幾何直觀，讓學(xué)生對解決問題的理解走向深刻

蘇賽丹

【摘要】幾何直觀是2011年版課標(biāo)提出的十大關(guān)鍵詞之一。主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。在解決問題的教學(xué)中，為了破解學(xué)科抽象性與學(xué)生思維形象性的矛盾，可以有效利用幾何直觀的形象性，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)問題。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 解決問題 數(shù)學(xué)思考

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）09-0155-02

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，小學(xué)生正處于形象思維充分發(fā)展的階段。學(xué)科的抽象性與學(xué)生思維的形象性是一對不可避免的矛盾，如何在教學(xué)中化解這一矛盾呢？追溯2011年課標(biāo)提出的幾何直觀，由于其直觀、形象、可感的特征，便于在抽象與形象之間架起橋梁。因此，借助幾何直觀，把抽象文字語言表述的內(nèi)容用形象而直觀的圖形語言表示出來，有利于問題的解決和知識保持，是有效破解這一矛盾的利器。它的直觀作用體現(xiàn)在：把文字語言表述的內(nèi)容具體化；把隱藏問題的信息明晰化；將問題的全部文字信息形象化。在解決問題的教學(xué)中，借助幾何直觀，可以讓學(xué)生的理解走向深刻。

一、幾何直觀，讓對應(yīng)關(guān)系更凸顯

稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實際問題中的量率對應(yīng)關(guān)系，單從文字語言中找尋，是非常不易，有的根本就看不出來。當(dāng)把抽象的文字語言轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形語言時，量與率的對應(yīng)關(guān)系就會得到凸顯，打開了解決問題的通道。當(dāng)然借助幾何直觀解決問題，首先要掌握畫圖的方法和技巧：一般而言，表示部分與總體關(guān)系的只畫一條線段；表示幾個并列關(guān)系或比較關(guān)系的量，需要畫幾條線段；有單位“1”的量的，先畫單位“1”的量，再畫比較的量。

如，教學(xué)“一根直尺從左往右量75%處做個記號A，從右往左量60%處做個記號B，量得A、B兩點之間的距離是3.5分米，這根直尺有多少分米？”這是一道百分?jǐn)?shù)實際問題，如果僅從文字語言理解，很難找到3.5分米的對應(yīng)分率。因此，要將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，

這是表示部分與總體關(guān)系的問題，用一條線段圖表示即可。根據(jù)題意，畫出如下圖：

再觀察線段圖，把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言。從直觀的圖上很容易看出：3.5分米的對應(yīng)分率是（75%+60%-1）=35%，由此求得，這根直尺長3.5÷35%=10（分米）。

又如，教學(xué)“某班男生人數(shù)比女生多6人，女生人數(shù)比男生少，女生有多少人？”有的學(xué)生從文字語言中不易看出6人的對應(yīng)分率，把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，便能一眼看出。此題是比較男生人數(shù)與女生的關(guān)系，用兩條線段來表示，以男生人數(shù)為單位“1”的量，先畫表示男生人數(shù)的線段圖，再畫表示女生人數(shù)的線段圖。根據(jù)題意先畫出如下線段圖：

觀察線段圖可知：6人的對應(yīng)分率就是，6÷=24人就是男生人數(shù)，那么女生人數(shù)有24-6=18（人）。

從以上兩道題的分析可以看出，借助幾何直觀把從文字語言中不易看出的量率對應(yīng)關(guān)系直白化了，為學(xué)生確定量率對應(yīng)關(guān)系提供了可感的載體，有效突破難點。

二、幾何直觀，讓數(shù)學(xué)思考更條理

小學(xué)生的思維處于具體形象階段，借助直觀的圖形語言思考問題，有利于學(xué)生表達(dá)時有條理，做到不重復(fù)、不遺漏，發(fā)展學(xué)生有條理地思考問題的能力。

比如，教學(xué)“小英有三件襯衣和兩條裙子，她最多在幾天內(nèi)保證每天穿的衣服不完全一樣？”這是一道有關(guān)排列的實際問題，教學(xué)時，放手讓學(xué)生獨立表征題意。最終回到連線列舉，讓學(xué)生借助直觀圖形說說是怎么思考的。學(xué)生有了圖形的依托，表達(dá)有了條理，能做到不重不漏，說出搭配的情況。如下連線圖：

