪個(gè)更適合描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)。

第三，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)原油期貨、匯率到底采用何種隨機(jī)過(guò)程存在爭(zhēng)議，其中分歧的焦點(diǎn)是到底采用GBM過(guò)程還是OU過(guò)程，對(duì)此問(wèn)題的研究可以有助于解決文獻(xiàn)中的爭(zhēng)議。

3.2 選擇極大似然估計(jì)方法的原因

本文選擇極大似然估計(jì)方法對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)，同類研究中常用的估計(jì)方法還有廣義矩方法(General Moment Method，以下簡(jiǎn)稱 GMM方法)、卡爾曼濾波法(Kalman Filter)、最小二乘法(Least Square Method)擬極大似然估計(jì)法(QMLE方法)等，之所以選擇極大似然估計(jì)方法作為估計(jì)方法，主要是考慮到和GMM等方法相比, 極大似然估計(jì)具有一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性等優(yōu)良性質(zhì)。從估計(jì)的穩(wěn)定性和有效性來(lái)比較，極大似然估計(jì)要優(yōu)于廣義矩估計(jì)，并且GBM過(guò)程和OU過(guò)程都存在極大似然函數(shù)的解析解，因此選擇極大似然方法估計(jì)模型參數(shù)[17]，為了檢驗(yàn)方法的穩(wěn)健性，本文還采用GMM方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

4 GBM過(guò)程與OU過(guò)程檢驗(yàn)窗價(jià)格的置信區(qū)間

下面將分別推導(dǎo)GBM過(guò)程與OU過(guò)程假定情況下檢驗(yàn)窗口的條件分布。首先采用估計(jì)窗口得到隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)，然后給出檢驗(yàn)窗口價(jià)格的條件分布。

4.1 GBM過(guò)程檢驗(yàn)窗價(jià)格的置信區(qū)間

資產(chǎn)價(jià)格St滿足如下隨機(jī)微分方程 (SDE)：

(1)

則稱該隨機(jī)過(guò)程服從GBM過(guò)程。公式中zt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，參數(shù)μ表示對(duì)數(shù)收益率的漂移率，σ表示對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)率。由伊藤公式可以推導(dǎo)出如下精確離散化公式：

(2)

其中T為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間隔。在GBM過(guò)程的假定下，給定St，可以證明St+T的條件分布服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，St+T的均值和方差如下所示：

E(St+T)=SteμT

(3)

(4)

由以上精確離散化公式可以推導(dǎo)出GBM過(guò)程參數(shù)的極大似然估計(jì)值如式(5)、式(6)所示:

(5)

(6)

其中i=1,2…n，δ為兩個(gè)離散觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)間間隔，例如使用周數(shù)據(jù)估計(jì)年化參數(shù)，則δ=1/52。

在實(shí)際價(jià)格服從GBM過(guò)程的假定下，已知St時(shí)，St+T的95%的置信區(qū)間為：

(7)

將式(5)和式(6)代入式(7)，則可以得到原假設(shè)成立時(shí)檢驗(yàn)窗價(jià)格的置信區(qū)間。

4.2 OU過(guò)程檢驗(yàn)窗價(jià)格的置信區(qū)間

對(duì)于OU過(guò)程，本文同樣采用精確離散化和精確MLE估計(jì)。如果隨機(jī)過(guò)程St滿足如下隨機(jī)微分方程(SDE)：

(8)

則稱該St服從OU過(guò)程。其中，zt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而參數(shù)μ為St的長(zhǎng)期均值，σ為波動(dòng)率，λ是回復(fù)系數(shù)，表征St回復(fù)到長(zhǎng)期均值的速度。OU過(guò)程精確離散化公式如下[18]：

(9)

其中T為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間隔，z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。如果一個(gè)序列服從OU過(guò)程，給定St，可以證明St+T的條件分布服從正態(tài)分布，均值和方差如下所示：

E(St+T)=μ+(St-μ)e-λT

(10)

(11)

由以上精確離散化公式可以推導(dǎo)出OU過(guò)程參數(shù)的極大似然估計(jì)值如式(12)-(14)所示[19-20]：

(12)

(13)

(14)

其中i=1,2…n，δ為兩個(gè)離散觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)間間隔。

在實(shí)際價(jià)格服從OU過(guò)程的情況下，給定St，可以證明St+T的95%的置信區(qū)間為：

(15)

