需求分布規(guī)律變化情況下的報童訂貨策略

王海燕，雋志如，Henry Xu

(1.東南大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇 南京 210096；2.淮陰師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇 淮安 223300；3.UQ Business School, The University of Queensland, Brisbane, Australia 4072)

1 引言

促銷、季節(jié)變化、技術(shù)革新和市場競爭等因素都可能導(dǎo)致需求分布規(guī)律發(fā)生變化[1-2]，使得需求從服從一種類型的分布突變?yōu)榱硪环N類型的分布。但是在突變發(fā)生前后一段時間內(nèi)，一方面僅僅依據(jù)當(dāng)時的實際需求很難準(zhǔn)確判斷需求服從的分布是否已經(jīng)發(fā)生變化了，因此給訂貨決策帶來了困難；另一方面這段時間內(nèi)可以觀測到的歷史需求信息非常有限[3]，僅基于歷史需求信息很難對下一時刻的實際需求作準(zhǔn)確的預(yù)測。在庫存管理領(lǐng)域，大量學(xué)者從需求預(yù)測更新[4]、合作管理庫存[5]、供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)[6]、供應(yīng)鏈金融[7]等角度研究了應(yīng)對需求突變的策略，但較少有學(xué)者從庫存管理效益最優(yōu)的視角研究需求突變預(yù)測方法。大量企業(yè)案例表明，不能有效地預(yù)測需求分布突變會給企業(yè)帶來庫存管理成本的增加[8-9]。因此，從庫存管理視角研究歷史需求信息和需求分布概率集成的訂貨策略具有理論意義和實際應(yīng)用價值。

近年來，移動計算、物聯(lián)網(wǎng)、云計算等一系列新興信息技術(shù)被廣泛用于商業(yè)活動中，社交媒體、協(xié)同創(chuàng)造、虛擬服務(wù)等新型應(yīng)用模式拓展了企業(yè)感知市場需求的方式，增強(qiáng)了企業(yè)感知市場需求變化的能力[10]。大量諸如在線客戶評價[11]和新聞頭條[12]等以人類語言形式呈現(xiàn)的大數(shù)據(jù)文本信息被應(yīng)用于決策者對市場需求變化的感知和預(yù)測之中，大數(shù)據(jù)的應(yīng)用正在改變一些傳統(tǒng)上高度依靠直覺和專家經(jīng)驗的決策領(lǐng)域[13]。雖然由于自然語言語義模糊的自然屬性和當(dāng)前大數(shù)據(jù)分析技術(shù)的限制，大數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果還存在不夠精確等不足[12]，但是這些技術(shù)使得決策者在面對需求分布規(guī)律發(fā)生變化的市場時，雖然不能確定某一時刻需求到底服從哪類分布，但能估計需求服從某一分布的概率。

需求預(yù)測的核心是判斷某時刻服從的需求分布類型，一旦確定需求分布類型，依據(jù)報童模型就很容易確定訂貨量。預(yù)測需求分布類型的方法主要有概率預(yù)測方法[14]、統(tǒng)計預(yù)測方法[15-18]和管理判斷與統(tǒng)計預(yù)測的整合方法[19-21]等三類。概率預(yù)測是預(yù)測發(fā)生的可能性，每一個可能的結(jié)果對應(yīng)一個預(yù)測概率。例如，決策者根據(jù)在線客戶滿意度調(diào)查認(rèn)為下個時期產(chǎn)品的需求量會增長10%，且認(rèn)為這個需求量增長發(fā)生的概率為90%，這里需求增長發(fā)生概率90%即為概率預(yù)測。隨著物聯(lián)網(wǎng)等技術(shù)的發(fā)展，除傳統(tǒng)的管理者經(jīng)驗和領(lǐng)域知識以外，以大數(shù)據(jù)為代表的非傳統(tǒng)的需求相關(guān)信息被越來越多地應(yīng)用于市場需求的概率預(yù)測中[11-12]。基于大數(shù)據(jù)信息的預(yù)測多呈現(xiàn)為概率預(yù)測，在給定概率預(yù)測后，理性決策者對需求分布規(guī)律變化的判斷問題可以轉(zhuǎn)化為決策者在不同預(yù)期中進(jìn)行選擇，其行為準(zhǔn)則通常被描述為期望效用最優(yōu)化[22]。