從連線列舉圖可以看出，以襯衣為標(biāo)準(zhǔn)，衣和裙有6中搭配情況；以裙子為標(biāo)準(zhǔn)，裙和衣也有6種搭配情況，從而有序得出小英最多在6天內(nèi)能保證每天穿的衣服不完全一樣。言之有物，才能言之有理。幾何直觀就是學(xué)生要言的物，依托這個物，學(xué)生的思考有了載體，表達(dá)才能做到有條理，不重復(fù)，不遺漏。

三、幾何直觀，讓數(shù)量關(guān)系更明晰

有的解決問題的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，學(xué)生從文字語言中不容易看出。尤其是對解決一些滲透集合思想的實際問題，利用畫集合圖把其間的種屬關(guān)系清楚地反映出來，能讓數(shù)量關(guān)系更加明晰。

比如，教學(xué)“五（1）班有42人參加秋季運動會，要求每人至少參加一項體育比賽，其中參加田賽的有23人，參加徑賽的26人，既參加田賽又參加徑賽的有多少人？”這是一道滲透集合思想的實際問題，學(xué)生從字里行間很難看出其數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生畫集合圖就能清楚地反映出既參加田賽又參加徑賽的部分。根據(jù)題意，畫圖如下：

學(xué)生從集合圖就可以直觀地看出，重疊的部分就是既參加田賽又參加徑賽的人數(shù)，從而明晰數(shù)量關(guān)系，參加田賽的23人+參加徑賽的26人-參加秋季運動會的42人=既參加田賽又參加徑賽的人數(shù)，列式：23+26-42=7人。即既參加田賽又參加徑賽的人數(shù)是7。

四、幾何直觀，讓解題思路更開闊

有的解決問題，僅從文字語言方面去理解，很容易把思維引向錯誤的方向，如果借助幾何直觀，不僅能避免學(xué)生思維的誤區(qū)，而且為學(xué)生的思維打開一扇思考的天窗，讓解題思路更加開闊。

比如，教學(xué)“紅星劇場原有24排座位，每排28座，經(jīng)擴建增加了6排，每排增加4座，這樣比原來增加了多少個座位？”這道題從單從文字上理解，多數(shù)學(xué)生的思維就會陷入，增加了4×6=24個座位，這個解題誤區(qū)。最有效的方法就是引導(dǎo)學(xué)生通過畫示意圖，讓學(xué)生自悟其錯，并打開思維通道。根據(jù)題意學(xué)生畫示意圖如下：

觀察示意圖，學(xué)生便可知，4×6僅是右下角小長方形的面積，這只是增加的一小部分，頓悟其錯。借助幾何直觀的優(yōu)勢，學(xué)生的思維得到了激活，有的用常規(guī)解法思考，根據(jù)大面積減去小面積等于相差面積，列式：（28+4）×（24+6）-28×24=288（個）；有的學(xué)生用轉(zhuǎn)化的思路思考，把增加的部分分成了三個長方形，列式：28×6+4×（24+6）=288（個），即擴建后比原來增加了288個座位。

一圖頂千言，有了圖形語言自身的魅力，學(xué)生不僅能從常規(guī)的解法過渡到創(chuàng)新的解法，經(jīng)歷了化不規(guī)則為規(guī)則的的轉(zhuǎn)化過程，體驗了轉(zhuǎn)化思想在解題中的價值，還從圖形經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，有效地培養(yǎng)了學(xué)生問題解決的能力。

總之，幾何直觀給解決問題帶來的便捷遠(yuǎn)不止這些。從借助幾何直觀解決問題的過程看，學(xué)生要完成兩個轉(zhuǎn)化，把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，再把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言。這兩個轉(zhuǎn)化都是一種能力，需要學(xué)生讀懂題意，把條件和問題畫出來；需要學(xué)生借助圖形分析條件和條件之間的關(guān)系，條件和問題之間的關(guān)系，從看到的條件聯(lián)想到相關(guān)的問題。而這些能力需要教師借助具體的解決問題持之以恒的加以培養(yǎng)，方能落地生根。