將式(12)-(14)估計(jì)量代入式(15)，則可以得到原假設(shè)成立時(shí)檢驗(yàn)窗價(jià)格的置信區(qū)間。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本文通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)本方法的有效性，具體的方法如下：首先通過(guò)式(2)生成一組服從GBM過(guò)程的時(shí)間序列，然后按照本文提出的方法對(duì)該時(shí)間序列所服從的隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，如果在大多數(shù)情況下接受GBM過(guò)程的假設(shè)，則意味著本文的統(tǒng)計(jì)推斷方法有效。然后再根據(jù)式(9)生成一組服從OU過(guò)程的時(shí)間序列，并按上述方法對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而判斷統(tǒng)計(jì)推斷的方法是否有效。

在進(jìn)行仿真檢驗(yàn)時(shí)，估計(jì)窗長(zhǎng)度不宜太短，否則會(huì)影響參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性；在檢驗(yàn)時(shí)，本文只選擇檢驗(yàn)窗的終點(diǎn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)推斷，檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度為T(mén)。本文認(rèn)為檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度不宜太短，否則會(huì)影響到統(tǒng)計(jì)推斷的準(zhǔn)確性。原因在于資產(chǎn)價(jià)格的變化來(lái)源于兩部分，一部分是確定性趨勢(shì)，幾何布朗運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為漂移項(xiàng)、OU過(guò)程表現(xiàn)為偏離均值的調(diào)整；一部分是隨機(jī)擾動(dòng)。當(dāng)時(shí)間間隔較短時(shí)，確定性趨勢(shì)沒(méi)有充分體現(xiàn)，隨機(jī)擾動(dòng)會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷的準(zhǔn)確性產(chǎn)生較大的影響；但隨著時(shí)間間隔的增大，確定性趨勢(shì)將占主導(dǎo)地位。這意味著檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度越長(zhǎng)，在原始序列為GBM過(guò)程時(shí)，檢驗(yàn)窗更容易接受此過(guò)程為GBM過(guò)程，這會(huì)極大的減少第一類錯(cuò)誤的概率；如果原始序列為OU過(guò)程，其檢驗(yàn)窗的確定性趨勢(shì)會(huì)與GBM過(guò)程迥然不同，這樣就會(huì)拒絕OU過(guò)程。因此，檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度越長(zhǎng)，得到正確結(jié)論的可能性越大。當(dāng)然，在進(jìn)行實(shí)際分析時(shí)，檢驗(yàn)窗口也不宜太長(zhǎng)，因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程的參數(shù)會(huì)隨著時(shí)間推移而發(fā)生變化，進(jìn)而影響到統(tǒng)計(jì)推斷的準(zhǔn)確度。

表1對(duì)服從GBM過(guò)程的數(shù)據(jù)和服從OU過(guò)程的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)推斷，得到了仿真結(jié)果。表1中，估計(jì)窗長(zhǎng)度為200，檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度分別為5、25、45，做1000次仿真實(shí)驗(yàn)。從表1可知：第一，本文提出的方法對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，能正確的識(shí)別出它所服從的隨機(jī)過(guò)程；第二，檢驗(yàn)窗越長(zhǎng)，統(tǒng)計(jì)推斷的效果越好。圖1給出了分別對(duì)服從GBM過(guò)程和OU過(guò)程的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，得到GBM和OU過(guò)程獲勝的概率與檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度T之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)獲勝概率隨著檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度T的變長(zhǎng)而變大，當(dāng)T=45時(shí)，此獲勝概率都達(dá)到了90%以上?；诖私Y(jié)果，文章第五部分中所列舉的六種資產(chǎn)所服從的隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)分析時(shí)，將估計(jì)窗長(zhǎng)度設(shè)置為200，將檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度T設(shè)置為45。

圖1 仿真結(jié)果與檢驗(yàn)窗長(zhǎng)度的關(guān)系

6 模型實(shí)證檢驗(yàn)