基于統(tǒng)計預(yù)測方法的庫存管理研究可以追溯到Arrow等的文獻(xiàn)[15]，各時期的需求被假定為概率分布已知的獨立同分布隨機(jī)變量，庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨量依賴于需求分布函數(shù)。隨后，Dvoretzky等[23-24]和Scarf[17]針對更廣泛的需求分布類型研究了優(yōu)化庫存系統(tǒng)利潤的訂貨策略，Karlin等[25]研究了各時期需求概率分布不同情況下的庫存管理策略，但是這些研究都沒有考慮庫存系統(tǒng)成本因素對需求預(yù)測的影響。Hayes[26]在庫存決策中引入期望總成本的概念，并且給出了能夠改進(jìn)期望總成本的需求統(tǒng)計量。此后，大量學(xué)者在庫存管理視角下研究了基于歷史需求信息的需求預(yù)測和訂單決策問題，總體上可以歸納為假設(shè)需求分布類型已知但某些分布參數(shù)未知[16,27-29]、假設(shè)需求分布的某些矩特征(如期望、方差等)已知[17, 30-31]、對未知需求參數(shù)的形式不做假設(shè)[2-3,18, 32-33]等三個方面。

管理判斷的信息基礎(chǔ)是非歷史需求信息，統(tǒng)計預(yù)測的信息基礎(chǔ)是歷史需求信息。整合管理判斷與統(tǒng)計預(yù)測的目的就是擴(kuò)大預(yù)測的信息基礎(chǔ)，從而提升預(yù)測的可靠性[20]。在實際中，多種多樣的非歷史需求信息被管理者用于預(yù)測判斷市場需求。Fisher等[19]基于每個銷售周期內(nèi)需求趨勢變化的相似性，通過將實際銷售數(shù)據(jù)與歷史同期數(shù)據(jù)對比來修正先前的需求預(yù)測，使得某服裝公司的利潤提高了60%。Arora等[21]將先驗專家知識整合到統(tǒng)計預(yù)測模型之中，更加精確地預(yù)測了電力需求載荷的反常變化。雋志如和王海燕[34]將非歷史需求數(shù)據(jù)引入到庫存管理研究中，降低了需求突變情景下的庫存管理成本。將管理判斷整合到統(tǒng)計預(yù)測中的方法可以歸納為自愿整合和機(jī)械整合兩類[20]，自愿整合是指管理者在統(tǒng)計預(yù)測結(jié)果的基礎(chǔ)上根據(jù)自己對管理判斷的理解決定如何修正統(tǒng)計預(yù)測結(jié)果；機(jī)械整合是指將統(tǒng)計預(yù)測的方法應(yīng)用于概率預(yù)測中，例如，當(dāng)需求依賴于價格和營銷努力時，可以分別用統(tǒng)計預(yù)測模型預(yù)測價格變化，以概率預(yù)測模型預(yù)測營銷努力水平，然后通過加權(quán)平均的方式機(jī)械整合統(tǒng)計預(yù)測和概率預(yù)測，得到一個整合預(yù)測。

假設(shè)需求服從某一分布的概率已知，同時訂貨決策時刻前的歷史需求信息已知，如何整合這兩類信息進(jìn)行需求預(yù)測并確定訂貨量，沒有現(xiàn)成的方法。本文將應(yīng)用信號檢測理論整合上述兩類信息，建立兩者之間的聯(lián)系，在期望庫存成本最小的目標(biāo)下判斷某一時刻的實際需求，并依據(jù)報童模型確定訂貨量。

2 問題與假設(shè)

歷史需求信息x1,x2,…,xn是實際訂貨決策的重要依據(jù)。對于較長的歷史需求信息，有很多預(yù)測方法可用于訂貨決策。但當(dāng)歷史需求信息較短，特別是需求發(fā)生突變的情況下，僅僅依賴歷史需求信息的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行訂貨決策會產(chǎn)生比較大的偏差。

本文的問題是如何綜合利用需求分布概率和歷史需求信息進(jìn)行訂貨決策，尋找具有實際可操作性的報童訂貨策略，使得期望庫存成本最小。

3 基于需求分布概率的直覺規(guī)則訂貨策略

由于需求分布有F和G兩種可能情形，因此報童的決策錯誤也可以分為兩類：當(dāng)實際需求分布為F時，報童選擇訂貨qg，稱此類錯誤為第一類錯誤；當(dāng)實際需求分布為G時，報童選擇訂貨qf，稱此類錯誤為第二類錯誤。

當(dāng)實際需求分布為F，訂貨qf時，期望庫存成本為：

(1)

當(dāng)實際需求分布為F，訂貨qg時，期望庫存成本為：

(2)

根據(jù)優(yōu)訂貨量的表達(dá)式可知，式(2)的值恒大于式(1)。由式(2)減去式(1)，可得恒為正值的由第一類錯誤導(dǎo)致的期望庫存成本增加量為：

CostⅠ=EC(qg,F)-EC(qf,F)

(3)

