基于高中數(shù)學(xué)解題思路多元化的思考

王國(guó)學(xué)

【摘要】近年來(lái)，基礎(chǔ)教育改革的推進(jìn)和素質(zhì)教育理念的普及，給高中數(shù)學(xué)的教學(xué)提出了一些新的思路和要求。解題思路多元化便由此應(yīng)運(yùn)而生。其實(shí)很早前，不少高中及教師就已經(jīng)開始了關(guān)于解題思路多元化方面的探索。并形成了一些具有代表性和可行性的經(jīng)驗(yàn)，值得我們進(jìn)行借鑒。本文專門針對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題思路多元化進(jìn)行一些思考。并結(jié)合具體的案例進(jìn)行深入剖析，希望能夠?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)提供一些切實(shí)可行的方案。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題思路多元化；思考

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）33-0253-02

如今，伴隨著素質(zhì)教育理念的全面普及，高中教育也在不斷地進(jìn)行改革，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)觀念亟待改進(jìn)，教學(xué)方法亟待變革[1]。而要想達(dá)到構(gòu)建高中數(shù)學(xué)高效課堂的目的，是離不開解題思路的多元化的。這就要求師生雙方都要積極地改進(jìn)自己的思路，把發(fā)散性思維、逆向思維及創(chuàng)新思維積極貫徹到高中數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中。本文專門圍繞著這些方面進(jìn)行一些討論。

一、高中數(shù)學(xué)解題思路多元化的相關(guān)要點(diǎn)

思維教學(xué)是現(xiàn)代化素質(zhì)教育理念的一大體現(xiàn)[2]。解題思路多元化正是有效地開展數(shù)學(xué)思維教學(xué)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的良好手段。它可以有效地尊重學(xué)生在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中的主體地位，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的主觀能動(dòng)性，同時(shí)還能有效地減少師生雙方的教學(xué)成本。最終使教學(xué)收獲到事半功倍的效果。

高中數(shù)學(xué)解題思路的多元化，關(guān)鍵是要在解題過(guò)程中，積極啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用多種思路進(jìn)行思考，運(yùn)用不同的手段進(jìn)行解題。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的發(fā)散性思維、逆向思維及創(chuàng)新思維得到了有效的培養(yǎng)。不再是過(guò)去的那種“死讀書，讀死書”，不再僅僅是著眼于追求考試成績(jī)和追求升學(xué)率的提高，而是讓學(xué)生真正把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)能力，使他們的數(shù)學(xué)能力真正意義上得到了培養(yǎng)和提高。

事實(shí)上，素質(zhì)教育和應(yīng)試教育并不矛盾。好的教學(xué)方法可以起到一舉兩得的作用，既可以避免學(xué)生被班級(jí)平均分和升學(xué)率的“指揮棒”所“綁架”，真正意義上提高自己的思維能力和學(xué)科應(yīng)用能力；又可以在其能力提高的過(guò)程中，潛移默化地讓自己的應(yīng)試技巧得到了有效提高?？梢哉f(shuō)是達(dá)到了“高分高能”的效果。事實(shí)上，關(guān)于這方面的先例并不在少數(shù)。比如已故北京市數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛老師，面對(duì)的是無(wú)法考取重點(diǎn)學(xué)校的薄弱生源，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，他幾乎從不給學(xué)生布置家庭作業(yè)，課堂教學(xué)氣氛也極其輕松愉悅。學(xué)生每天都能保持9小時(shí)的睡眠。但他的學(xué)生卻在學(xué)習(xí)成績(jī)方面快速得到了“出人意料”的提高，其學(xué)習(xí)進(jìn)度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了同階段的其他學(xué)生。到參加高考時(shí)，全班幾乎都考入重點(diǎn)大學(xué)，超過(guò)半數(shù)的考入清華北大，這樣的教學(xué)成績(jī)足以讓人嘆為觀止。其實(shí)他能取得如此輝煌的教學(xué)奇跡的“法寶”就在于積極地推進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題思路多元化。在平日的課堂教學(xué)當(dāng)中，他一直避免學(xué)生誤入“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū)，始終重視培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、逆向思維及創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行多元化的思考，運(yùn)用多元化的手段進(jìn)行解題。他的成功先例無(wú)疑對(duì)以我們來(lái)說(shuō)有著良好的借鑒價(jià)值。