本部分選擇了大宗商品市場(chǎng)、股票市場(chǎng)、利率市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)上具有代表性的資產(chǎn)，基于實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)其所服從的隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。在大宗商品市場(chǎng)上，選擇芝加哥商品交易所交易的輕質(zhì)原油期貨價(jià)格，倫敦商品交易所交易的銅期貨價(jià)格，芝加哥商品交易所交易的小麥期貨價(jià)格為標(biāo)的資產(chǎn)；在股票市場(chǎng)上，選擇上證綜指作為標(biāo)的資產(chǎn)；在利率市場(chǎng)上，選擇LOBOR隔夜拆借利率作為標(biāo)的資產(chǎn)；在外匯市場(chǎng)上，選擇英鎊兌美元匯率價(jià)格作為標(biāo)的資產(chǎn)。

6.1 原油期貨價(jià)格隨機(jī)過(guò)程選擇的實(shí)證分析

首先選取紐約商品交易所場(chǎng)內(nèi)交易的一月到期輕質(zhì)原油期貨作為標(biāo)的資產(chǎn)。之所以選擇這個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)來(lái)研究，主要是因?yàn)榛谠撡Y產(chǎn)的衍生產(chǎn)品種類繁多，既包括場(chǎng)內(nèi)各種衍生品，也包括場(chǎng)外各種衍生品，而且交易規(guī)模也非常龐大，另外對(duì)原油期貨價(jià)格服從的隨機(jī)過(guò)程存在爭(zhēng)議，分別有文獻(xiàn)支持GBM過(guò)程和OU過(guò)程[7-8]。

本文選取輕質(zhì)原油期貨日頻價(jià)格序列，時(shí)間從2012年5月到2014年3月的日數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源：萬(wàn)得Wind數(shù)據(jù)庫(kù))。首先從該價(jià)格序列中選擇一個(gè)子樣本進(jìn)行第一次統(tǒng)計(jì)推斷，然后分成估計(jì)窗和檢驗(yàn)窗，估計(jì)窗時(shí)點(diǎn)數(shù)設(shè)置為200天，檢驗(yàn)窗終點(diǎn)與估計(jì)窗間隔為45天。首先假設(shè)原油期貨價(jià)格服從GBM過(guò)程，按照文章第二部分闡述的步驟，滾動(dòng)200次，得到200次統(tǒng)計(jì)推斷所對(duì)應(yīng)的pGBM,i，i=1…200；再假設(shè)原油期貨價(jià)格服從OU過(guò)程，重復(fù)上述步驟，得到pOU,i，i=1…200。圖2為這200次所對(duì)應(yīng)的pGBM,i和pOU,i的圖形展示。

圖2 原油期貨價(jià)格序列的統(tǒng)計(jì)推斷獲勝概率,U,i

從圖2中可以看出pGBM,i高于pOU,i次數(shù)更多，為128次，GBM過(guò)程獲勝概率為64%，因此GBM過(guò)程能更好的描述原油期貨的價(jià)格走勢(shì)。

6.2 美元兌英鎊匯率隨機(jī)過(guò)程選擇的實(shí)證分析

然后選取匯率市場(chǎng)中美元兌英鎊匯率為標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行分析，樣本時(shí)間為2012年5月到2014年3月，數(shù)據(jù)頻率為日度數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源：國(guó)泰安CSMAR金融經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)庫(kù))。對(duì)匯率服從的隨機(jī)過(guò)程同樣存在爭(zhēng)議，分別有文獻(xiàn)支持GBM過(guò)程和OU過(guò)程[2-5]。按照前面的方法計(jì)算200次統(tǒng)計(jì)推斷所對(duì)應(yīng)的pGBM,i值和pOU,i值，如圖3所示。從圖3中可以看出pOU,i比pGBM,i大的次數(shù)更多，為125次，OU過(guò)程獲勝概率為62.5%，因此認(rèn)為OU過(guò)程能更好的描述美元兌英鎊匯率的價(jià)格動(dòng)態(tài)。

圖3 美元兌英鎊匯率序列的統(tǒng)計(jì)推斷獲勝概率

6.3 資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)過(guò)程選擇的實(shí)證分析

除了原油和匯率，本文也對(duì)大宗商品中的銅期貨和小麥期貨、股票價(jià)格、利率進(jìn)行檢驗(yàn)。主流文獻(xiàn)表明大宗商品價(jià)格、利率、匯率均有較強(qiáng)的均值回復(fù)特性，應(yīng)采用均值回復(fù)過(guò)程來(lái)描述它們的價(jià)格動(dòng)態(tài)。對(duì)于股票價(jià)格，Black和Scholes[22]用GBM過(guò)程來(lái)描述其價(jià)格動(dòng)態(tài)，由于該模型可以推導(dǎo)出歐式期權(quán)價(jià)格的解析解，所以GBM過(guò)程仍是描述股票價(jià)格的最重要的過(guò)程。