其中最后一個等式用到了

類似地，由第二類錯誤導(dǎo)致的期望庫存成本增加量為：

(4)

由于需求服從分布G的概率為p，所以由第一類錯誤和第二類錯誤導(dǎo)致的期望庫存成本增加量分別為：

TCg=(1-p)·CostⅠ

(5)

TCf=p·CostⅡ

(6)

其中，TCg表示選擇訂貨qg所對應(yīng)的期望庫存成本增量；TCf表示選擇訂貨qf所對應(yīng)的期望庫存成本增加量。因此，訂貨量選擇qf還是qg取決于TCg與TCf的大小關(guān)系。令

(7)

在僅依賴于需求分布概率p的情況下，下面的直覺規(guī)則訂貨策略可以最小化因錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量。

為表述方便，將直覺規(guī)則記為IR，直覺規(guī)則下的期望庫存成本增加量記作TC(IR)，則有：

(8)

4 基于歷史需求信息及分布概率的最優(yōu)訂貨策略

為了應(yīng)用歷史需求信息降低不同類型的錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量，引入信號檢測理論(Signal Detection Theory, SDT)[35]。在信號檢測理論框架下，決策者的任務(wù)是利用一個接受/拒絕準(zhǔn)則來判斷其接收到信息的實際分布以最大化其凈收益。具體到本文，報童的決策任務(wù)是利用一個接受/拒絕準(zhǔn)則來判斷產(chǎn)生歷史需求信息x1,x2,…,xn的實際分布是F還是G，其目標(biāo)是最小化因錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量。

(9)

依據(jù)信號檢測理論，建立如下基于歷史需求信息的檢測規(guī)則訂貨策略。

因為需求服從分布G的概率為p，則在基于歷史需求信息的檢測規(guī)則訂貨策略下，由第一類和第二類錯誤導(dǎo)致的期望庫存成本增加量為：

(10)

式(10)的第一個加項表示需求分布服從G時，檢測規(guī)則下只存在第二類錯誤，此時的期望庫存成本增加量為CostⅡ乘以需求分布為G的概率再乘以檢測規(guī)則下訂貨qf的概率；第二個加項表示需求分布服從F時的期望庫存成本增量。

由于k是參數(shù)，為了使TC(k)最小，有如下優(yōu)化模型

(11)

定理1模型(11)的最優(yōu)解為：

(12)

解之得

又

所以式(12)的k*是式(11)的最優(yōu)解。

根據(jù)定理1及前面的分析，如果報童在進(jìn)行某一周期的訂貨決策時，知道顧客需求服從正態(tài)分布F=N(μf,σ2)的概率為1-p，服從正態(tài)分布G=N(μg,σ2)的概率為p，前n周期的實際需求信息為x1,x2,…,xn，則有以下基于歷史需求信息及分布概率的最優(yōu)訂貨策略，簡稱最優(yōu)訂貨策略。

下面比較最優(yōu)訂貨策略和直覺規(guī)則訂貨策略，以分析它們各自適用范圍。令

(13)

由μf<μg，容易證明α(k)<1<β(k)。且有以下性質(zhì)。

性質(zhì)1給出了最優(yōu)訂貨策略優(yōu)于直覺規(guī)則訂貨策略時需求分布概率p應(yīng)滿足的條件，也就是說當(dāng)需求分布概率p在某個范圍內(nèi)時，最優(yōu)訂貨策略才能顯示其優(yōu)勢。下面的性質(zhì)刻畫了這個范圍的大小。

于是

類似地可以證明另外三個極限成立。

而當(dāng)p不屬于這兩種極端情況時，歷史需求信息的作用就變得明顯了。在實際中，擁有需求分布概率和歷史需求信息的市場主體可能是不同的。比如，擁有線上直銷渠道的制造商可以通過后臺抓取的客戶信息來分析市場需求的狀態(tài)，但是其銷售產(chǎn)品的實際市場需求信息則可能由傳統(tǒng)渠道的零售商掌握。因此，為了擴(kuò)大需求預(yù)測的準(zhǔn)確性以提高制造商產(chǎn)能計劃的準(zhǔn)確性，制造商可以尋求零售商共享市場需求信息。但是當(dāng)制造商預(yù)測需求分布概率接近于0或1時，制造商就無意與零售商共享歷史需求信息。

證明：根據(jù)最優(yōu)訂貨策略和直覺規(guī)則訂貨策略的定義，對TC(IR)-TC(k*)關(guān)于p求導(dǎo)得以下結(jié)果。

性質(zhì)4. 最優(yōu)訂貨策略與直覺規(guī)則訂貨策略因錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量的差隨歷史需求信息長度n的增加而增加，且趨近于TC(IR)。