二、推行高中數(shù)學(xué)解題思路多元化的主要手段

當(dāng)前，應(yīng)試教育依然是高中教育的主流[3]，不少教師在教學(xué)過(guò)程中還是有意無(wú)意地受到傳統(tǒng)應(yīng)試教育思維的影響，卻忽略了解題思路多元化。而學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中也往往受到“死讀書，讀死書”的模式的影響，很少主動(dòng)去探索解題思路多元化。因此，這就意味著師生雙方都要積極地改變自己的教學(xué)模式，摒棄那種落后的教學(xué)方式。

解題思路多元化，首先意味著我們必須對(duì)教學(xué)模式進(jìn)行調(diào)整。從過(guò)去的那種由教師“唱主角”變?yōu)橐詫W(xué)生為中心，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。這一點(diǎn)是至關(guān)重要的。

1.教學(xué)當(dāng)中要鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考

解題思路多元化，非常注重培養(yǎng)學(xué)生的思考力。所以，在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，我們要學(xué)會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行思考，而不是代替學(xué)生進(jìn)行思考。須知，授人以魚不如授之以漁。

2.教學(xué)過(guò)程中要鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出批判和質(zhì)疑

解題思路多元化，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)思維處于高度活躍的狀態(tài)。在教學(xué)的過(guò)程中，教師僅僅出于指引和點(diǎn)撥的狀態(tài)。我們作為教師當(dāng)然要給學(xué)生指明有關(guān)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)思路，給出具體的解題思路。但不能讓學(xué)生局限于教師給出的思路和解法當(dāng)中，一定要讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)進(jìn)行批判和質(zhì)疑。只有當(dāng)數(shù)學(xué)課堂擁有了批判和質(zhì)疑，多元化的思路才能產(chǎn)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力才能夠得到有效培養(yǎng)。所以教師在教學(xué)過(guò)程中一定要學(xué)會(huì)放下“師道尊嚴(yán)”的架子，奉行“吾愛(ài)吾師，吾更愛(ài)真理”的做法，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)對(duì)教師的思路和解法進(jìn)行批判和質(zhì)疑。事實(shí)上，孫維剛老師在他多年的教學(xué)生涯中，一直都是這么做的。他鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上大膽地“打倒”他，給出不同的解法與思路，并對(duì)于積極給出新思路、新解法的學(xué)生予以肯定和鼓勵(lì)。

解題思路多元化，首先是建立在一題多解的基礎(chǔ)上的。所以我們也是從一題多解這個(gè)前提出發(fā)，從“如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、逆向思維及創(chuàng)新思維”三個(gè)角度談起，來(lái)具體研討高中數(shù)學(xué)解題思路多元化。

3.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式當(dāng)中，學(xué)生之所以不得不進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”，其主要原因便在于，數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身較為抽象。學(xué)生要想得出較為穩(wěn)定的、能夠指導(dǎo)一大類習(xí)題的解題思路，便不得不首先對(duì)“海量”的習(xí)題進(jìn)行摸索，最終才能總結(jié)出具有穩(wěn)定性的思路模式。

而當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)中主動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，學(xué)生在面對(duì)“千奇百怪”的題目時(shí)就能做到觸類旁通，此時(shí)就沒(méi)有必要進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”了。而發(fā)散性思維便可以在一題多解中進(jìn)行培養(yǎng)。通過(guò)一題多解，學(xué)生學(xué)會(huì)了從不同的路徑切入到題目的思路當(dāng)中，那么其發(fā)散性思維便有效地得到了培養(yǎng)。

這里我們以人教版高中數(shù)學(xué)為例，在教學(xué)的過(guò)程中，我們便可以在講評(píng)教材例題、習(xí)題以及給學(xué)生布置課后作業(yè)及講評(píng)課后作業(yè)等多個(gè)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)一題多解來(lái)培養(yǎng)發(fā)散性思維。