流行的隨機(jī)過(guò)程是否為最優(yōu)的隨機(jī)過(guò)程？本文基于樣本外統(tǒng)計(jì)推斷的方法加以檢驗(yàn)。分別選取大宗商品市場(chǎng)上的銅期貨合約和小麥期貨合約，股票市場(chǎng)中的上證綜指，利率市場(chǎng)中的LIBOR隔夜拆借利率，匯率市場(chǎng)中美元兌英鎊匯率為標(biāo)的進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。為了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷方法的穩(wěn)健性，本文還采用GMM方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，基于Cliff(2003)開(kāi)發(fā)的Maltab工具包GMM-Library (下載網(wǎng)址為http//:www.feweb.vu.nl/econometriclinks/mcliffprogs.html)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。檢驗(yàn)的結(jié)果如表2所示，從結(jié)果可知，采用GMM方法和極大似然估計(jì)法都得到了一致的結(jié)論，說(shuō)明本文提出的統(tǒng)計(jì)推斷方法具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。

由表2可見(jiàn)，對(duì)銅期貨、上證綜指和隔夜LIBOR的實(shí)證結(jié)果支持實(shí)際常用模型，而對(duì)小麥期貨的實(shí)證結(jié)果則表明，流行的模型則不一定最適合描述該資產(chǎn)價(jià)格。如果仍舊按照慣例，使用此模型描述資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)的話，很有可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的定價(jià)結(jié)果。綜上所述，常用的模型對(duì)相應(yīng)資產(chǎn)的描述可能并不準(zhǔn)確，可能存在模型誤設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)。

7 結(jié)語(yǔ)

本文基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)和OU過(guò)程，提出了基于樣本外分布回測(cè)的隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)推斷方法，相比其他方法，本文的統(tǒng)計(jì)推斷方法有適用廣泛、邏輯直觀等優(yōu)點(diǎn)。該方法的核心思想將樣本分成樣本內(nèi)的估計(jì)窗和樣本外的檢驗(yàn)窗，在假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從某種隨機(jī)過(guò)程的假設(shè)下，根據(jù)樣本內(nèi)數(shù)據(jù)估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)，進(jìn)而推導(dǎo)出資產(chǎn)價(jià)格的樣本外分布，看樣本外的實(shí)際數(shù)據(jù)是否落在拒絕域。該方法的最大優(yōu)點(diǎn)就是具有廣泛的適用性，只需要有資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)，則可對(duì)不同備選模型進(jìn)行優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)估，仿真結(jié)果也支持了此方法的有效性。本文采用了GMM方法和極大似然法估計(jì)參數(shù)，得到的結(jié)論是一致的，說(shuō)明此方法具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。

表2 標(biāo)的資產(chǎn)隨機(jī)過(guò)程選擇結(jié)果

注：時(shí)間范圍從2012年5月到2014年3月

根據(jù)本文提出的方法，對(duì)大宗商品市場(chǎng)中原油期貨價(jià)格、銅期貨價(jià)格、小麥期貨價(jià)格，股票市場(chǎng)中的上證綜指，利率市場(chǎng)中的LOBOR隔夜拆借利率，外匯市場(chǎng)中的英鎊兌美元即期匯率價(jià)格所服從的隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)推斷，發(fā)現(xiàn)那些常用的描述這六種資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程并不一定是最好的模型，說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程存在模型誤設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)該引起足夠的重視。

本文的一般意義在于，本文提出的隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)推斷的基本思路也適用于待估參數(shù)和樣本外分布函數(shù)沒(méi)有解析解的隨機(jī)過(guò)程，可以采用數(shù)值算法估計(jì)待估參數(shù)，采用蒙特卡羅模擬方法得到價(jià)格的樣本外分布。本文方法可能的缺陷是隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)是時(shí)變的，假設(shè)樣本內(nèi)和樣本外隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)不變可能會(huì)影響統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果的有效性，在實(shí)際中應(yīng)該檢驗(yàn)參數(shù)的穩(wěn)定性，這也是本文未來(lái)的研究方向。

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