證明：把TC(IR)-TC(k*)中的整數(shù)變量n替換成連續(xù)變量x，對x求導(dǎo)數(shù)可得：

表明TC(IR)-TC(k*)是關(guān)于x的增函數(shù)，因此，TC(IR)-TC(k*)隨著歷史需求信息長度n的增加而增加。且

性質(zhì)4表明，隨著歷史需求信息x1,x2,…,xn長度n的增加，最優(yōu)訂貨策略比直覺規(guī)則訂貨策略的優(yōu)勢也增加，且在歷史需求信息長度n充分大時，可以幾乎完全消除因直覺規(guī)則訂貨策略的錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量。

5 仿真算例

為了更加直觀地說明性質(zhì)1-4，下面通過一個仿真算例進(jìn)行分析。設(shè)μf=100,μg=120,σ=20,ce=4,cs=5。需求的實際分布按照需求分布概率隨機(jī)生成，并隨機(jī)產(chǎn)生序列需求信息x1,x2,…,xn。圖1給出了最優(yōu)訂貨策略和直覺規(guī)則訂貨策略下因錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量。

圖1 不同訂貨策略下錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量

圖2給出了歷史需求信息長度對因錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量的影響。

圖2 不同歷史需求信息長度下錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量

圖2表明對任意長度的歷史需求信息，本文給出的最優(yōu)訂貨策略下因錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量總是低于直覺決策訂貨策略，隨著歷史需求信息長度增加，最優(yōu)訂貨策略下因錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加量減少，且逐漸趨向于0。這一結(jié)果驗證了性質(zhì)4。

6 結(jié)語

本文研究了需求分布規(guī)律變化情況下的報童訂貨決策問題，在假設(shè)顧客需求服從兩種均值不同方差相同的正態(tài)分布、且服從哪一種分布的概率已知情況下，構(gòu)建了直覺規(guī)則訂貨策略；進(jìn)一步在直覺規(guī)則的基礎(chǔ)上，引入歷史需求數(shù)據(jù)，依據(jù)信號檢測理論，構(gòu)建了最優(yōu)訂貨策略。對比了直覺規(guī)則訂貨策略和最優(yōu)訂貨策略，獲得了以下結(jié)論：(1)只要需求分布概率不是接近0或1兩種極端情況，最優(yōu)訂貨策略下期望庫存成本比直覺規(guī)則訂貨策略下期望庫存成本要低，也就是說最優(yōu)訂貨策略在控制期望庫存成本方面的作用更明顯。(2)給出了最優(yōu)訂貨策略下期望庫存成本比直覺規(guī)則訂貨策略下期望庫存成本低時需求分布概率滿足的嚴(yán)格條件，并分析了需求分布概率變化對這個條件的影響。(3)分析了直覺規(guī)則訂貨策略下期望庫存成本與最優(yōu)訂貨策略下期望庫存成本差隨需求分布概率變化情況，獲得了這個差最大時的需求分布概率。當(dāng)需求分布概率滿足這個條件時，最優(yōu)訂貨策略的優(yōu)勢最大。(4)直覺規(guī)則訂貨策略下期望庫存成本與最優(yōu)訂貨策略下期望庫存成本差隨歷史需求信息長度的增加而增加，且在歷史需求信息長度充分大時，幾乎可以完全消除因直覺規(guī)則訂貨策略的錯誤決策導(dǎo)致的期望庫存成本增加。說明利用歷史需求信息可以提高報童對實際需求分布檢測的準(zhǔn)確度，從而提高實際訂貨決策精度。

通過研究也獲得了一些管理啟示：(1)需求分布概率的估計依賴于非傳統(tǒng)需求信息，而非傳統(tǒng)需求信息可以通過數(shù)據(jù)挖掘等技術(shù)等獲得，因此決策者在平時收集這些非傳統(tǒng)需求信息變得非常重要。(2)即使少量的歷史需求信息對需求分布規(guī)律變化環(huán)境下的訂貨決策也具有重要的價值，傳統(tǒng)的基于歷史需求信息進(jìn)行訂貨決策方法有了新的拓展空間。(3)非傳統(tǒng)需求信息分布在不同市場主體中，對這類信息的共享和交換變得越來越重要，擁有信息也成為企業(yè)在交易過程中的重要籌碼。

本文的研究只假設(shè)需求服從兩種類型的正態(tài)分布，且方差相同，后續(xù)的研究中，這些假設(shè)可以進(jìn)一步放寬。另外，如何從相關(guān)非傳統(tǒng)需求信息估計需求分布概率是有待于進(jìn)一步深入研究的問題。

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