例1：已知tanα=clip_image002，求sinα，cosα的值

分析：因?yàn)轭}中有sinα、cosα、tanα，考慮他們之間的關(guān)系，最容易想到的是用同角三角函數(shù)關(guān)系式和方程解此題：

法一根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式tanα=clip_image002[1]=clip_image004，且sina2α+cos2α=1。

兩式聯(lián)立，得出：cos2α=clip_image006，cosα=clip_image008或者cosα=-clip_image008[1]；而sinα=clip_image011或者sinα=-clip_image011[1]。

分析：上面解方程組較難且繁瑣，充分利用用同角三角函數(shù)關(guān)系式“1”的代換，不解方程組，直接求解就簡(jiǎn)潔些：

法二tanα=clip_image002[2]：α在第一、三象限

在第一象限時(shí)：

Cos2α=clip_image014=clip_image016=clip_image006[1]

cosα=clip_image008[2]sinα=clip_image018=clip_image011[2]

而在第三象限時(shí)：

cosa=-clip_image008[3]sina=-clip_image011[3]

分析：利用比例的性質(zhì)和同角三角函數(shù)關(guān)系式，解此題更簡(jiǎn)便。

4.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

過(guò)去我們?cè)诮虒W(xué)當(dāng)中，極少注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。但事實(shí)上，逆向思維有助于幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)思路，使學(xué)生從不同的角度體會(huì)到數(shù)學(xué)思維，對(duì)于提高他們的解題能力大有幫助。所以，在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生從逆向的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思索，開展解答。建立起他們的逆向思維。

例2已知a?+b?=1，x?+y?=1，求證ax+by≤1

傳統(tǒng)上，此題一般采用比較法進(jìn)行解答，首先證明1-（ax+by）≥0即可。其思路在于：兩個(gè)不等式相加得出2。

∵1-（ax+by）=?（1+1）-（ax+by=?（a?+b?+x?+y?）-（ax+by）=?[（a-x）?+（b-y）?]

∴1-（ax+by）≥0

ax+by≤1

但采用逆推法，則我們?cè)诮?jīng)過(guò)審題后，首先以證明ax+by≤1為突破口。進(jìn)而證明1-（ax+by）≥0，即2-2（ax+by）≥0。

由于a?+b?=1，x?+y?=1，因此接下來(lái)我們證明出（a?+b?+x?+y?）-2（ax+by）≥0，得出（a-x）?+（b-y）?≥0。

因最后等式不成立并步步可逆，因此可得出原不等式成立的結(jié)論。

5.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

未來(lái)社會(huì)是一個(gè)充滿創(chuàng)造性的社會(huì)，創(chuàng)造性是對(duì)人才的一大要求。通過(guò)進(jìn)行一題多解，學(xué)生在尋求不同解法的過(guò)程中，其思維就會(huì)跳出狹隘的框架，形成一個(gè)創(chuàng)造的過(guò)程。使學(xué)生的創(chuàng)造性思維得到了有效培養(yǎng)。

例33<|3x-1|<6

傳統(tǒng)的解法，是將此不等式進(jìn)行拆分，最終得出答案。但我們可以引導(dǎo)學(xué)生采用另一種解法，即對(duì)不等式進(jìn)行變換，去掉絕對(duì)值，得出3<|3x-1|<6或-6<3x-1<3，最終得出相同的答案。

三、結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)解題思路多元化，是現(xiàn)代化的素質(zhì)教育理念對(duì)高中數(shù)學(xué)教育的一大要求。對(duì)此我們?cè)诮虒W(xué)中必須積極采取措施，要以引導(dǎo)和估計(jì)學(xué)生一題多解為基礎(chǔ)，從培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維、逆向思維及創(chuàng)新思維這三個(gè)角度出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，最終達(dá)到高中數(shù)學(xué)解題思路多元化的目標(biāo)，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)

[1]侯麗琴.新課改背景下高中數(shù)學(xué)高效課堂構(gòu)建思路[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2013，12（21）：123.

[2]閆晗.培養(yǎng)高一學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)研究[J].華夏教師，2017，12（7）：72.

[3]蔡思成.關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題思路的探索[J].求知導(dǎo)刊，2015，11（5）：138-139.